浅谈构造法在中学数学解题中的应用.doc

浅谈构造法在中学数学解题中的应用富源六中 范文波 摘 要：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的.关键词：构造法；创造性；构造；几何变换1 前言解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一.构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一.什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助.构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.如何借助构造的思想实现解题过程中的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处理，通过一般化、特殊化的想象，巧妙地对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物和想象物.构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用.它之所以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受.其妙处在于不是直接去解决所给的问题，而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决新问题.如果新问题比原问题更简单，更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.2 应用构造法解题 构造法是数学解题中的一种重要思维方法，不仅可以拓宽思路，创造一些新的情境，提高分析问题解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特的功效.有些问题用别的方法束手无策，可一旦用了构造法就豁然开朗了.2.1构造函数法 对于某些代数式的证明问题，可以把其中一个元素看成是另一个元素的函数，或者把一个代数式看成一个函数，或者根据题目结构特点，巧妙地构造一个函数，从而站在函数的角度，研究这个函数的性质，达到解决问题的目的.例1 求函数的最大值分析：由根号下的式子看出且 故可联想到三角函数关系式并构造 所以 当即时，2.2 构造方程法若不等式的证明问题正面思维遇阻，可以改为逆向思维，从结论考虑，沟通条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解决问题.有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.例2 已知实数满足和.求证：中至少有一个不小于2分析：由条件得,，.所以是一元二次方程的两个根，故可构造方程来求解.证明：由题设显然中必有一个正数，不妨设.则即是二次方程的两实根.所以.故.2.3 构造几何图形构造几何图形，就是将题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种关系得以在图中表现出来，然后借助几何的直观寻求问题的解答，或借助几何知识对问题进行推证.例3若，则.分析：可以用两边同时平方来证此题，但是太繁.由我们就会联想到余弦定理，于是构造三角形用余弦定理来求证.证明：如图22，作,设.由余弦定理 , .因为, 图 21 所以 +. 2.4 构造新数列求原数列通项数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式显得极为重要.构造新数列求通项，既可以考察学生等价转换与化归的数学思想，又能反映我们对等差、等比数列的理解深度.2.4.1 形如，求通项公式，可构造新数列例4 已知数列满足，求数列通项公式.分析：这类题十分常见，它是有一般方法解的.即引入待定系数，拼凑，使得成为等比数列.解：设.整理得，与已知对比系数得于是，所以数列是首项为，公比为2的等比数列.由，得.2.4.2形如，求通项公式，构造新数列分析：两边同时取倒数得,，令.得.例5在数列中，求数列的通项公式.解：由,两边取倒数得，.整理得，故数列是首项为，公差为的等差数列.于是,.故.注：形如，求数列的通项公式.该数列一般可引如参数，使得，与已知对比后得系数，转化为新数列.2.4.3 构造与有关的数列，再由求例6 已知数列前项的和为，求数列 的通项公式.解：由，即，即数列是以为首项，以为公差的等差数列.所以 .当时，；当时，.综上述，数列的通项公式是 . 2.5构造立体几何模型法某些不等式的证明，可与立体几何的直观模型密切联系，从而利用立体几何的有关知识给出不等式的一种有效证明.例7已知：锐角满足求证：（1）， （2）, （3）. 证明：由条件 图22 联想到构造立体几何模型长方体， 于是构造长方体，如图22所示，对角线长，对角线与三条棱的夹角分别为.设.则，所以有，当且仅当,即时取等号.（2）即：.（3） .所以.结束语：从上面的例子我们不难看出，构造法解题有着意想不到的功效，恰当应用构造法问题容易解决.构造法解题重在“构造”，它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使我们要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对我们的多元思维培养，学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利.因此，在解题时，我们要从多角度，多渠道进行广泛的联想才能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法.而且还能加强我们对知识的理解，培养思维的灵活性，提高我们分析问题的创新能力.构造法是一种创造性的解题方法，在数学解题中有着广泛的应用.构造法解题的导学功能既体现在思维功能上，也体现在发现、创新功能上，更体现在追求美妙、神奇的功能上.在数学解题过程中，同样存在着“价值观念”问题，解题时要瞄准最终目标，用最小的“代价”来获取最大的“成果”.而利用构造法解题正是这一价值的具体体现，把握这一原则，在解题时就会产生很多巧思妙想，令人耳目一新.在解题过程中渗透这一原则，对提高我们分析和解决问题的能力是非常有益的.应用构造的思想解题需要扎实的基础知识，由此及彼的丰富联想能力和较强的思维能力，在具体的解题过程中，需要仔细审题，弄清题意，借助联想，构造出新的数学形式，使所求的问题转化.参考文献：1刘绍学.数学通报J.数学通报编辑部.2007.22中学数学教学参考J.陕西师范大学出版社.2007.33李维华.中学数学教学J.人大复印报刊资料.1995.3 4王培德.数学思想应用及探究建构数学M.人民教育出版社.2003.143161.5史久一、朱梧稼等.化归与归纳，类比，联想M.江苏教育出版社，1988.6287.6王子兴.数学方法论问题解决的理论M.中南工业大学出版社，1995.9210