初中数学数学名师婆罗摩笈多.docx

婆罗摩笈多婆罗摩笈多(Brahmagupta) 约公元598年生，约660年卒数学、天文学婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为现在巴基斯坦的信德从他的姓名结构中含gupta推测，他属于吠舍氏的成员，即当时的平民阶层婆罗摩笈多长期在乌贾因工作，这里是当时印度数学、天文学活动的三个中心之一婆罗摩笈多在30岁左右，编著了婆罗摩修正体系(Br1hma-sphuatasiddh1nta，公元628年)一书该书用此名，是因为他修改和引用了印度最古老的天文学著作婆罗摩体系(Brhmasiddh1nta)的内容婆罗摩修正体系分为24章，其中算术讲义(Ganit1dh1ya)和不定方程讲义(Kutakh1dyaka)两章是专论数学的，前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等；后者研究一阶和二阶不定方程婆罗摩修正体系的其他各章是关于天文学研究的，也涉及到许多数学知识婆罗摩笈多的另一部著作肯达克迪迦(Khandakh1dyaka，音译)，是天文学方面的名著它包含8章，研究了行星的黄经，与周日运动有关的三个问题，月食、日食、星的偕日升落，以及行星的会合等婆罗摩笈多的这些著作在拉贾斯坦邦、古吉拉特邦、中央邦、北方邦、比哈尔、尼泊尔、潘贾婆(Panjab)和克什米尔等地受到广泛重视，许多学者对其进行过研究婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他提出了负数概念，用小点或小圈记在数字上面以表示负数，并给出负数的运算法则，如“两个正数之和为正数，两个负数之和为负数，一个正数和一个负数之和等于它们的差”；“一个正数与一个负数的乘积为负数，两个负数的乘积为正数，两个正数的乘积为正数”等等他的负数概念及其加减法法则，仅晚于中国(约公元1世纪成书的中国九章算术最早提出负数及其加减法运算的概念)而早于世界其他各国数学界；而他的负数乘除法法则，在全世界都是领先的婆罗摩笈多对数学的最突出贡献是解不定方程Nx2+1=y2在欧洲，这种方程曾在J佩尔(Pell)的代数书中论及，后被L欧拉(Euler)命名为佩尔方程1767年，JL拉格朗日(Lagrange)运用连分数理论，给出了该问题的完全的解答事实上，婆罗摩笈多在公元628年便几乎完全解出了这种方程，只是当时不为欧洲人所知其后，婆罗摩笈多的解法又被婆什迦罗(Bh1skara)改进按照婆罗摩笈多的解法，令(，)和(，)分别为Nx2+K=y2和Nx2+K=y2的一个解集，于是很容易变换为Nx2+KK=y2的解x=，y=N，这被称为婆罗摩笈多引理特别地，取K=K，若Na2+K=2，则有x=2，y=2+N2为Nx2+K2=y2的解，故有若上述值为整数，便得到一整数解集：(1)若K=1，则上述值显然为整数2-1x和y为整数 Na2+4=2，也为偶数故此为方程的一对整数解若a为奇数，应用婆罗摩笈多引理，可得若为奇数，则x，y皆为整数；若为偶数，x，y也是整数(4)若K=-4，按上述过程反复运用婆罗摩笈多引理，可得无论是奇数还是偶数，以上解都是整数总之，解Nx2+1=y2，若得到一组解(a，)(K=1，2或4)，反复运用婆罗摩笈多引理，便可得到一无穷解组这就是婆罗摩笈多解方程Nx2+1=y2的方法婆罗摩笈多还研究了不定方程axby=c，这类方程在印度首先为到联立不定方程及多个未知量的情形对方程ax2+bx=c(a0，b和c可以是负数)，婆罗摩笈多给出一个根的公式婆罗摩修正体系中的许多代数问题都是属于天文学计算的，印度书中常见的离奇古怪的题目并不多，后来的注释者补上一些以说明某种法则如：山上住着两个苦行者，一个是巫师，会在空中飞行他从山顶笔直跳到空中去，到达某一高度后，斜降到一个小镇上另一个从山顶垂直到达地面，再步行到同一小镇二人所经距离相等，求山和小镇的距离，以及巫师升空的高度这是一个二次不定方程，注释者按图中的数字求得x=8在几何学方面，婆罗摩笈多对有理直角三角形即边为有理数的直角三角形很有兴趣他给出了一般解a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2(m，n是任意不相等的有理数)，但没有证明婆罗摩笈多对有理四边形的研究也取得了许多成果，不过，他没有认识到他所得到的结论仅适用于圆内接四边形令(a，b，c)和(，)分别是两个有理直角三角形的边，并有关系c2=a2+b2和2=a2+2，则边为(c，c，b)和(c，c，b，)的两个四边形称为婆罗摩笈多四边形例如，取(a，b，c)和(，)分别为(3，4，5)和(5，12，13)，便得到边为(25，39，60，52)和(25，60，39，52)的婆罗摩笈多四边形圆内接四边形的两个定理被称为婆罗摩笈多定理：(1)边为a，b，c，d(2)边为a，b，c，d的圆内接四边形的对角线长分别为和婆罗摩笈多还探讨了借助于一给定的正弦表求中间角正弦的方法他所使用的插值法则等价于牛顿斯特灵公式婆罗摩笈多的一些数学结论夹杂着错误，例如计算边长为12的等边三角形的面积，他写为612；边长为10，13，13的等腰三角形的是0，这也是不正确的公元8世纪时，婆罗摩笈多的著作被带到巴格达