专题17(可用).ppt

专题17导数的应用 1 函数的单调性 1 函数单调性的充分条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为函数 如果f x 0 则f x 为函数 2 函数单调性的必要条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果y f x 在该区间上单调递增 或递减 则在该区间内 基础知识梳理 单调递增 单调递减 f x 0 或f x 0 2 函数的极值 1 设函数f x 在点x0及其附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 就说f x0 是f x 的一个 记作 极大值与极小值统称为 基础知识梳理 极大值 y极大值 f x0 极小值 y极小值 f x0 极值 2 判别f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 基础知识梳理 极小值 极大值 思考 提示 不一定是 例如 函数f x x3 有f 0 0 但x 0不是极值点 基础知识梳理 思考 1 导数为零的点都是极值点吗 2 函数的极值一定是函数的最值吗 3 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 该函数在 a b 上一定能够取得与 若函数在 a b 内是 该函数的最值必在取得 基础知识梳理 连续不间断的曲线 最大值 最小值 极值点或区间端点处 可导的 1 函数f x x3 3x2 1的单调递减区间为 A 2 B 2 C 0 D 0 2 2 函数f x xlnx在 0 5 上的单调递增区间是 巩固练习 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它们在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 例1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 2 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域R内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 求可导函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧附近为正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 例2设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 此题属于逆向思维 但仍可根据函数极值的步骤求解 但要注意极值点与导数之间的关系 利用这一关系 f x 0 建立字母系数的方程 通过解方程 组 确定字母系数 从而解决问题 探究提高 1 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 1 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断使f x 0成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 例3 已知a为实数 且函数f x x2 4 x a 1 求导函数f x 2 若f 1 0 求函数f x 在 2 2 上的最大值 最小值 探究提高在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点也就是最值点 例4 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润L最大 并求出L的最大值Q a 2 可导函数的极值 1 极值是一个局部性概念 一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 规律方法总结 1 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分条件 3 函数的最值 1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间所有函数值中的最大值 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 规律方