运动学3(刚体平面运动).pdf

1 今日作业 第23 24页 刚体平面运动 1 各习题 其中 第四题AB杆和齿轮 组成一个刚体 2 今日作业 第25 26页 刚体平面运动 2 各习题 其中 第2题设线段AB和CD相交于P点 利用 三角形全等及勾股定理可证明BP PD 15cm 第3 4题均为先以A点为基点求B点 再以B点 为基点求C点 3 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 回顾 运动学研究对象 点和刚体 第五章讲述刚体的基本运动 平动 定轴转动 本章讲述刚体的另一种常见运动 平面运动 事实上 平面运动可看成是平动 定轴转动的合成 4 7 1 平面运动的基本概念平面运动的基本概念 平面运动平面运动 在运动过程中 刚体上任一点到某一固定平在运动过程中 刚体上任一点到某一固定平 面的距离始终保持不变 也就是说 刚体上任一点都在与面的距离始终保持不变 也就是说 刚体上任一点都在与 该固定平面平行的某一平面内运动 具有这种特点的运动该固定平面平行的某一平面内运动 具有这种特点的运动 称为刚体的平面运动称为刚体的平面运动 纯滚动 只滚不滑的运动 实例实例 5 6 M N S A1 A2 A 刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动 若作一平面N与平面M平行 并以此去截割刚体得一平 面图形S 可知该平面图 形S始终在平面N内运动 因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动 A1A2的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代 刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动 内的运动 一一 平面运动的简化平面运动的简化 7 特点 特点 1 平面图形S始终在平面内 2 作垂线A1 A2 且始终作平动 结论 结论 即在研究平面运动时 可以简即在研究平面运动时 可以简 化为只研究平面图形在自身平面化为只研究平面图形在自身平面 内的运动 确定平面图形上各点内的运动 确定平面图形上各点 的速度和加速度 的速度和加速度 一一 平面运动的简化平面运动的简化 8 确定线段AB的运动 A为基点基点 A点 基点 的坐标和转角均为时 间t的单值连续函数 二二 平面运动方程平面运动方程 刚体作平面运动 时的运动方程 t tyy txx AA AA 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置 我为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置 我 们只需确定平面图形内任意一条线段们只需确定平面图形内任意一条线段AB的位置 的位置 任意线段 任意线段AB的位置可用的位置可用A点的坐标和点的坐标和AB与与x轴夹角表示 因轴夹角表示 因 此图形此图形S 的位置决定于的位置决定于 三个独立的参变量 三个独立的参变量 AA yx 9 7 2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 当图形当图形 上上 点不动时 则刚体作定轴转动点不动时 则刚体作定轴转动 当图形当图形 上上 角不变时 则刚体作平动 角不变时 则刚体作平动 故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动 故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动 AA AA xxt yyt t 10 11 刚体的平面运动可以分解为随基点的平刚体的平面运动可以分解为随基点的平 动和绕基点的转动 动和绕基点的转动 12 1 显然 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选显然 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选 择有关 择有关 2 但绕基点转动的规律与基点选取无关但绕基点转动的规律与基点选取无关 为什么 13 对于各平动参考系 包括固定参考系 其对于各平动参考系 包括固定参考系 其 转动运动都一样 转动运动都一样 一个刚体在同一瞬间只有一一个刚体在同一瞬间只有一 个角速度 角加速度 故无需标明绕哪个基点个角速度 角加速度 故无需标明绕哪个基点 转动转动 常数常数 dd dtdt 与基点与基点A A 无关 无关 B 0 S y x A B A 22 22 dd dtdt 14 基点选取得不基点选取得不 同 随基点平动的同 随基点平动的 部分部分不同不同 但绕不同基点但绕不同基点 转动的角速度和角转动的角速度和角 加速度加速度完全相同完全相同 x y x B A O 平面运动可取任一点作为基点而分解为平平面运动可取任一点作为基点而分解为平 动和转动 其中平动的速度和加速度与基点的动和转动 其中平动的速度和加速度与基点的 选取有关 而平面图形绕基点转动的角速度和选取有关 而平面图形绕基点转动的角速度和 角加速度与基点的选取无关 角加速度与基点的选取无关 15 虽然基点可任意选取 但在解决实际问题虽然基点可任意选取 但在解决实际问题 时 往往选取运动情况时 往往选取运动情况已知的点作为基点已知的点作为基点 注意 注意 16 7 3 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度 基点法 投影法 瞬心法 一 基点法 基本方法 在平面图形S上任取两点A和B 以A点为基点 从同平 面的一固定点O作A B的矢径rA和rB 再作从A点指向B点的 矢径rAB 则有 两边对时间t求导 可得 BAAB drdrdr dtdtdt BAAB rrr 注意到rA和rB是绝对矢径 则 B B dr v dt A A dr v dt 17 结论 结论 平面图形内任意点的速度 等于基点速度与该点绕 基点作圆周运动速度的矢量和 这种方法称为基点法 注意到rAB是相对矢径 而且 其大小不变 因此它对时间的导 数只表示其方位的改变 由于B点 相对于A点是圆周运动 所以 AB AB dr r dt 记其为vBA 可得以A点为基点情况下 平面运动刚体A和B两点的速度关系为 BABA vvv 其中 BA BAAB vvrBA 18 BABA vvv 上式建立了平面图形上任意两点速度间的关系 由该 式在平面内可以建立两个标量方程求解包括速度大小或 方向的两个未知量 注意 1 vBA下标的次序不能交换 2 在速度合成的平行四边形中vB为对角线 3 求解方法 几何法 通常 解析法 式中包含式中包含3个速度矢量 大小个速度矢量 大小 方向共 方向共6个量 该矢量方程可求个量 该矢量方程可求 解二个未知量 通常已知解二个未知量 通常已知4个求解个求解 二个未知量 二个未知量 19 ABAB vAB lv 已知 求 解 解 1 AB作平面运动作平面运动 用基点法 基点用基点法 基点 A 速度已知 速度已知 BABA A vvv v 大小 方向椭圆规规尺AB c BA vvtg sin A BA v v sin BAA AB vv ll 20 BABA AB ABAB 将上式向AB轴投影 得 速度投影定理速度投影定理 平面图形上任意两点的速度在这两点连 线上的投影彼此相等 二 投影法 基点法 不仅可以求出某瞬时平面图形上某点的速度 还能求出其作平面运动的角速度 投影法 根据投影法 根据速度投影定理速度投影定理求解平面运动刚体速度的方法求解平面运动刚体速度的方法 特点是比较简单 但不能求出某瞬时平面图形作平面运动的特点是比较简单 但不能求出某瞬时平面图形作平面运动的 角速度 角速度 21 100 3 OAE OACDCB CDEDv mm2rad s已知 求 若轮E半径也为100mm 求其角速度 解 解 用投影法 用投影法 AB作平面运动作平面运动 BA ABAB vv cos30 B vOA 0 2309 cos30 B OA v m s A vOA A B E共线 轮共线 轮E作纯滚动作纯滚动 机构传动问题一般按传动顺序 依次分析两个机构传动问题一般按传动顺序 依次分析两个 刚体的公共点 刚体的公共点 22 100 3 OAE OACDCB CDEDv mm2rad s已知 求 若轮E半径R也为100mm 求其角速度 CD作定轴转动 转动轴 作定轴转动 转动轴 C 30 6928 B DB v vCDv CB m s DE作平面运动作平面运动 cos30 0 8 cos30 ED D ED D E E D E vv v v vv m s 显然 投影法无法求出平面显然 投影法无法求出平面 运动刚体 运动刚体 AB DE 的角 的角 速度 速度 23 E 顺时针 车轮沿直线作纯滚动 已知轮的半径为R 轮心的速 度和加速度分别为 和 0 0 a xsR o vR o aR 8 E v rad s R 24 OAO BAB 1 1 2 图示四连杆机构中 曲柄以角速度 3rad s绕O轴转动 求在图示位置时杆AB和杆O1B 的角速度 例例 解解 1 基点法 A B BA 以A为基点 求B点的速度 BAAB A BA B B 2 3 2 1 cossin 将上式投影到 x 轴和 y 轴 BBA BAA cos y sin x 0 25 2 速度投影法 BBA BAA cos y sin x 0sr3 2 2 AB OA AB OA sin BA AB A BA sr33 3 3 11 1 BO OA BO OAcos B BOBAB sincos BA OA AB 33 sr333 1 1 BO B BO 用投影法不能求出 AB A B BA 26 27 BC l 28 解 1 求AB的角速度 以C为基点 rvC 0 BCCB vvv sinvv BC cosvv BBC RvB lv BCBC Rr32 0 lr BC 3 0 29 2 求D点的速度 再以C为基点 DCCD vvv BCDC DCv cosvvvvv DCCDCCD 2 222 3 0 r 37 0r vD 30 问题的提出问题的提出 若选取速度为零的点作为基点 求解速度问题的计若选取速度为零的点作为基点 求解速度问题的计 算会大大简化 于是 自然会提出 在某一瞬时图形是算会大大简化 于是 自然会提出 在某一瞬时图形是 否有一点速度等于零 如果存在的话 该点如何确定 否有一点速度等于零 如果存在的话 该点如何确定 BABA 31 1 瞬时速度中心 简称速度瞬心 瞬心 瞬时速度中心 简称速度瞬心 瞬心 在某瞬时 在平面图形上 或其延伸部分 速度为零的点 三 瞬心法 既能求出角速度 又能避免矢量运算 平面图形S 某瞬时其上一点A速度 图形角速度 沿 方向取半直线AL 然后 顺 的转向转90o至AL 的位置 在AL 上取长 度 取A点为基点 则 A v vA A APv PAPA vvv PAAA vAPvPAv 方向恰与反向 所以 0 P v 一般情况下 在每一瞬时 平面图形上 或其延伸一般情况下 在每一瞬时 平面图形上 或其延伸 部分 都部分 都唯一唯一存在一个瞬心 存在一个瞬心 32 若C为速度瞬心 以C为基点 图形内各点速度在某瞬时的分布情况 与图形绕定轴转动时各点速度分布相类似 AAC vv BBC vv DDC vv ACvA BCvB DCvD A B D各点速度为 2 平面图形各点速度分布 33 平面图形在任一瞬时的运动平面图形在任一瞬时的运动 可以视为绕速度瞬心的瞬时转动 可以视为绕速度瞬心的瞬时转动 速度瞬心又称为平面图形的瞬时速度瞬心又称为平面图形的瞬时 转动中心 转动中心 若若C点为速度瞬心 则任意一点点为速度瞬心 则任意一点 A的速度的速度 方向方向 AC 指 指 向与向与 一致 一致 A vAC 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度利用速度瞬心求解平面图形上点的速度 的方法的方法 称为速度瞬心法称为速度瞬心法 34 第一种情形第一种情形 已知平面图形上两点的速度 矢量的方位 这两点的速度矢 量方位互不平行 A B A B 速度瞬心的特点速度瞬心的特点 1 瞬时性 不同的瞬时 有不同的速度瞬心 2 唯一性 一般情况下一般情况下某一瞬时只有一个速度瞬心 3 瞬时转动特性 平面图形在某一瞬时的运动 可以视为绕瞬心作瞬时转动 确定瞬心的几种典型情况 90o 90o P 速度瞬心法 确定瞬心的位置是关键速度瞬心法 确定瞬心的位置是关键 35 S A B A B 第三种情形第三种情形 平面图形沿固定曲线作无滑 动的滚动 纯滚动 90o 90o P 第二种情形第二种情形 已知平面图形上两点的速度 矢量的大小与方向 而且二矢 量互相平行 并且都垂直于两 点的连线 S 90o 90o B A A B P 图10 20 36 A B A B b 90o A B S A B 90o a 第四种情形 特殊情况 瞬时平动 第四种情形 特殊情况 瞬时平动 已知某瞬时两点速度相互平行但 不垂直于两点的连线 如图 a 或已知两点速度垂直于连线 且大 小互等 如图 b 瞬时平动瞬时平动 平面图形在该瞬时瞬心在无穷 远处 其角速度 各点速度相等 0 应注意平动与瞬时平动的差别 37 两点速度平行与两 点连线不垂直 瞬时平动 该瞬时图形的瞬心在无穷远处 该瞬时角速度等 于零 各点速度都相等 注意 瞬时平动时各点加速度一般并不相等 瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同 0 瞬时平动 例如 曲柄连杆机构在图示位置时 连杆BC作瞬时平动 0 BC 此时连杆BC的图形角速度 BC杆上各点的速度都相等 但各点的加速度并不相等 设匀 则 2 n BB aaAB 而 的方向沿AC的 瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同 c a Bc aa 38 注意的问题注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的 而是随时间不而是随时间不 断变化的 断变化的 刚体平面运动是一种比刚体平面运动是一种比 较复杂的运动较复杂的运动 一般情况下一般情况下在任一瞬时是唯一在任一瞬时是唯一 存在的 存在的 速度瞬心处的速度为零速度瞬心处的速度为零 加速度不一定为零 加速度不一定为零 不同于定轴转动不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时 虽然各点的速度相同 刚体作瞬时平动时 虽然各点的速度相同 但各点的加速度是不一定相同的 但各点的加速度是不一定相同的 不同于刚体作不同于刚体作 平动 平动 39 用基点法 投影法 瞬心法求出的平面图形内任意用基点法 投影法 瞬心法求出的平面图形内任意 点的速度是都绝对速度 相对于地面 点的速度是都绝对速度 相对于地面 40 例例2 行星齿轮机构 行星齿轮机构行星齿轮机构 41 解 运动分析 运动分析 OA定轴转动 轮A作平面运动 22 11ooM rR r rR rPMv o A oA r rR r v rrRv 方向均如图示 22 22ooM rR r rR rPMv 例例 行星齿轮机构 已知 R r o 轮A作纯滚动 求 21 MM vv 研究研究轮轮A 速度分析 用速度瞬心法求速度分析 用速度瞬心法求 21 MM vv 轮A速度瞬心为P点 42 例例 曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构 已知 已知 OA 0 15m n 300 rpm AB 0 76m BC BD 0 53m 图示位置时图示位置时 AB水平水平 求该位置时的求该位置时的 及及 ABBD D v 43 例例 曲柄肘杆压床机构 已知 OA 0 15m n 300 rpm AB 0 76m BC BD 0 53m 图示位置时 AB水平 求该位置时的 及 ABBD D v 解 解 运动分析 运动分析 OA BC作定 轴 转动 AB BD均作平面运动 rad s10 30 300 30 n m s 5 11015 0 OAvA rad s 16 7 376 0 25 1 60sin 5 1 1 ABAP vA AB m s 72 2 16 7 5 076 0 16 7 60cos 1 ABBPv ABB 研究研究AB 速度分析 用速度瞬心法求速度分析 用速度瞬心法求vB和和 AB P 为AB 杆速度瞬心 44 P2为其速度瞬心 BDP2为等边三角形DP2 BP2 BD rad s 13 5 53 0 73 2 2 BP vB BD m s 72 2 13 5 53 0 2 BDD DPv 研究研究BD 速度分析 用速度瞬心法求速度分析 用速度瞬心法求vD 和和 BD 每个平面运动物体每个平面运动物体 都有各自的瞬心 都有各自的瞬心 不存在 公共瞬心 不存在 公共瞬心 注意瞬心法中各注意瞬心法中各 转动半径 的正 转动半径 的正 确计算确计算 45 例3 两个齿轮A和B由连杆AC连接 可在固定齿条上滚动 当 0时 齿轮B的中心的速度vB 200 mm s 求此时齿轮A 的角速度 已知r 50mm e 30mm 46 C2 C1 C V B V B 解 齿轮A B及连杆AC作平面运动 运动的传递 B CA A B C 研究齿轮B的运动 瞬心在C1处 顺时针转 r v BC v BB B 1 水平向右 1BBC v r er CCv 47 C V B V B C1 C2 sradv r er AC v B A A 4 6200 50 3050 22 2 顺时针转向 C A 研究AC运动 BCA v r er vv 齿轮A作纯滚动 瞬心在C2处 A A V AC瞬时平动 48 例4 图示机构中 已知 OA 10cm BD 10cm DE 10cm EF 17 32cm 角DFE 30o A 4rad s 在图示位置 时 曲柄OA与水平线OB 垂直 且B D和F在同 一铅直线上 又DE垂直 于EF 求杆EF的角速度 和点F的速度 A 49 A 解 平面机构运动分析 定轴转动 OA CDE 平面运动 AB BC EF 传递路线 OA AB BC CDE EF 1 OA 定轴转动 AB OAvv OABA 2 BC 平面运动 CD BD OA CD BD v v AB C A v B v C v C1 瞬心在D 瞬时平动 速度方向垂直 速度方向垂直CD 50 A A v B v C v C1 F v E v C2 3 CDE 定轴转动 scmDE BD OA DE CD v v A C E 40 4 EF 平面运动 scm FC EC v v E F 19 46 3 2 40 2 2 srad EC vE EF 33 1 30 40 2 瞬心在C2 顺时针转向 瞬心法 正确求出瞬心法 正确求出EC2 FC2的长度的长度 53 AB 已知 AB 60cm BG GD 50cm OE 10cm OE 10 rad s 求 图示位置时 例例 解 瞬心法 AB BP GP GPBPEP GP OE GPEP B AB G B GB EG E GE 2 2 221 1 11 E G B P1为EG杆的瞬心 P2为GB杆的瞬心 每个物体都有 各自的瞬心 不 存在 公共瞬 心 P1 P2 54 机构如图示 杆机构如图示 杆0A绕绕0作匀角速度转动 巳知作匀角速度转动 巳知 DC 6r OA ED r 求求 滑杆滑杆F的速度和杆的速度和杆DC ED的角速度 的角速度 解解 vA vC vB ED CD vCcos600 vDcos300 rv3 D vDC vC vD x BC作平动作平动 vF vB vC AB作瞬时平动作瞬时平动 vA vB r 以以C为基点为基点 x vDcos600 v DC vCcos300 r v 9 3 6 DC DC rv 3 3 2 DC DC r v3 DED 0 A C B D E 30300 0 F 例例 DCDC vvv r 55 解解 运动分析 运动分析 轴O 杆OC 楔块M 均作平动 圆盘作平面运动 cm s 12 vvA m s 343230sin4sin rPOvo m72 2 1 42242120cos2 2222 OBPOOBPOPB m s 3 182143272PBPBvB rad s 3230cos4 12cos 12 rPAvA 例例 平面机构中 楔块M 30 v 12cm s 盘 r 4cm 与 楔块间无滑 动 求圆盘的 及轴O的速度和B点速度 P为速度瞬心 研究研究轮轮O 速度分析 用速度瞬心法求速度分析 用速度瞬心法求 vO 及及 vB 56 已知 曲柄连杆机构已知 曲柄连杆机构OA AB l 取柄取柄OA以匀以匀 转动 转动 求 求 当当 45 时时 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度 杆的角速度 解 机构中解 机构中 OA作定轴转动作定轴转动 AB作作 平面运动 平面运动 基点法 研究 AB 以 A为基点 且 方向如图示 A vl BABA vvv 在 点做 速度平行四边形 如图示 cos cos452 tgtg45 BA BAA ABBA vv ll vvll vABll 57 B v 245cos cos llvv AB 245cos cos ll vv AB 速度投影法 研究AB 方向 OA 方向沿BO直线 A vl 根据速度投影定理 BA ABAB vv 投影法不能求出AB杆角速度 AB cos AB vv 58 2 lBPv llAPv lAPlv ABB AAB A 速度瞬心法 研究AB 已知 的方向 因此 可确定出P点为速度瞬心 BA vv 比较上述三种方法的特点 59 小结 小结 1 求解作平面运动刚体的速度 基点法 投影法 求解作平面运动刚体的速度 基点法 投影法 瞬心法 瞬心法 2 投影法最简单 但无法同时求解作平面运动刚体投影法最简单 但无法同时求解作平面运动刚体 的角速度 基点法 瞬心法可以求解作平面运动的角速度 基点法 瞬心法可以求解作平面运动 刚体的速度 刚体的速度 3 运用投影法或用瞬心法找瞬心时必须已知速度的运用投影法或用瞬心法找瞬心时必须已知速度的 方向 若所求速度的方向未知 基点法仍可使用 方向 若所求速度的方向未知 基点法仍可使用 但基点法要进行矢量运算 相对计算最复杂 但基点法要进行矢量运算 相对计算最复杂 4 基点法是最基本的公式 瞬心法 投影法都由基基点法是最基本的公式 瞬心法 投影法都由基 点法导出 点法导出 60 已知平面图形上一点A 的 加速度 图形的角速度 与 角加速度 选择加速度已知 的点A为基点 可以确定平面 图形上任意点的加速度 A a 7 4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 A a BA a BA a n BA a 当刚体作平面运动时 刚体 上各点的运动轨迹为平面轨迹 加速度的各项都位于同一平面 将速度合成公式两边同时对时间t求导 可得 BABA vvv BABA dvdvdv dtdtdt 61 BABA dvdvdv dtdtdt B B dv a dt A A dv a dt n BAAB ABABBABA dvddr rraa dtdtdt n BABABA aaaa A a BA a BA a n BA a 平面图形内任一点的加速度 等于基点的加速度与 该点绕基点作圆周运动的切向加速度 法向加速度的 矢量和 基点法或称为加速度合成法 62 A a BA a BA a n BA a BAAB arAB 22n BAAB arAB nnn BBAABABA aaaaaa n BABABA aaaa 上式中点B相对于基点A作圆周 运动的切向加速度分量 其方位应 与AB垂直 指向按右手法则确定 其大小为 上式中点B相对于基点A作圆周 运动的法向加速度分量 指向由B点 指向A点 其大小为 加速度矢量合成图如图所示 63 5 一般应先分析速度 基点法 瞬心法 求出角速度等 一般应先分析速度 基点法 瞬心法 求出角速度等 再以此为基础分析加速度 再以此为基础分析加速度 nnn BBAABABA aaaaaa nnn BxBxAxAxBAxBAx aaaaaa 64 车轮沿直线作纯滚动 已知 轮的半径为R 轮心的速度和 加速度分别为 和 求 图示瞬时车轮上速度瞬 心P的加速度 0 0 a 例例 解解 以O为基点分析P点的加速度 如图所示 O a PO a n PO a 为了应用基点法求P点的加速度 需求出轮的 角速度和角加速度 R 0 由于P点为速度瞬心 则 0 a R 轮的加速度为 65 n POPOPO aaaa 由加速度合成定理 R aa R R aaRa n POP n PO PO 2 0 2 0 2 0 所以 结论 结论 速度为零的点 速度瞬心 加速度不为零 同理可得 最高点B的切向加速度 法向加速度分 别为 2 Bo aa 2 n o B v a R 66 o ar 22 OO n o a vv Rr O vr 思考 22 OO n o a vv Rr O vr o ar O R r A B P 67 例例 曲柄滚轮机构 滚子半径R OA 15cm 纯滚 动 n 60 r min 匀角速度 求 当 60 时 OA AB 滚轮的 分析分析 要想求出滚轮的 先要求出vB aB 而vB aB可通过平面运动刚体AB求解 解解 OA定轴转动 AB杆和轮B作平面运动 研究AB 先分析速度 基点法 瞬心法 再分析加速度 68 cm s 30215 rad s 230 6030 OAv n A P 为AB杆速度瞬心 P2为轮速度瞬心 P2 P1 vB rad s 3 2 153 30 1 APvA AB cm s 320 3 2 1532 1 ABB BPv 研究轮B P2为其速度瞬心 2 20 3 157 25rad s BB vBP 逆时针转向 1 1 15 3cm 45cm 30 3cm AB AP BP 69 取A为基点 2222 15 2 60cm s n A aOA 大小 方向 nn BABABA aaaa 22 220 3 3 15 33 n BAAB aAB n BABABA aaaa 方向沿AB由B点指向A点 作加速度矢量图 将上式向BA线上投影 n BAB aa 0030cos cm s 5 131 3 40 2 3 3 320 30cos 222 n BAB aa BABA aBA 指向O点 70 轮B 纯滚动 2 2 131 5 158 77rad s BB aBP 均为逆时针转向 思考 如果轮思考 如果轮B在曲线上作纯滚动 求解有何在曲线上作纯滚动 求解有何 不同 不同 71 图示平面机构中 OA杆以匀角速度 绕O轴转 动 通过连杆AB带动轮B在固定轮上作纯滚动 已 知OA r 轮B半径也为r 固定轮半径R 2r 求图示 位置B轮的角速度和角加速度及AB杆的角加速度 解 AB在图示瞬时作瞬 时平动 因此 rvv AB 0 AB r r r vB B O A B C R B 30 A v B v AB作平面运动 以A为基 点 则B点的加速度为 轮B作纯滚动 故 72 其中 2 raa n AA 2 22 3 1 3 r r r Rr v a B n B 0 n BA a 建立如图所示的投影轴 由 将 各矢量投影到投影轴上得 n BABAA n BB aaaaa 60cos 60cos30cos A n BB a aa B AB O A B C R A a BA a n BA a B a n B a A a O A B C R B a n B a A a BA a n BA a A a n BABAA n BB aaaaa 73 解得 2 9 32 raB 2 9 34 raBA 于是得 2 2 3 9 B B a r 转向与图示方向相反 2 2 3 9 BA AB a AB 转向如图 BAA n BB aaaa 30cos30cos60cos 74 图示机构中 OA 12cm AB 30cm AB杆的B端以 2m s aB 1m s2向左沿固定平面运动 求图示瞬时 AB杆的角速度和角 加速度 B 例例 解 解 AB杆作平面运动 由A B两 点的速度方向可知AB杆作瞬时 平移 如图所示 A 则有 0 0 AB ABAB OAOA 75 以A为基点 求B点的加速度 画加速度图 2 且 BA n BAA n AB aaaaa 2 0 n BAAB AB a 大小 0 方向 在y轴上投影 30cos0 BA n A aa A B A a n A a n A a A a BA a n BA a B a y 30 2 22 rad s128 330120 22 30 30 cosAB OA cos a a A AB n A BA 2 n AA aOA BBAA AB a 76 图示平面机构 半径为图示平面机构 半径为R的的 轮子沿固定水平轨道作轮子沿固定水平轨道作纯滚动纯滚动 杆杆OA以匀角速度绕以匀角速度绕O轴转动 轴转动 已知 已知 2rad s OA R 15cm BD BC 45cm AD 30cm OD铅垂 在图示位置时 铅垂 在图示位置时 OA处处 于水平 于水平 BD BC 试求该瞬时轮心试求该瞬时轮心C的速度和加速的速度和加速 度 度 例例10 77 0 BD cm svv AB 30 PB vB BC cm s 3 17 BCC PCv 解 解 选选A为基点为基点 逆钟向 BC平面运动 平面运动 速度瞬心在速度瞬心在P点点 BD作瞬时平动作瞬时平动 BC A t DAAD aaa 30cos0 t DAA aa 2 3 4 ra