奥数四年级—数列问题.ppt

一位教师布置了一道很繁杂的计算题 要求学生把1到100的所有整数加起来 教师刚说完 一位小男孩立即写出了答案 1 2 3 4 98 99 100 老师起初并不在意这一举动 心想这个小家伙又在捣乱 但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时 才大吃一惊 而更使人吃惊的是男孩的算法 小故事 数列问题 数列问题 先看 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 11 2 9 11 3 8 11 4 7 11 5 6 11 11 5 55 为什么有人 很快就完成作业 分数还很高 而你 做的慢 累死了 还常做错 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 5 10 15 20 25 30像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项 第1项称为首项 最后1项称为末项 在第几个位置上的数就叫第几项 有多少项称为项数 一 数列的基本知识 数列问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 首项 1末项 10项数 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等差数列的主要内容 一 等差数列的基本知识 二 等差数列的公差 三 等差数列的项数 数列问题 四 求等差数列的某一项 五 等差数列的和 六 有公差的等差数列的和 1 2 3 4 5 100 小故事 数列问题 男孩的算法 第一个数加最后一个数是101 第二个数加倒数第二个数的和也是101 第三个数加倒数第三个数的和也是101 共有100 2 50对这样的数 用101 50 5050 高斯的才华使老师 十分激动 德国数学家高斯 1 100 101 2 99 101 3 98 101 4 97 101 二 等差数列的 公差 1 1 2 3 4 5 6 2 1 1 3 2 1 公差 1 2 2 4 6 8 10 12 4 2 2 6 4 2 公差 2 3 5 10 15 20 25 30 10 5 5 15 10 5 公差 5 通过观察 我们可以发现上面的每一个数列中 从第一项开始 后项与前项的差都相等的 具有这样特征的数列称为等差数列 这个差称为这个数列的公差 数列问题 三 求等差数列项的数量 数列问题 例已知数列2 5 8 11 14 17 这个数列有多少项 分析 第2项比首项多1个公差 第3项比首项多2个公差 第4项比首项多3个公差 那第n项比首项多 n 1 个公差 规律 末项比首项多的公差的个数 再加上1 就得到这个数列的项数 等差数列的项数 公差个数 1 末项 首项 公差 1这个数列的项数 17 2 3 1 6 四 等差数列 某一项 数列问题 等差数列的通项公式 等差数列的末项 首项 公差 项数 1 等差数列的某一项 首项 公差 项数 1 数列 1 3 5 7 9 11 第2项 3 1 2首项 公差 1 2 1 第3项 5 1 2 2首项 公差 2 3 1 第4项 7 1 2 3首项 公差 3 4 1 第5项 9 1 2 4首项 公差 4 5 1 第6项 11 1 2 5首项 公差 5 6 1 等差数列的某一项 首项 公差 项数 1 例1已知数列2 5 8 11 14 求 1 它的第10项是多少 2 它的第98项是多少 3 这个数列各项被几除有相同的余数 分析 首项 2公差 3解 1 第10项 2 3 10 1 29 2 第98项 2 3 98 1 293 数列问题 求等差数列 某一项 数列问题 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 11 组合 2 9 11 组合 3 8 11 组合 5 6 11 组合 11 5 55 4 7 11 组合 连续数列 求和公式 首项 末项 总项数 2 1 10 10 2 11 5 55 五 等差数列的求和 数列问题 问题 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 19 20 组合 3 17 20 组合 5 15 20 组合 20 5 100 7 13 20 组合 首项 末项 总项数 2 六 有公差的等差数列的求和 9 11 20 组合 20 首相 末项 5 有5个组合 总项数 末项 首项 公差 1 19 1 2 1 5 组合 组合的数量 组合的数量 总项数 2 例1 计算1 2 3 2006 公式 首项 末项 项数 2 1 2006 2006 2 2007 1003 2013021 练习 1 2006 2007 2 2005 2007 3 2004 2007 4 2003 2007 每个组合的和 2007有几个组合呢 2006 2 1003个组合所以总和 2007 1003 2013021 例1 计算1 2 3 2006 直接列公式 首项 末项 项数 2 1 2006 2006 2 2007 1003 2013021 练习 首项 1 末项 2006总项数 2006 公差 1 例2 求首项是3 公差是5的等差数列的前1999项的和 练习 首项 3 末项 不知道 要先求 总项数 1999 公差 53 8 13 18 23 28 解 第1项 3第2项 3 5 1 8第3项 3 5 2 13第4项 3 5 3 18第5项 3 5 4 23第6项 3 5 5 28 第1999项 3 5 1998 9993 例2 求首项是3 公差是5的等差数列的前1999项的和 练习 首项 3 末项 9993总项数 1999 公差 53 8 13 18 23 28 9993 解 求和公式 首项 末项 项数 2 3 9993 1999 2 9996 999 5 9991002 例3 计算11 15 19 99 直接列公式 首项 末项 项数 2 11 99 23 2 110 11 5 1265 练习 解 首项 11 末项 99总项数 末项 首项 公差 1总项数 99 11 4 1 23公差 15 11 4 例4 计算 2 4 6 96 98 100 1 3 5 95 97 99 练习 解题思路一 本题由两个数列组成第一个数列 2 4 6 96 98 100 第二个数列 1 3 5 95 97 99 2 4 6 96 98 100 2 100 50 2 102 25 2550 1 3 5 95 97 99 1 99 50 2 25002550 2500 50 例4 计算1991 1988 1985 1982 11 8 5 2 练习 解题思路一 1991 1988 1985 1982 11 8 5 2 3 3 3 3问题来了 这里共有多少3呢 首先 问自己共有多少个项 不看 号2 5 8 11 1982 1985 1988 1991 这个数列 首项 2 末项 1991 公差 5 2 3项数 1991 2 3 1 663 1 664组合后有几个3呢 664 2 3323 332 996 1 计算2 4 6 96 98 100 课后练习 项数 末项 首项 公差 1 等差数列求和 组合 组合的数量 2 求首项是5 末项是95 公差是3的等差数列的和 3 求首项是13 公差是5的等差数列的前60项的和 4 计算 1 4000 1 2 3 76 77 78 2 560 557 554 551 500 497 3 204 198 192 186 24 18 12 6 课后练习 5 计算 1 3 5 1999 2 4 6 19