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XX年二模卷定稿答案(理科) xx学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理）参考答案与评分标准xx年4月注解答题评分标准中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意一填空题（每小题4分，满分56分）11?i2?1,01,2)895105.6611512?3,01321429二选择题（每小题5分，满分20分）15D16C17B18D三解答题（共5题，满分74分）19（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 （1）由正弦定理得，a?c?pb，所以a?c?5，（2分）41?a?1,?a?,1?又ac?，所以?或（少一组解扣1分）4（5分）1?4c?4?c?1. （2）由余弦定理，b?a?c?2aosB?(a?c)?2ac?2aosB，（1分）222212b(1?cosB)，（2分）2312所以p?cosB（4分）22即b?p b?222由B是锐角，得cosB?(0,1)，所以p?2?3?,2?（6分）2?由题意知p?0，所以p?6?（7分）,2?2?20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 （1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（1分）设AB?a，则D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0,2a,0)，故DC?(0,0,a)，DQ?(a,a,0)，?(a,?a,0)，（3分）1因为DC?0，DQ?0，故DC?，DQ?，即DC?，DQ?，（5分）所以，?平面DCQ（6分） （2）因为DC?平面AD，所以可取平面AD的一个法向量为n1?(0,0,1)，（1分）点B的坐标为(a,0,a)，则QB?(0,?a,a)，QC?(?a,?a,a)，（2分）设平面BCQ的一个法向量为n2?(x,y,z)，则n2?QB?0，n2?QC?0，故?ay?az?0,?y?z?0,即?取y?z?1，则x?0，?ax?ay?az?0,?x?y?z?0,?故n2?(0,1,1)（5分）?n1?n212设n1与n2的夹角为?，则cos?（7分）?|n1|n2|22所以，平面BCQ与平面AD所成的锐二面角的大小为解法二 （1）因为CD?平面PDAQ，所以CD?，（1分）作QE?DP，E为垂足，则四边形ADEQ是正方形，设AB?a，则DE?a，DQ?又DP?2a，所以E是AP的中点，EP?a，所以PA?222?（8分）42a，2a，所以DQ?DP，所以DQ?（5分）所以，?平面DCQ（6分） （2）连结CE，由 （1）知QE?DP，又QE?CD，所以QE?平面DCP，（2分）所以QE?CE，所以?CED为所求二面角的平面角（4分）因为CED是等腰直角三角形，所以?CED?4（7分）所以，平面BCQ与平面AD所成的锐二面角的大小为2?（8分）421（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分1?9?2?2?1, （1）由已知得c?22，因为椭圆?过点(3,1)，所以?a（2分）b?a2?b2?8,?2?a?12,解得?2（5分）?b?4.x2y2?1（6分）所以，椭圆?的方程为124 （2）设直线l的方程为y?x?m，（1分）?y?x?m,?22由?x2y2得4x?6mx?3m?12?0（2分）?1,?124因为直线l与椭圆?交于不同两点A、B，所以?36m2?16(3m2?12)?0，所以m?16（3分）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2是方程的两根，所以x1?x2?设AB的中点为E(x0,y0)，则x0?23m，2x1?x23m m?，y0?x0?m?，（4分）244因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PE?AB，向量PE是直线l的一个法向量，所以PE向量(1,?1)，即?m?3m?3,?2?向量(1,?1)，4?4?所以3m m?3?2，解得m?2（5分）442此时方程变为4x?6x?0，解得A(?3,?1)，B(0,2)，所以|AB|?32又P(?3,2)到直线lx?y?2?0的距离d?所以PAB的面积S?|?3?2?2|32，（7分）?2219|AB|?d?（8分）2222（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 （1）因为a n?1?a n，a1?4，所以a n?4（n?N），（分）3*a n?c n4?c nc na?b nb n?2，c n?1?n?2，2222211c n?1?b n?1?(b n?c n)?(c n?b n)，（2分）221即数列?b n是首项为2，公比为?的等比数列，（3分）2所以b n?1?1?所以c n?b n?2?2?n?1（4分） （2）解法一b n?1?c n?1?1(bn?c n)?4，（1分）2因为b1?c1?8，所以b2?c2?8，b3?c3?8，猜测b n?8（n?N）（2分）用数学归纳法证明当n?1时，a1?b1?8，结论成立；（3分）*假设当n?k（k?N）时结论成立，即b k?c k?8，那么当n?k?1时，*a k?1?b k?1?1(a k?b k)?4?8，即n?k?1时结论也成立（5分）2*由，得，当n?N时，a n?b n?8恒成立，即a n?b n恒为定值（6分）1(bn?c n)?4，（1分）2b?c n1?4?(bn?c n?8)，（4分）所以b n?1?c n?1?8?n22解法二b n?1?c n?1?而b1?c1?8?0，所以由上述递推关系可得，当n?N时，b n?c n?8?0恒成立，即*a n?b n恒为定值（6分）?bn?c n?8,n?1?1?n?1 （3）由 （1）、 （2）知?1?，所以c n?4?，（1分）?2?c n?b n?2?2?1?1?n2?1?2?所以S n?4n?4n?1?，13?2?1?2?n2p?1?1?，（2分）所以p?(S n?4n)?3?2?n4n2p?1?由p?(S n?4n)?1,3得1?1?3，3?2?1?因为1?0，所以?2?1?1?1?2?1?1?1?2?nnnn1?1?1?2?1?1?1?2?1?1?1?2?4，3nnn?2p?33?1?1?2?n，（3分）当n为奇数时，随n的增大而递增，且0?1?1?1?2?1nn?1，当n为偶数时，?随n的增大而递减，且?1?1?2?1，所以，1?1?1?2?1n的最大值为3?1?1?2?n的最小值为2（4分）由?1?1?2?2p?33?1?1?2?n，得42p?2，解得2?p?3（6分）33所以，所求实数p的取值范围是2,323（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 （1）假设f(x)是奇函数，那么对于一切x?R，有f(?x)?f(x)，00从而f(?0)?f (0)，即f (0)?0，但是f (0)?4?|2?a|?1?|1?a|?0，矛盾所以f(x)不是奇函数（也可用f (1)?f(?1)?0等证明）（4分）x x x x2 （2）因为2?0，4?0，所以当a?0时，f(x)?4?2?a，由f(x)?a，得4x?2x?a?a2，即4x?2x?a(a?1)?0，(2x?a)(2x?a?1)?0，（2分）x因为2?a?0，所以2?a?1?0，即2?(a?1)（3分）xx当a?1?0，即?1?a?0时，2?(a?1)恒成立，故x的取值范围是R；（4分）当a?1?0，即a?1时，由2?(a?1)，得x?log2?(a?1)，故x的取值范围是xx5(log2?(a?1),?)（6分）x （3）令t?2，则t?0，原函数变成y?t2?|t?a|若a?0，则y?t2?t?a在t?(0,?)上是增函数，值域为(?a,?)（2分）2?t?t?a,0?t?a,若a?0，则y?2（3分）?t?t?a,t?a.11?1?对于0?t?a，有y?t?a?，当0?a?时，y是关于t的减函数，y的取值24?2?范围是a,a)；当a?221111?时，y min?a?，当?a?1时，y的取值范围是?a?,a?，2424?