1.3.3二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴).ppt

二次函数在闭区间上的最值问题动轴定区间 动区间定轴 练习 已知函数f x x2 2x 3 1 若x 2 0 求函数f x 的最值 2 若x 2 4 求函数f x 的最值 3 若x 求函数f x 的最值 4 若x 求函数f x 的最值 练习 已知函数f x x2 2x 3 1 若x 2 0 求函数f x 的最值 解 画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x 1由图知 y f x 在 2 0 上为减函数 故x 2时有最大值f 2 5x 0时有最小值f 0 3 例1 已知函数f x x2 2x 3 1 若x 2 0 求函数f x 的最值 2 若x 2 4 求函数f x 的最值 解 画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x 1由图知 y f x 在 2 4 上为增函数 故x 4时有最大值f 4 5x 2时有最小值f 2 3 例1 已知函数f x x2 2x 3 1 若x 2 0 求函数f x 的最值 2 若x 2 4 求函数f x 的最值 3 若x 求函数f x 的最值 解 画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x 1 由图知 x 时有最大值x 1时有最小值f 1 4 例1 已知函数f x x2 2x 3 1 若x 2 0 求函数f x 的最值 2 若x 2 4 求函数f x 的最值 3 若x 求函数f x 的最值 4 若x 求函数f x 的最值 解 画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x 1 由图知 x 时有最大值x 1时有最小值f 1 4 例1 已知函数f x x2 2x 3 4 x 1 x 2 0 2 x 2 4 3 x 思考 通过以上几题 你发现二次函数在区间 m n 上的最值通常在哪里取到 总结 求二次函数f x ax2 bx c在 m n 上上的最值或值域的一般方法是 2 当x0 m n 时 f m f n f x0 中的较大者是最大值 较小者是最小值 1 检查x0 是否属于 m n 3 当x0 m n 时 f m f n 中的较大者是最大值 较小者是最小值 思考 如何求函数y x2 2x 3在x k k 2 时的最值 解析 因为函数y x2 2x 3 x 1 2 4的对称轴为x 1固定不变 要求函数的最值 即要看区间 k k 2 与对称轴x 1的位置 则从以下几个方面解决如图 例 求函数y x2 2x 3在x k k 2 时的最值 当k 2 1即k 1时 f x min f k 2 k 2 2 2 k 2 3 k2 2k 3 f x max f k k2 2k 3 当k 1 k 2时即 1 k 1时 f x min f 1 4 当f k f k 2 时 即k2 2k 3 k2 2k 3即 1 k 0时 f x max f k k2 2k 3 当f k f k 2 时 即k2 2k 3 k2 2k 3即0 k 1时 f x max f k 2 k 2 2 2 k 2 3 k2 2k 3 当k 1时 f x max f k 2 k2 2k 3 f x min f k k2 2k 3 例 求函数y x2 2x 3在x k k 2 时的最值 当k 1时 当 1 k 0时 f x max f k k2 2k 3 当0 k 1时 f x max f k 2 k2 2k 3 f x min f 1 4 f x min f 1 4 f x min f k 2 k2 2k 3 f x max f k k2 2k 3 当k 1时 f x max f k 2 k2 2k 3 f x min f k k2 2k 3 例 求函数y x2 2x 3在x k k 2 时的最值 评注 例1属于 轴定区间动 的问题 看作动区间沿x轴移动的过程中 函数最值的变化 即动区间在定轴的左 右两侧及包含定轴的变化 要注意开口方向及端点情况 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 当即a 2时 解 例3 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 2 当即 2 a 2时 y的最小值为f 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 3 当即a 2时 函数在 1 1 上是减函数 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 当a 2时 f x min f 1 4 a 当 2 a 2时 当a 2时 f x min f 1 4 a 例2 若x 求函数y x2 ax 3的最小值 评注 例2属于 轴动区间定 的问题 看作对称轴沿x轴移动的过程中 函数最值的变化 即对称轴在定区间的左 右两侧及对称轴在定区间上变化情况 要注意开口方向及端点情况 练习 已知x2 2x a 4在x 0 2 上恒成立 求a的值 解 令f x x2 2x a它的对称轴为x 1 f x 在 0 2 上单调递增 f x 的最小值为f 0 a 即a 4 1 已知y x2 ax 3 x 1 1 求y的最大值 练一练 课堂小结 1 闭区间上的二次函数的最值问题求法2 含参数的二次函数最值问题 轴动区间定轴定区间动 核心 区间与对称轴的相对位置 注意数形结合和分类讨论 变式 已知函数y x2 2x 2 函数的值域为 求m的范围 已知函数当时 求函数的最大值 练习 综上可知 问题三 设函数f x x2 2x 2在区间 t t 1 上的最小值为g t 求g t 的解析式 解 f x x 1 2 1 对称轴为x 1 2 当0 t 1时 则g t f 1 1 1 当t 1时 则g t f t t2 2t 1 3 当t 1 1 即t 0时 则g t f t 1 t2 1 思考 二次函数f x x2 2x 3在 3 a a 3 上的最值是多少 fmin f a a2 2a 3fmax f 3 12 f x x2 2x 3 x 3 a a 3 fmin f 1 4fmax f 3 12 fmin f 1 4fmax f a a2 2a 3 例题讲解 例1设函数f x x2 2x 3 3在区间 t t 1 上的最小值为g t 求g t 的解析式 分析 解 f x x 1 2 4 3 对称轴为x 1 2 当0 t 1时 则g t f 1 4 3 1 当t 1时 则g t f t t2 2t 3 3 3 当t 1 1 即t 0时 则g t f t 1 t2 4 3 例2求f x x2 ax a在区间 1 1 上的最值 分析 解 f x x 2 a 对称轴为x 1 若 即a 2时 f x min f 1 1 2a f x max f 1 1 4 若 即a 2时 f x min f 1 1 f x max f 1 1 2a 2 若 1 0 即 2 a 0时 f x min f a a2 4 f x max f 1 1