2013年河南省中考数学试卷

2013年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1（3分）（2015荆州）2的相反数是（）AB2CD22（3分）（2014青海）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）（2013河南）方程（x2）（x+3）=0的解是（）Ax=2Bx=3Cx1=2，x2=3Dx1=2，x2=34（3分）（2013河南）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（）A47B48C48.5D495（3分）（2013河南）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（）A1B4C5D66（3分）（2013河南）不等式组的最小整数解为（）A1B0C1D27（3分）（2013河南）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点G，直线EF与O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）AAG=BGBABEFCADBCDABC=ADC8（3分）（2013河南）在二次函数y=x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1二、填空题（每小题3分，满分21分）9（3分）（2013河南）计算：|3|= 10（3分）（2013河南）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中A=60，F=45）使点E落在AC边上，且EDBC，则CEF的度数为 11（3分）（2013河南）化简：= 12（3分）（2013河南）已知扇形的半径为4cm，圆心角为120，则扇形的弧长为 cm13（3分）（2013河南）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 14（3分）（2017阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（2，2），与y轴交于点A（0，3）若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，2），点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 15（3分）（2013河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16（8分）（2013河南）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x1）4x（x+1），其中x=17（9分）（2013河南）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理绘制了如下尚不完整的统计图表组别观点频数（人数）A大气气压低，空气不流动80B地面灰尘大，空气湿度低mC汽车尾气排放nD工厂造成的污染120E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m= ，n= 扇形统计图中E组所占的百分比为 %；（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？18（9分）（2013河南）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF；（2）填空：当t为 s时，四边形ACFE是菱形；当t为 s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形19（9分）（2013河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角BAE=68，新坝体的高为DE，背水坡坡角DCE=60求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.50，）20（9分）（2013河南）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）双曲线y=（x0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且FBCDEB，求直线FB的解析式21（10分）（2013河南）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由22（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 （2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长23（11分）（2013河南）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点P，使PCF=45，请直接写出相应的点P的坐标2013年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1（3分）（2015荆州）2的相反数是（）AB2CD2【考点】14：相反数菁优网版权所有【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案【解答】解：2的相反数是2，故选：D【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义2（3分）（2014青海）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形菁优网版权所有【分析】根据中心对称图形的定义旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形旋转180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键3（3分）（2013河南）方程（x2）（x+3）=0的解是（）Ax=2Bx=3Cx1=2，x2=3Dx1=2，x2=3【考点】A8：解一元二次方程因式分解法菁优网版权所有【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（x2）（x+3）=0，x2=0，x+3=0，x1=2，x2=3，故选：D【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程4（3分）（2013河南）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（）A47B48C48.5D49【考点】W4：中位数菁优网版权所有【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可【解答】解：这组数据的中位数为=48.5故选：C【点评】本题考查了中位数的知识，解答本题的关键是掌握中位数的定义，注意在求解前观察：数据是否为从小到大排列5（3分）（2013河南）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（）A1B4C5D6【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字菁优网版权所有【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面，“1”与“6”是相对面故选：B【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题6（3分）（2013河南）不等式组的最小整数解为（）A1B0C1D2【考点】CC：一元一次不等式组的整数解菁优网版权所有【分析】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可【解答】解：不等式组解集为1x2，其中整数解为0，1，2故最小整数解是0故选：B【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，属于基础题，正确解出不等式的解集是解决本题的关键求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了7（3分）（2013河南）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点G，直线EF与O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）AAG=BGBABEFCADBCDABC=ADC【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质菁优网版权所有【分析】根据切线的性质，垂径定理即可作出判断【解答】解：A、CD是O的直径，弦ABCD于点G，AG=BG，故正确；B、直线EF与O相切于点D，CDEF，又ABCD，ABEF，故正确；C、只有当弧AC=弧AD时，ADBC，当两个互不等时，则不平行，故选项错误；D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到ABC=ADC故选项正确故选：C【点评】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解定理是关键8（3分）（2013河南）在二次函数y=x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【考点】H3：二次函数的性质菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】抛物线y=x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x1时，y随x的增大而增大【解答】解：a=10，二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，当x1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大故选：A【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a0）的性质：当a0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=，在对称轴左边，y随x的增大而增大二、填空题（每小题3分，满分21分）9（3分）（2013河南）计算：|3|=1【考点】2C：实数的运算菁优网版权所有【分析】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简，然后合并即可【解答】解：原式=32=1故答案为：1【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是能进行绝对值及二次根式的化简10（3分）（2013河南）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中A=60，F=45）使点E落在AC边上，且EDBC，则CEF的度数为15【考点】JA：平行线的性质菁优网版权所有【分析】根据直角三角形两锐角互余求出1，再根据两直线平行，内错角相等求出2，然后根据CEF=452计算即可得解【解答】解：A=60，F=45，1=9060=30，DEF=9045=45，EDBC，2=1=30，CEF=DEF2=4530=15故答案为：15【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键11（3分）（2013河南）化简：=【考点】6B：分式的加减法菁优网版权所有【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果【解答】解：原式=+=故答案为：【点评】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母12（3分）（2013河南）已知扇形的半径为4cm，圆心角为120，则扇形的弧长为cm【考点】MN：弧长的计算菁优网版权所有【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长【解答】解：l扇形=，则扇形的弧长= cm故答案为：【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式13（3分）（2013河南）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是【考点】X6：列表法与树状图法菁优网版权所有【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率即可【解答】解：列表如下：12341（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，则P数字之积为负数=故答案为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14（3分）（2017阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（2，2），与y轴交于点A（0，3）若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，2），点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为12【考点】H6：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有【分析】根据平移的性质得出四边形APPA是平行四边形，进而得出AD，PP的长，求出面积即可【解答】解：连接AP，AP，过点A作ADPP于点D，由题意可得出：APAP，AP=AP，四边形APPA是平行四边形，抛物线的顶点为P（2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，2），PO=2，AOP=45，又ADOP，ADO是等腰直角三角形，PP=22=4，AD=DO=sin45OA=3=，抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4=12故答案为：12【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP是解题关键15（3分）（2013河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为或3【考点】PB：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，所以点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形【解答】解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=53=2，设BE=x，则EB=x，CE=4x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4x）2，解得x=，BE=；当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故答案为：或3【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16（8分）（2013河南）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x1）4x（x+1），其中x=【考点】4J：整式的混合运算化简求值菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=x2+4x+4+4x214x24x=x2+3，当x=时，原式=2+3=5【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键17（9分）（2013河南）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理绘制了如下尚不完整的统计图表组别观点频数（人数）A大气气压低，空气不流动80B地面灰尘大，空气湿度低mC汽车尾气排放nD工厂造成的污染120E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m=40，n=100扇形统计图中E组所占的百分比为15%；（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；X4：概率公式菁优网版权所有【分析】（1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；（2）利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解；（3）利用频率的计算公式即可求解【解答】解：（1）总人数是：8020%=400（人），则m=40010%=40（人），C组的频数n=400804012060=100（人），E组所占的百分比是：100%=15%；故答案为：40，100，15%；（2）100=30（万人）；所以持D组“观点”的市民人数为30万人；（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是=答：随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及列举法求概率18（9分）（2013河南）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF；（2）填空：当t为6s时，四边形ACFE是菱形；当t为1.5s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；L9：菱形的判定；LI：直角梯形菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；分两种情况考虑：若CEAG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AFBC，求出BF的长度及时间t的值【解答】（1）证明：AGBC，EAD=DCF，AED=DFC，D为AC的中点，AD=CD，在ADE和CDF中，ADECDF（AAS）；（2）解：若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=61=6（s）；四边形AFCE为直角梯形时，（I）若CEAG，则AE=CF=BC=3，BF=32=6，即点F与点C重合，不是直角梯形（II）若AFBC，ABC为等边三角形，F为BC中点，即BF=3，此时的时间为32=1.5（s）；故答案为：6；1.5【点评】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键19（9分）（2013河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角BAE=68，新坝体的高为DE，背水坡坡角DCE=60求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.50，）【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有【分析】在RtBAE中，根据BE=162米，BAE=68，解直角三角形求出AE的长度，然后在RtDCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CEAE求出AC的长度即可【解答】解：在RtBAE中，BE=162米，BAE=68，AE=64.8（米），在RtDCE中，DE=176.6米，DCE=60，CE=102.08（米），则AC=CEAE=102.0864.8=37.3（米）答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形20（9分）（2013河南）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）双曲线y=（x0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且FBCDEB，求直线FB的解析式【考点】GB：反比例函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据FBCDEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式【解答】解：（1）BCx轴，点B的坐标为（2，3），BC=2，点D为BC的中点，CD=1，点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=（x0）得k=13=3；BAy轴，点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，点E在双曲线上，y=点E的坐标为（2，）；（2）点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），BD=1，BE=，BC=2FBCDEB，即：FC=点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y=kx+b（k0）则解得：k=，b=直线FB的解析式y=【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化21（10分）（2013河南）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由【考点】9A：二元一次方程组的应用；FH：一次函数的应用菁优网版权所有【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；（3）先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，根据题意得，解得：，答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；（2）A品牌：y1=30x0.8=24x；B品牌：当0x5时，y2=32x，当x5时，y2=532+32（x5）0.7=22.4x+48，综上所述：y1=24x，y2=；（3）当y1=y2时，24x=22.4x+48，解得x=30，即购买30个计算器时，两种品牌都一样；当y1y2时，24x22.4x+48，解得x30，即购买超过30个计算器时，B品牌更合算；当y1y2时，24x22.4x+48，解得x30，即购买不足30个计算器时，A品牌更合算【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，（1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，（2）B品牌计算器难点在于要分情况讨论，（3）先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键22（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DEAC；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长【考点】KD：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】152：几何综合题；16：压轴题【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60，然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边”证明ACN和DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD，求出F1DF2=60，从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“边角边”证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出BE的长，即可得解【解答】解：（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个23（11分）（2013河南）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点P，使PCF=45，请直接写出相应的点P的坐标【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问采用数形结合的数学思想求解将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个联立解析式解方程组，即可求出m的值；（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标【解答】解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，C（0，2）点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=x2+bx+c上，解得b=，c=2，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）PFOC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，PF=OC=2，将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，联立，解得x1=1，x2=2，m1=1，m2=2；将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，联立，解得x3=，x4=（不合题意，舍去），m3=当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形（3）存在理由：设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+2），F（m，m+2）如答图2所示，过点C作CMPE于点M，则CM=m，EM=2，FM=yFEM=m，tanCFM=2在RtCFM中，由勾股定理得：CF=m过点P作PNCD于点N，则PN=FNtanPFN=FNtanCFM=2FNPCF=45，PN=CN，而PN=2FN，FN=CF=m，PN=2FN=m，在RtPFN中，由勾股定理得：PF=mPF=yPyF=（m2+m+2）（m+2）=m2+3m，m2+3m=m，整理得：m2m=0，解得m=0（舍去）或m=，P（，）；同理求得，另一点为P（，）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解考点卡片1相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如a的相反数是a，m+n的相反数是（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号2实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用【规律方法】实数运算的“三个关键”1运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等2运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算3运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度3整式的混合运算化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似4分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减： 说明：分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘 通分是和约分是相反的一种变换约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的5二元一次方程组的应用（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组（4）求解（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答（二）、设元的方法：直接设元与间接设元当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程6解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解7一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解（2）已知解集（整数解）求字母的取值一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案8一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数3、概括整合（1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键9反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象