空间中两直线的位置关系

数学必修2空间中两直线的位置关系 赵金才 复习引入 1 平面的表示方法 2 平面的画法 3 点线面之间的位置关系及图形文字符号语言的转化 4 平面性质中的三个公理及其符号语言 问题1 在平面几何中 两直线的位置关系如何 讲授新课 问题2 没有公共点的直线一定平行吗 问题3 没有公共点的两直线一定在同一平面内吗 生活数学 地铁线条与柱子线条 水流线条与桥面线条 在正方体的面ABCD中 AB与AD相交 AB与CD平行 AB和CC 的位置关系是平行还是相交还是两者都不是 两者都不是 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 空间两条直线的位置关系 不同在任何一个平面内 没有公共点 同一平面内 有且只有一个公共点 同一平面内 没有公共点 异面直线的画法 为了体现不共面的特点采用平面衬托法 两条异面直线指 A 空间中不相交的两条直线 B 某平面内的一条直线和这平面外的直线 C 分别在不同平面内的两条直线 D 不在同一平面内的两条直线 E 不同在任一平面内的两条直线 F 分别在两个不同平面内的两条直线 H 空间没有公共点的两条直线 I 既不相交 又不平行的两条直线 E I 练习1 A1 B1 C1 D1 C B D A 练习2如图所示 正方体的棱所在的直线中 与直线A1B异面的有哪些 练习3下图是一个正方体的展开图 如果将它还原成正方体 那么AB CD EF GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对 三对 AB与CDAB与GHEF与GH a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 答 不一定 它们可能异面 可能相交 也可能平行 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面 深化认识 异面直线的判定定理 连结平面内一点和平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 知识延伸 证明 点 点 直线 直线异面 如何判断两条直线是异面直线 2 空间两平行直线 提出问题 在同一平面内 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 在空间中 是否有类似的规律 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 公理4实质上是说平行具有传递性 在平面 空间这个性质都适用 公理4作用 判断空间两条直线平行的依据 a bc b a c 符号表示 设空间中的三条直线分别为a b c 若 想一想 空间中 如果两条直线都与第三条直线垂直 是否也有类似的规律 练习4 如图 点P Q R S分别在正方体的四条棱上 且是所在棱的中点 则直线PQ与RS是异面直线的一个是 例题示范 例1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 分析 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH FG且EH FG E F G H分别是各边中点 连结BD 只需证 EH BD且EH BDFG BD且FG BD 例题示范 例1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 变式一 在例2中 如果再加上条件AC BD 那么四边形EFGH是什么图形 E H F G 分析 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等 菱形 3 等角定理 提出问题 在平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 在空间中 结论是否仍然成立呢 观察思考 如图 ADC与 A D C ADC与 A B C 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 3 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 3 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 定理的推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两条直线所成的锐角 或直角 相等 夹角 在平面内两直线相交成四个角 不大于90 的角成为夹角 夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度 异面直线通过异面直线所称的角来刻画 异面直线所成的角 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 我们把a 与b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 为简便 O点常取在某一直线上 想一想 a 与b 所成角的大小与点O的位置有关吗 如果两条异面直线所成的角是直角 那么就说这两条直线相互垂直 记作 思想方法 1 在长方体ABCD A B C D 中 有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线 有 如AB和CC AB和DD 垂直 2 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直 那么另一条直线是否也与这条直线垂直 3 垂直于同一条直线的两条直线是否平行 如图 若c 则c垂直于 内所有直线 而 内任意两条直线的关系可能是平行 也可能是相交 不一定 例题示范 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线AA 垂直 解 1 由异面直线的判定方法可知 与直线 成异面直线的有直线 例题示范 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线AA 垂直 解 2 由可知 等于异面直线与的夹角 所以异面直线与的夹角为450 3 直线 与直线都垂直 练习反馈 1 判断 1 平行于同一直线的两条直线平行 2 垂直于同一直线的两条直线平行 3 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 4 与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 5 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行 那么这两个角相等 6 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 专题异面直线所成角的求法 异面直线所成的角的求法 典例剖析 例1 如图正方体AC1 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小 分析 1 做异面直线的平行线2 说明哪个角就是所求角3 把角放到平面图形中求解 解 CC1 BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在 ABB1中 AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和CC1所成的角是450 异面直线所成的角的求法 典例剖析 例1 如图正方体AC1 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小 分析 1 做异面直线的平行线2 说明哪个角就是所求角3 把角放到平面图形中求解 在四边形A1B1CD中 A1B1CD A1D B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在 AB1C中 AB1和CC1所成的角是600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 正方体ABCD A1B1C1D1中 P为BB1的中点 如图画出下面各题中指定的异面直线 P 异面直线所成的角是锐角或直角 当三角形内角是钝角时 表示异面直线所成的角是它的补角 以第三幅图为例 设正方体的棱长为1 求异面直线的夹角 F E1 E F1 如图 补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 练习如图在正方体中 E F分别为的中点 求AE BF所成角的余弦值 例4 如图 三棱锥A BCD中 AB CD且AB与CD所成角为30 E