西南交通大学振动力学_第 4 章 连续系统的振动(I).ppt

第4章连续系统的振动 I 李映辉西南交通大学2015 09 2020年3月21日 振动力学 2 2020年3月21日 中国力学学会学术大会 2005 2 2020年3月21日 2 声明 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用 不可用于任何商业目的 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件 作者在此向二位教授表示衷心感谢 如该课件无意中损害了二位教授利益 作者在此致歉 本课件以高淑英 沈火明编著的 振动力学 中国铁道出版社 2011年 的前四章为基础编写 感谢研究生蒋宝坤 王金梅在文字录入方面的工作 2020年3月21日 振动力学 3 教学内容 连续系统的振动 2020年3月21日 振动力学 3 弦 杆的的振动梁的横向的振动薄板的振动连续系统固有特性的近似解法 2020年3月21日 振动力学 4 教学内容 连续系统的振动 弦 杆的振动 2020年3月21日 振动力学 4 弦 杆的的振动弦的横向振动弦的横向振动方程弦的自由振动弦的强迫振动杆的纵向振动杆的纵向振动方程杆的纵向自由振动杆的纵向强迫振动杆的扭转振动杆的扭转振动方程杆的扭转自由和强迫振动 2020年3月21日 振动力学 5 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 连续系统 具有分布质量和分布弹性的系统 如柔索或弦 梁 板等 连续系统的运动状态可用时间和坐标的连续函数来描述y f x t 基本假设如下 1 材料是均匀连续的 且各向同性 2 线弹性 即服从胡克定律 3 小变形 2020年3月21日 振动力学 6 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 4 1弦 杆的振动弦 绳索构件 悬索桥的索 图4 1 a 斜拉桥的斜拉索 图4 1 b 悬索屋顶结构 图4 1 c 高压输电线 图4 1 d 小提琴 胡琴等琴弦 2020年3月21日 振动力学 7 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 4 1 1弦横向振动方程两端固定 张力T0 单位体积质量 横截面积A 长度l 如图4 2 开始受干扰 冲击力或位移 干扰消失后 弦将在Oxy平面内发生横向自由振动 2020年3月21日 振动力学 8 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 1 离散化方法将弦任意分割为n 1段 如图4 3 a 将每段的质量对半聚缩到两端 各质量点质量为mi i 1 2 n 且mi A xi 使连续系统简化为一个n自由度的离散系统振动问题 2020年3月21日 振动力学 9 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 用yi表示各质点mi偏离平衡位置的横向位移 设各质点mi作微振动 考查3个相邻质点mi 1 mi和mi 1 mi受力如图4 3 b 所示 2020年3月21日 振动力学 10 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 质点mi的横向振动方程为式中 i i分别为质点mi上两相邻弦段的张力T0与x轴的夹角 对微振动 sin i tan i sin i tan i 且代入整理得 2020年3月21日 振动力学 11 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 令 yi 1 yi yi 1 yi yi 1 yi 代入式 4 1 得两边同除以 xi 得令 xi 0 离散系统趋近连续系统 为弦横向自由振动方程 2020年3月21日 振动力学 12 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 2 连续化方法在离左边固定端x处取微段dx 图4 4a x点的横向位移y y x t 其质量为dm Adx 微段受力如图该微段的运动方程为对微幅振动 有 2020年3月21日 振动力学 13 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 因 y x 得 2020年3月21日 振动力学 14 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 4 1 2弦横向自由振动将 4 2 简写为式中c2 T0 A c为波沿弦长度方向传播速度 式 4 3 一般称为一维波动方程 2020年3月21日 振动力学 15 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 设 4 3 的解为式中 Y x 为弦的振型 而T t 为弦的振动方式 式 4 4 代入 4 3 得整理得方程中含x和t两个变量 这种方法称为分离变量法 2020年3月21日 振动力学 16 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 因两边分别为x和t的函数 两边必为同一常数 设为 2 得式 4 6a 和式 4 6b 的解分别为 4 7b 称为振型函数 表明弦按固有频率 作简谐振动的振动形态 即为主振型 代入得 2020年3月21日 振动力学 17 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 式中A B 为4个待定常数 除需振动的初始条件外 还需端点条件确定 对两端固定弦 边界条件为代入 4 8 得 2020年3月21日 振动力学 18 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 式 4 9 为弦振动的特征方程 也就是频率方程 由于对应于正弦函数为零的固有频率 值应有无限多个 即所以为此 对应于无限多阶的固有频率 n 就有无限多阶的主振动 代入 4 8 得式中为主振型 即 2020年3月21日 振动力学 19 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 通常称Y x 为特征函数 为此Yn x 为一特征函数族 主振型也应是一函数族 通常 弦的自由振动为无限多阶主振动的叠加 或式中An n或Cn Dn根据初始条件来决定 设初始条件为 2020年3月21日 振动力学 20 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 代入式 4 13b 有把f1 x f2 x 按傅里叶级数展开 有式中 2020年3月21日 振动力学 21 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 由式 a b 得弦的自由振动响应为在求解弦的自由振动微分方程的过程中 要注意以下几点 1 方程 4 7b 的解必须满足初始条件和边界条件 2020年3月21日 振动力学 22 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 初始条件和边界条件称为定解条件 只有初始条件 没有边界条件的定解问题称为初值问题 或柯西问题 没有初始条件 只有边界条件的定解问题称为边值问题 两者皆有称为混合问题 2 特征方程 频率方程 由边界条件获得 解由无限多的特征值组成的 3 特征函数族中的An是未定振幅 故Yn x 仅描述了振型的形状 2020年3月21日 振动力学 23 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 4 系统的固有频率中 当n 1时 称为基频 较高次的频率 n n 2 3 4 是基频的整数倍 n与 T0 l有关 可知 琴弦紧一些 可调高音调 松一些可调低音调 图4 5 2020年3月21日 振动力学 24 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 3 弦的横向强迫振动的微分方程及其解两端固定 长l的弦上 作用横向分布力q x t 弦线作强迫振动 如图4 6所示 设张力T0 单位体积质量和横截面积A皆为常量 强迫振动方程为 2020年3月21日 振动力学 25 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 式中c2 T0 A 振型函数为振动方式Hn t 为未知的时间函数 振型函数必须满足边界条件 因此 令也必须满足边界条件 同时式 4 13 的解也应满足边界条件 设方程 4 15 的解为 2020年3月21日 振动力学 26 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 式 4 16 代入式 4 15 得设An 1 上式两边乘以 对x在 0 l 上积分 根据振型函数正交性得式中与无阻尼单自由度系统在外激励下方程形式相同 其解为 2020年3月21日 振动力学 27 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 式中 为待定常数 由初始条件决定 分别表示广义坐标和广义速度的初始值 称为广义力 将式 4 18 代入式 4 16 中 可得弦的强迫振动解 即得系统在初始条件下和任意激振的响应 2020年3月21日 振动力学 28 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 例4 1 在一旋转的圆平台上 沿直径方向安装了一根弦AB 弦内初拉力为T0 弦长为l 弦的一端A离圆平台的圆心距离为l1 弦在圆平台上作微振动 如图4 7 a 在这种情况下 弦实为测量平台旋转角速度的敏感元件 即由测量弦振动基频来确定平台的角速度 试建立此弦的振动方程 2020年3月21日 振动力学 29 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 解 平台旋转时 张力T x 大小沿其长度方向变化 设分布离心力在x轴上投影为qx x 则作用在dx微段上的离心力因弦AB总伸长为0 m x m0 常数 有 b 2020年3月21日 振动力学 30 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 式中 E为材料弹性模量 F为横截面面积 Nq x 为qx x 作用引起弦的内力 有 c 代入 b 有 2020年3月21日 振动力学 31 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 分布力离心力引起的弦内张力为对有初拉力为T0 弦内总张力为离心力q x 在y方向的投影为 2020年3月21日 振动力学 32 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 由平衡方程整理得此为该弦振动方程 例4 2 两端固定弦 长l 横截面A 单位体积质量 开始时 在距O点a处把弦拉高h 然后放手 如图4 9 设张力T0大小不变 求弦自由振动响应和弦以第n阶主振型振动时的总能量 2020年3月21日 振动力学 33 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 图4 9 解 弦作自由振动 其响应可由式 4 14 表为 式中 n cn l f1 x f2 x 为初始条件 根据题意 2020年3月21日 振动力学 34 将f1 x 和f2 x 代入式 a 得 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 2020年3月21日 振动力学 35 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 当弦以第n阶主振型振动时 它的总能量公式为将yn x t 代入上式得由此可见 En将随n值的增大而快速变小 当n 1时 它的总能量有最大值 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 2020年3月21日 振动力学 36 作业 第156页4 4 连续系统的振动 弦 杆的振动 弦的横向振动 2020年3月21日 振动力学 37 2020年3月21日 振动力学 37 教学内容 连续系统的振动 弦 杆的振动 2020年3月21日 振动力学 37 弦 杆的的振动弦的横向振动弦的横向振动方程弦的自由振动弦的强迫振动杆的纵向振动杆的纵向振动方程杆的纵向自由振动杆的纵向强迫振动杆的扭转振动杆的扭转振动方程杆的扭转自由和强迫振动 2020年3月21日 振动力学 38 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 1 杆纵向振动方程基本假设 1 只考虑杆的纵向变形 2 垂直于杆轴线的任一截面始终保持为平面 且始终垂直于杆的轴线 3 各横截面内各质点只沿着杆轴线方向作相等位移 即不计杆的横向变形 基本参数 截面抗拉刚度EA x 弹性模量E 横截面积A x 单位体积质量 2020年3月21日 振动力学 39 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 设u x t 为t时刻 x处截面纵向位移 微段dx受力如图4 10 b x处横截面上轴力N x dx处横截面上轴力 位移为 2020年3月21日 振动力学 40 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 轴向应变量由 x E x及有由平衡方程得 2020年3月21日 振动力学 41 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 整理有 4 19 代入得对等直杆 EA x 为常量时 式 4 20 写为式中c2 E c为弹性纵波沿杆轴线的传播速度 材料内声的速率 2020年3月21日 振动力学 42 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 2 杆的纵向自由振动式 4 21 与 4 3 有相同形式 是一维波动方程 用分离变量法求解 设解u x t U x T t 得解得 2020年3月21日 振动力学 43 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 A B 为待定常数 由初始条件和边界条件决定 对两端固定杆 边界条件为代入式 4 23 得得出对应的主振型 2020年3月21日 振动力学 44 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 两端自由杆 边界条件为自由端轴力为零 代入边界条件有则有主振型为 2020年3月21日 振动力学 45 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 与两端固定杆不同处 存在n 0时的固有频率 n 0 表示杆顺轴线方向作刚体平移 对零频率 0 0 若取B0 1 则其主振型为 2020年3月21日 振动力学 46 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 三种边界条件下的杆纵向振动频率方程 固有频率及主振型 2020年3月21日 振动力学 47 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 其它情况的边界条件 2020年3月21日 振动力学 48 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 杆纵向振动响应 由无限多阶主振型的叠加得到 如对两端固定杆或式中An n或Cn Dn两个待定常数 由初始条件决定 2020年3月21日 振动力学 49 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 例4 3 图中等直杆横截面积A 单位体积质量 弹性模量E 长l 左端固定 右端固结一质量M的质量块 计算其固有频率 并进行正交性条件推导 解 1 计算固有频率由 4 23 响应为 2020年3月21日 振动力学 50 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 边界条件为代入及c2 E 得 Al M为杆质量和附加质量之比 式 a 为频率方程 设 Al M 1 l c 式 a 为 2020年3月21日 振动力学 51 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 tan 和1 的曲线如图由两曲线交点 1 2 可求得各阶固有频率 由图可得 1 0 86 2 3 43 则 2020年3月21日 振动力学 52 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 讨论 1 当杆质量和附加质量比不为1 令v为质量比 由 a 有则 a 可简化为由 c 当给定质量比时 可求出一系列的 值 代入 l c 中 可得即可求出各阶固有频率 2020年3月21日 振动力学 53 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 讨论 2 当质量比v在两种极端情况 即v 和v 0时 a 当v 时 由 c 知tan 即将 e 代入 d 得与表4 1中一端固定一端自由杆固有频率相同 说明此质量块M的作用可以不计 2020年3月21日 振动力学 54 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 b 当v 0时 tan 代入 c 得将v Al M和 l c 代入上式 得因EA l是杆的纵向刚度 说明 h 为略去杆质量后 得到的单自由度系统固有频率 值得注意的是 若v 0 1时 由数值计算可得 1 0 32 代入 d 得 2020年3月21日 振动力学 55 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 若v 0 1 代入v Al M中 则M 10 Al 再代入 h 则 j 与 i 比较 相对误差仅1 18 为此 当v值较小时 略去杆的质量 可得到精度较好的结果 2020年3月21日 振动力学 56 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 2 正交性条件的推导两个不同阶主振型Yn Ym之间正交性定义为对右端带一质量块的杆主振型正交性证明如下 设Un x 和Um x 为n阶和m阶主振型函数 则它们满足方程 2020年3月21日 振动力学 57 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 式中c2 E 整理得式中m A 将Un x 和Um x 代入 a 得用Um和Un分别 b 和 c 并积分得 2020年3月21日 振动力学 58 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 应用分部积分 得两式相减得由将边界条件 2020年3月21日 振动力学 59 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 代入式 f 得故有当m n时 m2 n2 则有上式为右端带质量块的杆纵向振动主振型对质量的正交性条件 与无质量块的杆纵向振动主振型对质量的正交性条件相比较 多了MUn l Um l 2020年3月21日 振动力学 60 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 当m n时 m2 n2 则有式中 是一个任意常数 若取 1 则振型函数即可按照下面方式规格化 2020年3月21日 振动力学 61 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 3 杆的纵向强迫振动微分方程的解在两端自由杆上作用均布轴向力Q x t 如图4 13 截面抗拉刚度为EA x E为弹性模量 A x 为横截面面积 单位体积质量为 杆振动方程为式中q x t Q x t A 2020年3月21日 振动力学 62 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 设杆振动方式Tn t 为时间函数 则必须满足边界条件时设方程 4 25 的解为代入 4 25 应用正交性条件和规格化后 得式中Un x 是正则振型函数 根据杜哈美积分求得 2020年3月21日 振动力学 63 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 杆的纵向强迫振动的响应为 2020年3月21日 振动力学 64 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 例4 4 图4 14 a 为一端自由 一端固定端的细长杆 其固定端支承相对于地面按抛物线函数作平移 设杆长l 杆截面抗拉刚度EA E为弹性模量 A为横截面面积 为单位体积质量 在初瞬时 杆处于静止 试确定支承运动所引起的杆的纵向振动响应 2020年3月21日 振动力学 65 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 解 设u x t 为x处纵向位移 X处微段dx 受力如图4 14 b 轴向应变由动静法得 2020年3月21日 振动力学 66 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 整理后得 a 代入 b 中 得设则有代入式 c 中 得 2020年3月21日 振动力学 67 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 令c2 E 整理得令q x t 代入上式式 e 和式4 25 相同 先解齐次方程 根据边界条件 得到固有频率 2020年3月21日 振动力学 68 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 式中 Un x 是规格化的正则振型函数 根据 4 28 有由支承运动引起的杆的纵向振动响应为故 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 2020年3月21日 振动力学 69 作业 第156页4 7 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 2020年3月21日 振动力学 70 2020年3月21日 振动力学 70 教学内容 连续系统的振动 弦 杆的振动 2020年3月21日 振动力学 70 弦 杆的的振动弦的横向振动弦的横向振动方程弦的自由振动弦的强迫振动杆的纵向振动杆的纵向振动方程杆的纵向自由振动杆的纵向强迫振动杆的扭转振动杆的扭转振动方程杆的扭转自由和强迫振动 2020年3月21日 振动力学 71 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 4 1 3杆的扭转振动1 振动微分方程圆截面细长直杆 单位体积质量 截面抗扭刚度GJt x G为剪切弹性模量 It x 为截面抗扭常数 圆形截面It x Ip x Ip x 为截面极惯性矩 2020年3月21日 振动力学 72 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 基本假设 杆扭转振动时 截面翘曲可忽略不计 且始终保持截面平面绕x轴作微摆动 x t 表x处截面的角位移 微段dx 其受力如图4 15 b 则由动量矩定理整理后式 4 29 代入 得 2020年3月21日 振动力学 73 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 对等直杆 It为一常数 上式可化简为式中 对于圆截面杆 It Ip 则c2 G c为剪切弹性波沿x轴的传播速度 2020年3月21日 振动力学 74 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 2 杆扭转自由振动式 4 30 与 4 21 形式相同 也是一维波动方程 故其解可直接写成式中A B 四个待定常数 由初始条件和边界条件来确定 2020年3月21日 振动力学 75 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 表4 3为一些常用的边界条件 表4 3常用边界条件 2020年3月21日 振动力学 76 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 杆扭转自由振动通解由各主振型叠加而成 即给定初始条件后 则由来决定式 4 32 中常数项An 或Bn 和 n 2020年3月21日 振动力学 77 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 杆扭转受迫振动式 4 28 形式相同 其解也有相同的形式 现以表4 4给出弦 杆振动方程的参数对应关系 2020年3月21日 振动力学 78 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的扭转振动 如已知两端固定均匀弦的固有频率 正则振型表达式 根据表4 4 两端固定均匀轴固有频率及正则振型表达式 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 2020年3月21日 振动力学 79 作业 第157页4 11 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 2020年3月21日 振动力学 80 教学内容 连续系统的振动 弦 杆的振动 2020年3月21日 振动力学 80 梁的横向振动梁的横向振动方程Euler梁的横向振动方程Timosheko梁的横向振动方程轴力作用下梁的横向振动方程梁的双向横向振动方程梁的横向振动解梁的横向自由振动主振型的正交性梁的横向强迫振动移动载荷作用下梁的横向振动 2020年3月21日 振动力学 81 连续系统的振动 梁的横向振动 4 2梁的横向振动房屋中的主梁 次梁 钢轨 枕木 桥梁等都是梁的例子 梁在垂直其轴线方向发生的振动 称为梁的横向振动或弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 82 连续系统的振动 梁的横向振动 梁的三种力学模型 1 欧拉 伯努利梁 Euler Bernoullibeam 只考虑梁的弯曲变形 不计剪切变形及转动惯量影响 2 瑞利梁 Rayleighbeam 除考虑梁的弯曲变形外 还考虑转动惯量影响 但不计剪切变形影响 3 铁木辛科梁 Timoshenkobeam 既考虑梁的弯曲变形和转动惯量 还考虑其剪切变形影响 2020年3月21日 振动力学 83 连续系统的振动 梁的横向振动 4 2 1梁的横向振动微分方程1 欧拉 伯努利梁的振动方程设y x t 为梁的横向位移 如图4 17 a 它是横截面位置x和时间t的函数 横截面对中心主轴的截面惯性矩为I x 单位体积质量为 横截面积为A x 作用有分布力q x t 2020年3月21日 振动力学 84 连续系统的振动 梁的横向振动 取微段dx 受力如图4 17 b Q为剪力 M为弯矩 惯性力由整理得由 2020年3月21日 振动力学 85 连续系统的振动 梁的横向振动 略去二阶微量 可得由弯矩和挠度关系有把式 a 和 4 35 代入式 4 36 整理得为欧拉 伯努利梁横向振动方程 对等直梁 EI x 和A x 为常量 得到 2020年3月21日 振动力学 86 连续系统的振动 梁的横向振动 2 铁木辛科梁的振动方程铁木辛科梁力学模型考虑了梁的剪切变形和转动惯量 取微段dx 如图4 18 梁轴线 截面 转角 由弯矩 剪力共同作用产生 弯矩作用产生的梁轴线 截面 转角 剪力作用产生的梁轴线 截面 转角 则 2020年3月21日 振动力学 87 连续系统的振动 梁的横向振动 由弯矩M和剪力Q关系式 b 代入上式得式中 k 1 k k为取决于截面几何形状的常数 矩形截面k 1 2 圆形截面k 1 11 而k A为截面有效剪切面积 由得 2020年3月21日 振动力学 88 连续系统的振动 梁的横向振动 整理得式 d 代入上式得由 得略去二阶微量 整理得式中I为横截面对中心主轴惯性矩 为转动惯性矩 Idx为微段转动惯量 2020年3月21日 振动力学 89 连续系统的振动 梁的横向振动 式 c d 代入上式 得对等截面梁 将 e f 中 消去 得 4 39 为铁木辛科梁振动方程 2020年3月21日 振动力学 90 连续系统的振动 梁的横向振动 3 在轴向力影响下 梁的横向振动方程梁除承受横向载荷外 常还受平行于轴线的轴向力 如图4 19 因轴向力和横向位移相互影响 不能直接应用横向振动方程 需推导其振动方程 2020年3月21日 振动力学 91 连续系统的振动 梁的横向振动 设轴力N为常量 取微段dx 受力图如图4 19 b 由 得因 很小 sin 整理得由 得含轴力的梁振动方程 2020年3月21日 振动力学 92 连续系统的振动 梁的横向振动 4 梁的双向横向振动方程以上讨论的梁 在振动中轴线始终在同一平面内 若截面主方向随x改变 在振动中轴线将不再位于同一平面内 对每一主振动 皆包含两个相互垂直的分量 两个方向的横向振动是互相耦合的 称这种振动为梁的双向横向振动 建立梁的双向横振动方程 常采用哈密顿原理 式中 T为动能 U为势能 W为主动力的虚功 2020年3月21日 振动力学 93 连续系统的振动 梁的横向振动 设x轴为变形前的弹性线 坐标轴如图4 20 弹性线上各点位移沿y和z方向的分量为 2020年3月21日 振动力学 94 连续系统的振动 梁的横向振动 则梁上任一点a在3个方向的位移分量为由图4 20 b c 得因sin sin 则 2020年3月21日 振动力学 95 连续系统的振动 梁的横向振动 微元的动能 势能为式中 则系统的动能 势能为 2020年3月21日 振动力学 96 连续系统的振动 梁的横向振动 式中 Iz Iy为截面对于z轴和y轴的惯性矩 Iyz为相应的惯性积 设梁受分布载荷为qz x t qy x t 两端作用弯矩和剪力为Qy0 Qz0 My0 Mz0 Qy1 Qz1 My1 Mz1 如图4 20 a 则主动力的虚功为将 4 42a 4 42b 4 42c 代入 4 41 得 2020年3月21日 振动力学 97 连续系统的振动 梁的横向振动 式中 表示 表示 且 v 0 v l v 0 v l w 0 w l w 0 w l 为两个端点的虚位移 式 4 43 中动能变分为 a 中第一项式中 因为t1 t2瞬时的运动已给定 2020年3月21日 振动力学 98 连续系统的振动 梁的横向振动 式中 同理 4 43 中势能变分为 b 中第一项为 2020年3月21日 振动力学 99 连续系统的振动 梁的横向振动 同理 b 其余三项为 以上结果代入 4 43 整理得 2020年3月21日 振动力学 100 连续系统的振动 梁的横向振动 2020年3月21日 振动力学 101 连续系统的振动 梁的横向振动 在边界上的变分 v 0 v 0 w 0 w 0 对应于位移边界条件为零 而力边界条件是任意的 同时 v w也是任意的 得到 2020年3月21日 振动力学 102 连续系统的振动 梁的横向振动 由 4 45 得梁的双向横振动方程以上方程相互耦合 欲使不耦合 则Iyz 0 有 2020年3月21日 振动力学 103 连续系统的振动 梁的横向振动 相应于 4 47 的边界条件为 2020年3月21日 振动力学 104 连续系统的振动 4 2 2梁的横向自由振动1 梁的横向自由振动 1 欧拉 伯努利梁横向自由振动方程对等截面直梁 振动方程为设 2020年3月21日 振动力学 105 连续系统的振动 代入 4 50 中得有得到 2020年3月21日 振动力学 106 连续系统的振动 4 53 第一式为式中设其基本解为Y x e x 代入 4 54 得四次代数方程 四个根为则通解为 2020年3月21日 振动力学 107 连续系统的振动 因整理得 4 55 为梁横向振动的振型函数 由 4 53 第二式得代入整理得 4 50 的通解 2020年3月21日 振动力学 108 连续系统的振动 式中 A B C D 和 为6个待定常数 将由初始条件和边界条件决定 如两端简支的梁 其边界条件为代入 4 57 得及由 a b 得 2020年3月21日 振动力学 109 连续系统的振动 因shkl 0 故C 0 代入 a 得因A 0 得频率方程 其根为knl n n 1 2 3 又 则固有频率为相应主振型为 2020年3月21日 振动力学 110 表4 5各种边界条件下的频率方程和固有频率 连续系统的振动 2020年3月21日 振动力学 111 表4 6振型函数与主振型 连续系统的振动 2020年3月21日 振动力学 112 常见的约束状况与边界条件 1 固定端 挠度和截面转角为零 2 简支端 挠度和弯矩为零 3 自由端 弯矩和剪力为零 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 113 例 求悬臂梁的固有频率和模态函数 解 一端固定 一端自由 边界条件 固定端 挠度和截面转角为零 自由端 弯矩和截面剪力为零 得 以及 非零解条件 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 114 简化后 得 频率方程 当i 1 2 3时 解得 当时 各阶固有频率 对应的各阶模态函数 其中 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 115 铅垂梁的前三阶模态形状 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 一个节点 两个节点 无节点 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 116 例 简支梁的固有频率和模态函数 解 一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰 固定铰 挠度和截面弯矩为零 滑动铰 挠度和截面弯矩为零 得 以及 频率方程 固有频率 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 117 频率方程 固有频率 模态函数 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 118 例 两端自由梁的固有频率和模态函数 背景 导弹飞行 系统类别 半正定系统 存在刚体模态 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 119 频率方程 模态函数 其中 当i 1 2 3时 解得 当时 自由端 弯矩和截面剪力为零 当时 对应刚体模态 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 120 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 第五阶模态 自由梁的模态形状 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 121 例 试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程 并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 122 连续系统的振动 梁的弯曲振动 解 梁的自由振动方程 边界条件 固定端 自由端 模态函数 2020年3月21日 振动力学 123 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 124 连续系统的振动 梁的弯曲振动 非零解条件 频率方程 求得 对应的各阶模态函数 代入 2020年3月21日 振动力学 125 连续系统的振动 梁的弯曲振动 第一阶模态 第二阶模态 0 560 2020年3月21日 振动力学 126 例 悬臂梁 一端固定 另一端有弹性支撑 边界条件 固定端 挠度和截面转角为零 弹性支撑端 剪力 弯矩分别与直线弹簧反力 卷簧反力矩相等 弹簧二 直线弹簧 与挠度成正比 弹簧一 卷簧 与截面转角成正比 弯矩平衡条件 剪力平衡条件 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 127 固定端 弹性支撑端 由固定端条件解得 由弹性支撑固定端条件解得 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 128 或 非零解条件导出频率方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 129 1 若k1 k2同时为零 则退化为悬臂梁的情形 连续系统的振动 梁的弯曲振动 讨论 2020年3月21日 振动力学 130 2 若k1 0 k2无穷大 则退化为一端固定另一端简支的情形 连续系统的振动 梁的弯曲振动 讨论 2020年3月21日 振动力学 131 例 悬臂梁自由端附有质量 求频率方程 解 固定端 自由端 弯矩为零 剪力与质量惯性力平衡 利用同上述算例相同的方法 得频率方程 其中 为集中质量与梁质量之比 为梁质量 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2020年3月21日 振动力学 132 连续系统的振动 2 铁木辛科梁横向自由振动由 4 39 得对简支梁代入 4 59 得频率方程 2020年3月21日 振动力学 133 连续系统的振动 若仅考虑 4 59 中前二项 即不考虑转动惯量和剪切变形影响 得式中 n l n为振动中梁的半波长度 得固有频率与欧拉 伯努利梁模型固有频率相同 若仅考虑 4 59 中前三项 即只考虑转动惯量影响 得频率方程 2020年3月21日 振动力学 134 连续系统的振动 由二项展开 得固有频率若只考虑剪切变形影响 则频率方程得出固有频率 2020年3月21日 振动力学 135 连续系统的振动 可见 转动惯量 剪切变形都是使梁固有频率降低 对高阶固有频率影响更大 因考虑转动惯量后 梁惯性增加 考虑剪切变形后 刚度就降低 两者都引起梁固有频率降低 剪切变形影响比转动惯量影响大 最后一项与第一项相比是一微量 略去得固有频率 2020年3月21日 振动力学 136 连续系统的振动 2 主振型的正交性自由振动解通常为无限多阶主振型的叠加 对简支梁有式中An n为待定常数 由初始条件决定 设Yn x 和Ym x 为n m阶固有频率 n和 m对应的主振型函数 对欧拉 伯努利梁 满足方程 2020年3月21日 振动力学 137 连续系统的振动 将Yn x Ym x 代入 a 得由Yn x Ym x 分别乘 b c 并在 0l 上积分 得对 d e 应用分部积分 得 2020年3月21日 振动力学 138 连续系统的振动 两式相减 得对简支 固定 自由三种支承的任意组合 右边皆为零 故m n n m时 有 2020年3月21日 振动力学 139 连续系统的振动 此式为主振型对质量的正交条件 将 4 65 代入 f 或 g 得此式为主振型对刚度的正交条件 对等截面梁 主振型正交性条件可表为 2020年3月21日 振动力学 140 连续系统的振动 当m n时 则式中 正常数Mn称为广义质量 如果Mn 1 则称Yn x 为正则振型函数 即满足代 4 68 入 d 得 2020年3月21日 振动力学 141 连续系统的振动 4 66a 4 68 可统一写为 4 69 可写为对等直梁 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 2020年3月21日 振动力学 142 作业 第157页4 12 4 13 4 14 4 16 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 2020年3月21日 振动力学 143 连续系统的振动 3 梁的横向强迫振动长l的均质等截面欧拉 伯努利梁 受分布力q x t 作用 其强迫振动方程为设其解为式中 Yn x 为固有频率 n对应的正则振型函数 Hn t 待求时间函数 即正则坐标 广义坐标 将 4 72 代入 4 38 得 2020年3月21日 振动力学 144 连续系统的振动 注意 主振型的正交性对等直梁 2020年3月21日 振动力学 145 连续系统的振动 式 4 73 两边均乘Ym x 并对x在 0l 上积分 应用正交性条件 4 70 4 71a 得式中 称为广义力 4 74 通解为因此欧拉 伯努利梁强迫振动解为式中 为广义坐标和广义速度初值 2020年3月21日 振动力学 146 连续系统的振动 例4 5 图4 21为长l简支梁 截面抗弯刚度EI 单位体积质量 截面积A 离梁一端a处 作用周期性集中载荷F F0sin 0t 梁初位移及初速度均为零 求此系统的响应 解 作用于x a处的集中载荷可写为对简支梁 正则振型函数为 2020年3月21日 振动力学 147 连续系统的振动 由 4 75 有因t 0时 则两边均乘 AYm x 对x在 0l 积分 利用振型正交性得 2020年3月21日 振动力学 148 连续系统的振动 代入初始条件得广义力则系统响应为 2020年3月21日 振动力学 149 连续系统的振动 4 2 3移动载荷作用下的梁的横向振动桥梁 桥式吊车大梁皆承受移动载荷 在其作用下将产生振动 1 恒值集中动荷作用下梁的横向振动对欧拉 伯努利梁 所受恒值集中载荷F以速度v向右运动 在t 0 F位于支承A处 t时刻F距A距离为a vt 设x处横向位移y x t 则振动方程为 2020年3月21日 振动力学 150 连续系统的振动 式 4 76 通解为式中 Yn x 为正则振型函数 表达式为广义力则 2020年3月21日 振动力学 151 连续系统的振动 故系统响应为 2020年3月21日 振动力学 152 连续系统的振动 2 移动质量作用下梁的横向振动考虑欧拉 伯努利梁 对移动质量m 以等速度v向右移动 t 0时位于支承A处 则t时刻 移动质量距A距离a vt 联连于移动质量上的坐标 则有 2020年3月21日 振动力学 153 连续系统的振动 以移动质量为对象 受力如图4 23 b 由牛顿定律有梁的横向位移y x t 则横向振动方程为把 b 代入 c 中 有因 2020年3月21日 振动力学 154 连续系统的振动 将以上关系代入 d 中 得当x vt时当x vt时 2020年3月21日 振动力学 155 连续系统的振动 4 79a 解可表示为代入 4 79a 得式 4 80 为非常系数微分方程 可用逐步渐近法求解 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 2020年3月21日 振动力学 156 作业 第158页4 18 连续系统的振动 弦 杆的振动 杆的纵向振动 2020年3月21日 振动力学 157 连续系统的振动 3 车轮滚动时轨道的横向振动对图4 24模型 车轮为刚性 半径R 质量m 受轴重G和驱动力MA作用 MA随 变化如图4 25 且车轮中心以速度v在无限长弹性轨道上滚动 轨道基础认为是粘弹性基础 将轨道简化为欧拉 伯努利梁 弯曲刚度EI 单位长度质量 轨道高度h R 单位长度基础刚度k 单位长度基础阻尼b 2020年3月21日 振动力学 158 连续系统的振动 建立如图4 24的坐标系 考虑车轮有微小的偏移s t y t t 梁在垂直方向有微小的偏移w x t 轮心到K点的半径为R 铅垂线偏转了一个微小的角度 t 车轮的平均角速度是 v R 接触点K的横坐标为xK vt sK 由图4 24可见式中 表示 x 假设车轮为纯滚动 则在接触点K处不存在相对运动 又假设梁在接触点处水平方向运动非常小而忽略不计 在接触点K处有一下的运动关系式 2020年3月21日 振动力学 159 连续系统的振动 又假设梁在接触点处水平方向运动非常小而忽略不计 在接触点K处有一下的运动关系式 式中 表示 t 因为非线性项 又可忽略不计 故上两式可化为 2020年3月21日 振动力学 160 连续系统的振动 根据图4 26所示车轮的受力图 应用动静法可写出车轮的运动微分方程为而非线性项可忽略不计 J0为车轮的转动惯量 则式 g 可写为对梁而言 其振动微分方程为 2020年3月21日 振动力学 161 连续系统的振动 则本系统的运动微分方程共有4个 式 4 81 式 4 82 式 4 83 式 4 84 对上述方程组将从两个方面来考虑 一方面考虑车轮为静止时 即车轮中心的平均速度v 0的情况 另一方面考虑车轮中心的速度v 0的情况 在此情况下 把坐标进行变换 取一运动坐标系 其坐标原点在轮心 设将方程 4 84 的齐次方程改写为 2020年3月21日 振动力学 162 连续系统的振动 其边界条件为其中间连续条件 在接触点处 为式中 4 83 经过坐标变换后 可写为 2020年3月21日 振动力学 163 2020年3月21日 振动力学 163 教学内容 连续系统的振动 弦 杆的振动 2020年3月21日 振动力学 163 薄版的横向振动矩形板的横向振动矩形板横向振动方程矩形板横向自由振动矩形板横向强迫园板的横向振动园板的横向振动方程园板的自由振动园板的强迫振动 2020年3月21日 振动力学 164 连续系统的振动 4 3薄板的振动工程结构中 除梁 柱基本构件外 还有板构件 薄板是指其厚度要比长 宽这两方面的尺寸小得多板 通常长 厚 10 在上下表面之间存在着一对称平面 称为中面 且假定 1 板材料由各向同性弹性材料组成 2 振动时薄板的挠度要比它的厚度要小 3 自由面上的应力为零 4 原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交 即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线 2020年3月21日 165 连续系统的振动 4 3 1矩形薄板的横向振动1 振动方程为了建立应力 应变和位移之间的关系 取一空间直角坐标系Oxyz 坐标原点及oxy坐标面皆放在板变形前的中面位置上 如图4 27 设板上任意一点a的位置 将由变形前的坐标x y z来确定 2020年3月21日 166 连续系统