传染病模型讲课

背景 随着人类文明的不断发展 卫生设施的改善和医疗水平的提高 以前曾经肆虐全球的一些传染性疾病已经得到了有效的控制 但是 伴随着经济的增长 一些新的传染性疾病 如2003年时曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今依然在世界范围蔓延的艾滋病毒 仍在危害着全人类的健康 长期以来 建立传染病模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮的到来等 一直是各国专家学者关注的课题 传染病模型 1 1 问题的提出 描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 2 已感染人数 病人 i t 每个病人每天有效接触 足以使人致病 人数为 分析 假设 若有效接触的是病人 则不能使病人数增加 建模 3 4 1模型 SI模型1 模型的假设条件SI模型有下面两个假设条件 1 人群分为易感染者 Susceptible 和已感染者 Infective 两类 取两个单词的第一个字母 称之为SI模型 以下简称为健康者和病人 t时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作s t 和i t 2 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 称为日接触率 当病人与健康者有效接触时 使健康者受感染变为病人 4 2 模型的建立与求解根据假设 总人数为N 每个病人每天可使 s t 个健康者变为病人 因为病人人数为Ni t 所以每天共有 Ns t i t 个健康者被感染 于是 Ns t i t 就是病人数Ni t 的增加率 即有 4 1 又因为 s t i t 1 4 2 5 再记初始时刻 t 0 病人的比例为i0 则有 4 3 方程 4 3 是Logistic模型 它的解为 4 4 i t t和的图形如图4 1所示 6 图4 1 7 3 模型的分析讨论由式 4 3 4 4 及图4 1可知 1 当时 达到最大值 这个时刻为 4 5 这时病人人数增加得最快 预示着传染病高潮的到来 是医疗卫生部门关注的时刻 tm与 成反比 因为日接触率 表示该地区的卫生水平 越小卫生水平越高 所以改善保健设施 提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来 8 2 当t 时 i 1 即所有人终将被感染 全变为病人 这显然不符合实际情况 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈 为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设 下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况 9 4 2模型 SIS模型有些传染病如伤风 痢疾等愈后免疫力很低 可以假定无免疫性 于是病人被治愈后变为健康者 健康者还可以再被感染变为病人 我们就这种情况建立的模型称为SIS模型 10 1 模型的假设SIS模型的假设条件 1 2 与SI模型的假设相同 增加的条件 即条件 3 为 3 病人每天被治愈的占病人总数的比例为 称为日治愈率 病人治愈后成为仍可被感染的健康者 则是这种传染病的平均传染期 11 2 模型的建立与求解考虑到假设 3 SI模型的式 4 1 应修正为 4 6 式 4 2 不变 于是式 4 3 应改为 4 7 12 方程 4 7 的解可表示为 4 8 13 3 模型的分析讨论定义 4 9 注意到 和的含义可知 是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数 称接触数 由式 4 8 和 4 9 容易得到 当t 时 4 10 14 根据式 4 8 4 10 可以画出i t t的图形如图4 2所示 接触数 1是一个阈值 当 1时病人比例i t 越来越小 最终趋于零 这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故 当 1时 i t 的增减性取决于i 0 的大小 但其极限值i 1 1 随 的增加而增加 SI模型可视为本模型的特例 15 图4 2 16 4 3模型 SIR模型1 模型的假设大多数传染病如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力 所以治愈后的人既非健康者 易感染者 也不是病人 已感染者 他们已经退出传染系统 这种情况下的模型假设条件为 1 人群分为健康者 病人和病愈免疫的移出者 Removed 三种 称SIR模型 三类人在总人数N中所占的比例分别为s t i t 和r t 2 病人的日接触率为 日治愈率为 17 2 模型的建立与求解由条件 1 有 s t i t r t 1 4 11 根据条件 2 方程 4 6 仍成立 对于病愈免疫的移出者而言 应有 4 12 再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0 0 和i0 0 不妨设移出者的初始值r0 0 则由式 4 6 4 11 和 4 12 SIR模型的方程可以写为 18 4 13 方程 4 13 无法求出s t 和i t 的解析解 我们转到相平面s i上来讨论解的性质 相轨线的定义域 s i D应为 D s i s 0 i 0 s i 1 4 14 19 在方程 4 13 中消去dt 并利用式 4 9 可得 4 15 容易求出方程 4 15 的解为 4 16 则在定义域D内 相轨线如图4 3所示 图中箭头表示了随着时间t的增加s t 和i t 的变化趋向 20 图4 3 21 3 模型的分析讨论下面根据式 4 13 4 16 和图4 3分析t 时s t i t 和r t 的变化情况 它们的极限值分别记作s i 和r 1 首先 由式 5 4 13 而s t 0 故s 存在 由式 5 4 12 知 而r t 1 故r 存在 再由式 5 4 11 知i 存在 22 其次 若i 0 则由式 4 12 对于充分大的t 有 这将导致r 与r 存在相矛盾 故不论初始条件s0 i0如何 病人终将消失 即 i 0 4 17 从图4 3上看 不论相轨线从p1或从p2出发 它终将与s轴相交 23 2 最终未被感染的健康者比例是s 在式 4 16 中令i 0 得到s 是方程 4 18 在内的单根 在图4 3中s 是相轨线与s轴在内交点的横坐标 24 3 若 则i t 先增加 当时 i t 达到最大值 然后i t 减小且趋于零 s t 则单调减小至s 25 4 若 则i t 减小且趋于零 s t 则单调减小至s 可以看出 如果仅当病人比例i t 有一段增长的时期才认为传染病在蔓延 那么是一个阈值 当时传染病就会蔓延 而减小传染期接触数 即提高阈值 使得 传染病就不会蔓延 健康者比例的初始值s0是一定的 通常可认为s0 1 我们注意到在中 人们的卫生水平越高 日接触率 越小 医疗水平越高 日治愈率 越大 于是 越小 所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延 26 从另一方面看 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数 称为交换数 其含义是一个病人被 s个健康者交换 所以当 即 s0 1时 必有 s 1 既然交换数不超过1 病人比例i t 绝不会增加 传染病就不会蔓延 27 我们看到在SIR模型中接触数 是一个重要参数 可以由实际数据估计 因为病人比例的初始值i0通常很小 在式 4 18 中略去i0可得 4 19 于是当传染病结束而获得s0和s 以后 由式 4 19 能算出 另外 对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应 估计出s0和s 然后计算 28 4 模型验证本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了 死亡相当于移出传染系统 有关部门记录了每天移出者的人数 依此实际数据 Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证 首先 由方程 4 11 4 13 可以得到 4 20 4 21 29 当时 取式 4 21 右端e r泰勒展开的前3项 在初始值r0 0下的解为 4 22 其中 从式 4 22 容易算出 30 4 23 然后取定参数s0 等 画出式 4 23 的图形 如图4 4中的曲线 实际数据在图中用圆点表示 可以看出 理论曲线与实际数据吻合得相当不错 31 图4 4 32 5 SIR模型的应用下面介绍SIR模型的两个应用 1 被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中 被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0与t 的极限值s 之差 记作x 假定i0很小 s0接近于1 由式 4 18 可得 4 24 33 取对数函数泰勒展开的前两项有 4 25 记 可视为该地区人口比例超过阈值的部分 当时式 4 25 给出 4 26 34 这个结果表明 被传染人数比例约为 的2倍 对一种传染病 当该地区的医疗和卫生水平不变 即 不变时 这个比例就不会改变 而当阈值提高时 减小 于是这个比例就会降低 35 2 群体免疫和预防根据对SIR模型的分析 当时传染病不会蔓延 所以为制止蔓延 除了提高卫生和医疗水平 使阈值变大以外 另一个途径是降低s0 这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到 忽略病人比例的初始值i0 有s0 1 r0 于是传染病不会蔓延的条件可以表示为 4 27 36 这就是说 只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例