2009时代杯初中数学竞赛(答案).doc

2009年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考答案“时代杯”2009年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）(2009年12月25日下午15301700)题号一二三总分1671011121314得分注意事项：1 本试卷共4页满分150分考试时间90分钟2 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上3 答卷前将密封线内的项目填写清楚密 封 线姓名 学校 考号 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的每题7分，共42分）1若关于x的不等式组的整数解恰有4个，则整数a的值是（D ）A1 B0 C1 D22在直角坐标系xOy中，直线ykxb经过点（1，5），且平行于直线yx，则kb 的值为（D ）A5 B5 C3 D33现有大小、质地和背面图案均相同的卡片4张，卡片正面分别写上数字2，3，4，6若将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次随机地抽出两张，则这两张上的数字之积是12的概率是（ B ）A B C DA （a） T S M N （b） （c） A A M M N N B B B S S T T 4图（a）是一个长方形纸带，SAB20，将纸带沿AB折叠成图（b），再沿BN折叠成图（c），则图（c）中的TBN为（B ）A120 B140 C150 D1605已知a是给定的整数，记F（x）axxa若F（1）F（2）F（2009）56，则a的值是（C ）A6 B7 C8 D96把边长和面积均为整数的三角形称为“整数三角形”，那么周长不超过32的“整数三角形”的个数是（C ） A3 B5 C6 D7二、填空题（每题7分，共28分）7因式分解：a2b2bcac （ab）（abc） .8在ABC中，AB20，AC16，则BC边上中线AD的取值范围是 2AD18 .9甲、乙、丙三种货物，每种货物若干件若购甲3件，乙7件，丙5件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙7件，共需450元，则购甲、乙、丙各一件共需 45 元A B C D 10数学史常常能引发学生的学习兴趣有关勾股定理的内涵，我国有十分丰富的历史记载，我国最早的天文算学书周髀算经中，就有勾股定理的记载赵爽在注释该书中“勾股圆方图”时，对勾股定理及勾股弦的一些关系式做了几何的证明勾股定理反映的是勾、股、弦三者之间的关系，当我们试图推广到空间图形中去时，会有什么结果呢？例如，在长方体图形中（如图），ACD、ABC、ABD、BCD的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4之间的关系是S12S22S32S42 （用关于S1、S2、S3、S4的等式表示）三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题20分，第14题24分，共80分）11（本题满分18分）若关于x的方程x22xkx恰有三个不同的实数解，求实数k的取值范围解：显然x0恰为方程x22xkx的一个解 5分若x0时方程x22xkx有解，则x22xkx，得xk2由k20，得k2 10分若x0时方程x22xkx有解，则x22xkx，得xk2由k20，得k215分综上，实数的取值范围是k218分12（本题满分18分）（1）小虎把自己写的新年贺词的WORD文档加密后发往班上同学们的电子邮箱该文档的密码M是由1，2，3，R这R个连续正整数按由小到大、从左至右的顺序排列而成的一个数码序列，其忘记密码的提示语是：1，2，R这R个连续正整数可以用给定的三个正整数中若干个数（可以仅是一个数）的和表示出来，且密码M是一个尽可能长的数码序列请确定该加密文档的密码，并说明理由；（2）若在（1）中，若其忘记密码的提示语变为：1，2，R这R个连续正整数可以用给定的四个正整数中不超过三个数（可以仅是一个数）的和表示出来，且密码M是一个尽可能长的数码序列. 请确定该加密文档的密码，并说明理由解：（1）由于1，2，R这R个连续正整数可以用给定的三个正整数中若干个数的和表示出来，且可以是一个数，那么1，2必然是给定的三数中的数 4分又1+2=3，则4不可以由1与2的和来表示，因此，4也必是给定的三数中的数，从而有1+4=5， 2+4=6，1+2+4=7要使M是最长的数码序列，则R取7 所以，小虎加密文档的密码是1234567 9分（2）先考虑表示为给定四个数中若干数的和（含四个数）的情形： 由（1）知，满足要求的给定四个数中必有三数1，2，4 又 1+2+4=7，那么8必是四个数中的数，这样， 1+8=9，2+8=10， 1+2+8=11，4+8=12，1+4+8=13，2+4+8=14，1+2+4+8=15 14分其次，考虑用给定四个数中不超过三个数的和来表示连续的的R个正整数：1，2，3，4，R，且使M是最长的数码序列，则由上述表示可以发现符合题设的数是1，2，14，即R取14 于是小虎文档的密码是1234567891011121314 18分13（本题满分20分）加工某型号零件，有三道工序，要求先加工第一道工序，然后加工第二道工序，最后加工第三道工序，其工作量分别是2a，a，4a甲、乙两人同时加工该型号的一批零件，单位工作时间内甲完成的工作量是5b，乙完成的工作量是4b，当甲做完第m（m2）个零件的第二道工序时，乙在做第n个零件的第一道工序，问此时乙最少加工完了多少个零件？（结果用数字表示）解：甲完成（m1）个零件和第m个零件的第二道工序共用的时间是；乙完成（n1）个零件共用的时间是； 乙完成（n1）个零件和第n个零件的第一道工序共用的时间是 5分由题意得 ， 10分即35(n1)28m1635(n1)10 所以28m935n28m19，即4m5n4m因为m，n均为正整数，所以5n4m2 15分于是n4k2，m5k2（k0，1，2，） 由题意k0，当k1时，n6因此，乙最少完成了5个零件 20分14（本题满分24分）（1）如图1，以ABC的AB为边向形外作等腰RtAP1B，BC的中点为M1，以BM1为边向形外作等腰RtBM1R1，且AP1BBM1R190求证：证明：（1）由题意知 RtAP1BRtR1M1B， 11 1 R PM CB A图1在M1P1B与R1AB中，P1BM1P1BAABC45ABC，R1BAR1BM1ABC45ABC，所以P1BM1ABR1 4分由、得P1BM1ABR1所以 8分（2）如图2，M2BC15，ABP2R2BM245，P2ABM2R2B30求证：222 M AB C P R30 45 45 30 15 图2（2）由题意知 AP2BR2M2B， 在M2P2B与R2AB中，P2BM2P2BAABCM2BC60ABC，R2BAR2BM2ABCM2BC60ABC，所以P2BM2ABR2 12分由、得P2BM2ABR2所以 16分（3）如图3，MBCMCB15，PBAQCA45，PABQAC30求证：MPMQA BC M P Q 30 45 15 15 R 30 45 45 30 图3（3）