排列组合题型总结.ppt

排列组合题型总结 在处理排列问题时 所要研究的对象有两组 一是要被排列的对象 一是位置 在这两组对象中有时候会出现一个或者多个特殊的对象 若有一个特殊对象 一般先把特殊的对象优先进行处理 然后再对其他的没有特殊要求的对象进行全排列 一 特殊对象问题 如果出现了两个特殊要求 一般使用分类的方法处理 针对其中的一个的位置不同进行分类来处理 再或者用间接法例1 有5人排成一列 其中甲不在第一的位置 有多少种排法 例2 有5人排成一列 其中甲不能在第一 乙不能在最后 有多少种排法 特殊对象问题 二 名额分配问题 这种问题处理时 要注意两个特征 1 名额之间没有什么不同2 名额分配时的具体要求是什么当问题中要求分配时每人至少一个时 只需要在所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙 放入相同的挡板即可若问题中没有具体分配要求时 可以不上和人数相同的名额转化成第一组问题来处理 二 名额分配问题 例1 有10个三好学生的名额分给3个班 要求每班至少有一个名额 怎么分 例2 有7个三好学生的名额 分给3个班 怎么分 三 分组分配问题 这里的分配问题与名额分配的最大区别是 名额是相同 现在是不同的对象进行分配例1 有6本不同的书 平均分给甲乙丙三人 有多少种分法 平均分配 乘法原理 直接分法例2 有6本不同的书 平均分为三组 有多少种分法 平均分组 把例1分成两步 先分成三组 把不同的三组分给三个不同人 组数的阶乘 求乘积 所以平均分组方法 直接分法 组数的阶乘 三 分组分配问题 例3 有6本不同的书 分甲1本 乙2本 丙3本 有多少种分法 不平均定向分配 分步 直接分法例4 有6本不同的书 分三组 一组1本 一组2本 一组3本 有多少种分法 不平均分组 把例3理解成两步 先分组 然后再把组定向分给人 只有1种方法 所以答案同问题3 方法为直接分法 三 分组分配问题 例5 有6本不同的书 分给三个人 一人1本 一人2本 一人3本 有多少种分法 不平均的不定向分配 理解成2步 先分组 然后把组不定向的分给人 组数的阶乘 再求乘积 例6 有9本不同分成三组 一组5本 另外两组各2本 有多少种分法 混合型分组 理解成两步 先不平均的分 在把某部分平均分组 再求两步乘积 整理规律即 先直接分 然后除以平均组数的阶乘 三 分组分配问题 例7 有9本不同的书 分给甲乙均2本 丙5本 有多少种分法 混合型某部定向分配 理解成两步 先混合型分组 然后把组分给人 其中平均部分的分配 平均组数的阶乘 再求乘积例8 有9本不同的书 分给两人各2本 另一人5本 有多少种分法 混合型部定向分配 理解成两步 先混合型分组 然后把组分给人 不定向 所有组数的阶乘 再求乘积 四 相邻问题 本组问题有两大类 相邻的对象相同 相邻的对象不相同1 若相邻对象不同时 先把相邻的对象当成一个 和其他没有要求的对象进行全排列 然后再把相邻的对象进行全排列 这两步求乘积2 若相邻对象相同时 先把其他的对象排好 再把相邻的对象当成一个按要求放在其他对象摆好而形成的空格中 四 相邻问题 例1 8人排成一列 甲乙丙三人必须相邻 有多少种排法 例2 一排8个座位 3人坐 5个空座位相邻 有多少种坐法 五 不相邻问题 不相邻问题也有两大类 不相邻的对象相同 不相邻的对象不相同1 若不相邻对象不相同时 先把其他的对象进行排列 再把不相邻的对象放在其他对象形成空格中进行排列2 若不相邻的对象相同时 也先把其他的对象进行排列 再从其他对象摆好形成的空格中选取相应的空格 最后直接把不相邻的对象放入 1种方法 因为相同 五 不相邻问题 例1 某人射击训练 8枪命中3枪 恰好没有任何2枪连续命中 有多少种情况 例2 8人排成一列 甲乙丙三人不可相邻 有多少种排法 例3 8盏灯关掉3盏 不许关掉相邻的 也不许关掉两端 多少种方法 例4 某人射击训练 8枪命中3枪 恰好2枪连续命中 有多少种情况 六 成双成对问题 先按双取出 再从各双分别取出一只 自然不成双例1 从6双不同鞋子中取出4只 要求都不许成双 有多少种方法 例2 从6双不同鞋子中取出4只 要求恰好有一双 有多少种方法 七 可 不可 重复使用的对象 问题中有两组对象 解决问题时要以不可重复使用的对象作为分布的标准 住店 投信 映射 冠亚军等 例1 5人住3家店 有多少种住法 例2 5人参加同一下比赛 最终冠亚季军名次有多少种 八 我不能我问题 在处理换位置 交换礼品 职务连任等问题时规则要求往往是自己不允许和自己发生关系 这种问题一般只到4或5组对象 常用穷举法 或用间接法 或用分步法 注意第二步的处理技巧 例1 4人写4张卡片 自己不许拿自己的卡片 有多少中拿法 例2 5人换位置 有多少种不同的换法 44种 九 至多至少问题 常用分类的方法或者间接法例1 从5个男生和4个女生 选出4人参加比赛 要求至少要有2名女生的选法有多少种 十 交叉功能问题 抓住一个特点进行分类 千万不要分类过多例1 10名翻译 有6人会英语 7人会德语 现需要英语 德语翻译各3人 共多少中选派方案 十一 相对顺序固定问题 相对顺序固定问题 常用两种方法 1 一般要先处理掉没有相对顺序要求的元素 再把剩下的有相对顺序要求的元素按照要求摆放 2 先随意地进行排列 再除以随意摆放过程中相对顺序固定部分的顺序 十一 相对顺序固定问题 例1 书架上6本不同的书 现在要放上去3本 但要保持原来6本的相对顺序不变 有多少种放法 例2 用1 2 3 4 5 6排成所有五位数中 个位数小于十位数 而且十位数小于百位数的有多少个 例3 用1 2 3 4 5 6排成所有五位数中 个位数小于十位数 而且十位数大于百位数的有多少个 十二 集合关系 子集个数问题 例1 a b c d 的所有子集多少个