一维波动方程.ppt

2一维波动方程 1 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 2一维波动方程 2 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 2一维波动方程 2 1 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题 在忽略其边界的影响时 它可归结为如下的定解问题 2 1 满足初始条件 2 2 其中是一个正常数 函数是定义在区间上的已知函数 2一维波动方程 3 特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法 这个方法的实质是将方程沿特征线积分 由第三章的特征概念知 方程 2 1 的特征方程是由此求得特征曲线为其中为任意常数 为了将方程 2 1 化成第一标准型 引入自变量变换即把特征线当作坐标线 则方程 2 1 变成 2 3 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 2一维波动方程 4 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 改写 2 3 为可以看出不依赖于变量 于是有其中是的任意连续可微函数 再对积分 得到若令 可得其中和都是任意的二阶连续可微函数 回到原来的变量和 于是波动方程 2 1 的通解为 2 4 2一维波动方程 5 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 现在我们利用初始条件 2 2 来确定任意函数和 由等式 2 4 有对等式 2 6 积分 得出其中是任意常数 由等式 2 5 和 2 7 解出和为代入 2 4 我们得到这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔 D Alembert 公式 2 5 2 6 2 7 2一维波动方程 6 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 到目前为止 表达式 2 8 还只能说是Cauchy问题 2 1 2 2 的形式解 为了使它确实是Cauchy问题 2 1 2 2 的解 我们需要对初值加上一定的条件 定理4 3若 则由D Alembert公式 2 8 表示的函数是Cauchy问题 2 1 2 2 解 证明留作习题 请读者自己完成 下面我们讨论Cauchy问题 2 1 2 2 解的稳定性 定理4 4假设对任意给定的 总可找到这样的 当初始数据与满足不等式时 则与之相对应的Cauchy问题的解与满足 2一维波动方程 7 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 证 只要取即可 综上所述 Cauchy问题 2 1 2 2 的解是适定的 另一方面 若将方程 2 1 写成如下算子形式且令 则可以得到如下一阶线性偏微分方程组 2 9 按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解 我们也可以获得D Alembert公式 2 8 2一维波动方程 8 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 上面对弦振动方程求解的特征线法 亦适用于类似方程的Cauchy问题 例1求解Cauchy问题 2 10 其中和都是已知函数 解 容易求出 2 10 中的方程的特征曲线作自变量变换 2一维波动方程 9 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 就可把 2 10 中的方程化成标准型为了求出方程 2 11 的通解 我们令则方程 2 11 化为若把看作参数 方程 2 13 就是以为自变量的线性常微分方程 其通解可写为其中是的任意函数 将此表达式代入方程 2 12 得 2 13 2 11 2 12 2一维波动方程 10 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 再对求积分 便得方程 2 11 的通解其中是的任意函数 若令 上式可写成其中和都是其变元的任意连续可微函数 变回到原来的变量和 便得到方程 2 10 的通解为 2 14 下面我们利用 2 10 中的初始条件来确定任意函数和 首先 容易得到下面两个等式 2 15 2一维波动方程 11 偏微分方程教程 第四章双曲型方程 对微分 2 15 得用乘以上式再与 2 16 相加 得由此推得其中为任意常数 再将的表达式代入 2 15 得 2 16 2一维波动方程 12 偏微分方程教程 第四章双曲型方程