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省电大开放教育开放本科金融专业、会计专业选修课程工商管理统计单元辅导（二） (4-5章)第四章 推断未知的总体特征（一）内容提要本章主要介绍参数估计的基本方法，也就是如何根据样本所提供的信息来推断我们所关心的总体特征。对于一个总体，我们所关心的总体特征主要有总体均值、总体比例和总体方差等，这些特征通常是不知道的，需要根据样本进行推断。本章内容主要涉及总体均值和总体比例的推断。要进行抽样推断，首先需要解决抽取样本的问题。从总体抽取样本的方法有概率抽样和非概率抽样两类。统计推断所依据的主要是概率抽样。抽样的概率抽样方法有简单随机抽样、分层抽样、系统抽样和整群抽样等。本章所介绍的推断方法主要依据简单随机抽样。根据简单随机抽样抽取样本的方法主要是根据随机数字表来进行。要根据样本进行推断，还必须知道样本统计量是如何分布的，比如样本均值的分布、样本比例的分布等。样本统计量的分布与原有总体的分布以及样本容量的大小有关。统计研究表明，如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值也服从正态分布，在重复抽样条件下，其分布的数学期望为，方差为。也就是说，作为随机变量的样本均值。在不重复抽样条件下，对重复抽样分布的方差用系数进行修正即可。这时样本均值的抽样分布为：。对于无限总体进行不重复抽样时，或者对于有限总体，当N很大，而抽样比很小时，其修正系数趋于1，这时样本均值的方差也可来计算。 如果原有总体的分布不是正态分布，就要看样本容量的大小了，当n为大样本时根据统计分上的中心极限定理可知，当样本容量n增大时，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于服从正态分布。这时就可以按正态分布来进行推断。当n为小样本时，其分布则不是正态分布，这时就不能按正态分布进行推断。同样，对于样本比例的分布，我们也需要知道的数学期望和方差。统计证明，的数学期望等于总体的比例，即：，而的方差则与抽样方法有关，在重复抽样条件下，有：，在不重复抽样条件下，则用修正系数加以修正，即：。也就是说，在重复抽样条件下，样本比例的抽样分布为;在不重复抽样条件下，样本比例的抽样分布为：。与样本均值分布的方差一样，对于无限总体进行不重复抽样时，可以按重复抽样来处理。此时样本比例的方差仍可按来计算。对于有限总体，当N很大，而抽样比时，其修正系数趋于1，这时样本比例的方差也可以按来计算。统计证明，对于来自正态总体的简单随机样本，比值的抽样分布服从自由度为（n1）的分布，即。总体方差的区间估计就是用分布来建立的。在知道了样本统计量的分布后，我们就可以根据其分布来估计总体的参数了。用样本统计量估计总体参数的方法有点估计和区间估计两种。点估计就是用样本估计量直接作为总体参数的估计值。一个优良的估计量应满足无偏性、有效性和一致性三个标准。但由于点估计没有给出估计的可靠程度，实际中我们更多的使用区间估计，它是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围，并指出总体参数落在这一范围的概率是多少。总体参数所在的区间称为置信区间。总体均值的区间估计有以下集中情况：一是正态总体方差已知，或非正态总体方差未知但大样本。这种情况下，可以根据正态分布建立总体均值的置信区间。在重复抽样条件下，总体均值在置信水平下的置信区间为：；在不重复抽样条件下，总体均值的置信区间为：。如果总体方差未知，即使总体为非正态分布，只要在大样本条件下，则可以用样本方差代替总体方差，这时总体均值在置信水平下的置信区间可以写为：。在不重复抽样条件下，总体均值的置信区间为：。二是正态总体方差未知，且小样本。在这种情况下，则需要用样本方差代替，这时，将样本均值标准化后的结果不再服从标准正态分布，而是自由度为n-1的t分布。在这种情况下，应采用t分布来建立总体均值的置信区间。根据t分布建立的总体均值在置信水平下的置信区间为：。对于总体比例的置信区间，当样本容量很大时，即当，就可以认为样本容量足够大，这时样本比例的抽样分布可以用正态分布近似。这时可以根据正态分布来建立总体比例的置信区间。总体比例在置信水平下的置信区间为：。在不重复抽样条件下，总体比例在置信水平下的置信区间为：估计总体方差的置信区间则要用分布。总体方差的置信区间为。开方后即得到总体标准差的置信区间。抽样估计中的另一个问题是如何确定一个适当的样本容量。增加样本容量可以提高估计的准确性，但样本容量的增加会受到许多限制。一个合适的样本容量与估计时所要求的估计误差（边际误差）有关。在一定的边际误差条件下，采用重复抽样估计总体均值时所需的样本容量为：；采用不重复抽样估计总体的均值时所需的样本容量为：。采用重复抽样估计总体比例时多需的样本容量为：；采用不重复抽样的估计总体比例时所需的样本容量为：。（二）学习要求通过本章的学习，要求掌握以下内容：（1） 理解抽样的含义，掌握抽取样本的具体方法；（2） 理解抽样分布的含义，掌握样本均值和样本比例的抽样分布。（3） 了解点估计的含义，掌握平价估计量的标准；（4） 掌握样本容量的确定方法；（5） 熟练掌握总体均值和总体比例的区间估计方法；（6） 能应用本章所学方法对实际问题进行估计与分析。1、对抽样推断的理解 抽样推断是从所研究的总体全部元素（单位）中抽取一部分元素（单位）进行调查，并根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。2、对抽样分布的理解，样本统计量的分布与总体分布的关系。所谓抽样分布，就是指样本统计量的分布。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。样本均值抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值也服从正态分布。其分布的数学期望为总体均值，方差为总体方差的1/n，即N(,/n)。如果原有总体的分布不是正态分布，就要看样本容量的大小了，当n为大样本时（n30）,根据统计上的中心极限定理可知，当样本容量n增大时，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于服从正态分布。其分布的数学期望为总体均值，方差为总体方差的1/n。3、简述评价估计量好坏的标准。（1）无偏性。无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。设总体参数为 ，所选择的估计量为 ，如果E()= ,称 为 的无偏估计量。（2）有效性。一个无偏的估计量并不意味着它就非常接近被估计的参数，它还必须与总体参数的离散程度比较小。假定有两个用于估计总体参数的无偏估计量，分别用和 表示，它们的抽样分布的方差分别用 D（）和D（）表示，如果 的方差小于 的方差，即D（）5,所以可以用正态分布建立总体合格率的置信区间。置信率为95时，Z1.96。边际误差为：E= Z=1.96=12.63总体比例的置信区间为： Z6412.63即我们可以用95的概念保证，该居民小区赞成改革的户数比例在51.3776.63之间。 （2）当要求边际误差不超过10时，应抽取的样本容量为：n=75.3376(户)7、某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95的置信水平估计每个顾客购物金额的置信区间，要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？解答：已知120，边际误差E=20,置信概率为95时，Z1.96。应抽取的样本容量为：n=138.31398、某大学共有在校本科生8000人，学校想要估计每个学生一个月的生活费支出金额，准备采取不重复抽样方法。根据前几届的毕业生资料，平均每个学生月生活费支出金额的标准差约为50元，若本次估计确定的置信概率为95，要求边际误差不超过20元，应抽取多少名学生进行调查？解答：已知N=8000,=50,边际误差E=20,置信概率为95时，Z=1.96。应抽取的样本容量为：n=23.9424应抽24个学生作为样本。9、某种饮料采用自动饮料机进行灌装，其重量的方差对生产厂家来说时非常重要的。如果方差太大，过度灌装或灌装不足，都会使顾客不满意。一个可以接受的灌装方差为8（灌装重量以克计）。为对生产过程进行检测，厂家随机抽取了20个样品组成一个样本，测得样本方差为12。取显著性水平0.05，建立该灌装饮料重量方差的置信区间，并说明样本是否表明方差太大，需要对灌装机进行停产检验？解答：总体方差的置信区间为： 根据显著性水平0.05和自由度（n1）（201）19，查分布表得，。总体方差的置信区间为： 即6.9425.6。即该种灌装饮料总量的方差在6.9425.6克之间。由于方差上限超过了可以接受的灌装方差8，所以需要停产检查。第五章 检验你所提出的假设（一）内容提要 本章主要介绍假设检验的基本原理与方法。与参数估计一样，假设检验是统计推断的，另一个重要内容。它与叁数估计的区别是：在参数估计中，估计之前总体参数是未知的，从总体中抽出一个样本，然后利用样本所提供的信息估计总体参数的值；在假设检验中，检验之前总体参数也是未知的，但我们先对总体参数提出一个假设，而后抽取样本，利用样本所提供的信息检验这一假设是否成立。与参数估计一样，在假设检验中，就一个总体而言，我们所关心的总体参数也主要是总体均值、比例和方差；对于两个总体，所关心的参数主要有两个总体的均值之差、两个总体的比例之差、两个总体的方差等。本章我们要对这些内容分别介绍。考虑到学生已经学过假设检验的内容，在写法上注重于方法的应用。 检验的过程大体上为：对总体参数提出假设；选择检验的统计量；根据样本计算统计量的值；选择显著性水平；根据统计量的值与显著性水平下的临界值进行比较，作出接受或拒绝原假设的决策。检验的方法有单侧检验和双侧检验。采用哪种检验，要看我们所关心的问题以及假设的具体形式。假设检验所依据的是统计上的小概率原理。所谓小概率，是指一个概率很小的值。通常所使用的小概率值主要有0.01、0.05和0.1等。一个几乎不可能发生的事件在一次实验中发生的概率很小，如果它一旦发生，我们就有理由拒绝原来的假设。当然，拒绝或接受假设都有可能犯错误。在假设检验中，这类错误称为第一类错误，也叫错误，也成为风险；另一类错误是原假设为假，我们却接受了原假设，这类错误称为第二类错误，也称为错误。在实际应用中，我们主要控制第一类错误。就一个总体而言，我们要检验的参数主要有总体均值、总体比例和总体方差。对于两个总体参数的检验，统计量的计算比较复杂。在学习中，要求使用Excel进行有关的统计检验。（二）学习要求通过本章学习，要求掌握以下内容：（1）理解假设检验的原理与统计思想，掌握假设检验与参数估计的区别。（2）理解假设检验中的小概率原理。（3）理解显著性水平的含义。（4）掌握假设检验的拒绝准则。（5）理解并运用P进行检验。（6）能够利用Excel进行两个总体参数的统计检验。并对Excel的输出结果进行解释和分析。（7）能结合实际问题进行假设检验。1、对原假设和备择假设的理解 原假设是我们要通过样本判断其是否成立的一个命题，用表示；备择假设是与原假设相反的假设，通常用表示。在假设检验中，原假设与备择假设是一个完备事件组，两个假设必有一个成立，而且只有一个成立。2、在双侧检验中，拒绝原假设的规则是什么？在双侧检验中，原假设为“”，备侧假设为“”，因而拒绝域在分布的两个尾部。使用正态分布进行检验时，若检验的统计量Z 或Zt或tt或时，拒绝原假设。3、单侧检验中，拒绝原假设的规则是什么？单侧检验有左侧检验和右侧检验两种。左侧检验的原假设为：参数某一数值。因而其拒绝域在左侧。如果检验的统计量值小于水平下的临界值，则拒绝原假设。右侧检验的原假设为：参数某一数值。因而其拒绝域在右侧。如果检验的统计量值大于水平下的临界值，则拒绝原假设。4、一种杂志声称25的读者为大学生。一个由400名读者组成的随机样本表明，其中84名是大学生。（1）在0.01的显著性水平下，检验该杂志的说法是否成立？（2）在0.05的显著性水平下，会得出什么样的结论？（3）在0.1的显著性水平下，会得出什么样的结论？解答：先计算出样本比例，结果如下： 提出假设：， 计算检验的统计量为：Z=（1）当0.01时，临界值2.58，由于，不能拒绝：。即该杂志的说法是成立的。（2）当0.05时，临界值1.96，由于，不能拒绝：。即该杂志的说法是成立的。（3）当0.1时，临界值1.65，由于，应拒绝：。即该杂志的说法是不成立的。5、一种产品需要人工组装，每个工人组装产品数量的方差为100。企业准备采用一种新的方法组装产品，以提高产品的数量，但管理人员希望新的方法组装产品的方差保持原有的水平。由25名工人组成一个随机样本表明，采用新方法组装产品数量的方差为120。试以显著性水平0.05，检验新方法组装产品数量的方差与原来的方法是否相同？解答：提出假设：100 ：100。计算检验统计量：由于是双侧检验，拒绝原假设的法则是：或。查表得分位数为，由28.812.4011,因而接受原假设，以95的可靠性认为新方法组装产品数量的方差与原来相同。6、某企业管理人员对采用两种方法组装新产品所需的时间（分钟）进行测试，随机抽取6个工人，让他们分别采用两种方法组装同一种产品，采用方法A组装所需的时间和采用方法B组装所需的时间如下表。假设组装的时间服从正态分布，以0.05的显著性水平比较两种方法是否有差别。 方法A 方法B8.2 9.55.3 8.36.5 7.55.1 10.99.7 11.310