高三理科数学培优专题——三角函数.doc

三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1cos2xsin2x。（2）角的配凑。（），等。（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入辅助角。asinbcossin()，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan确定。2.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，（1）若，求的值； （2）设函数，求的值域考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I，7）在函数，中，最小正周期为的所有函数为 （ ）A. B. C. D. 3.（2012年课标全国，9）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.（2011年课标全国，11）设函数的最小正周期为，且，则（ ）A. 在单调递减 B. 在单调递减C. 在单调递增 D. 在单调递增5将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数 的图象关于原点对称，则函数在的最小值为A B C D6.（2011年东城区期末15）函数部分图象如图所示（）求的最小正周期及解析式；（）设，求函数在区间上的最大值和最小值考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于（）求的值； （）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值.8.已知向量向量（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）若是第一象限角且，求的值.考点六：解三角形9中，角成等差数列是成立的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件10已知函数,分别为的内角所对的边，且，则下列不等式一定成立的是 A B C D11.（2014年课标I，16）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为 . 12.（2014年河南焦作联考）在中，已知，若分别是角所对的边，则的最大值为 .13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在中，角所对的边分别为，满足 （1）求角的大小； （2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小.14（2009全国II， 17，10分） 设的内角的对边分别为，.求的大小.14.（2015课标II，17，12分）中，是上的点，平分，的面积是面积的2倍. （1）求；（2）若，求和的长.15、（2011东城一模15）在中，角，的对边分别为，分，且满足 （）求角的大小；（）若，求面积的最大值例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域单位圆中的三角函数定义解：（）由已知可得2分 3分4分（） 6分 7分 8分 9分 12分的值域是13分2（2011年西城期末理15）已知函数.（）若点在角的终边上，求的值； （）若，求的值域.三角函数一般定义解：（）因为点在角的终边上， 所以， 2分所以 4分. 5分（） 6分， 8分因为，所以， 10分所以， 11分所以的值域是. 13分3.（2011年东城区期末理15）函数部分图象如图所示（）求的最小正周期及解析式；（）设，求函数在区间上的最大值和最小值解：（）由图可得，所以 2分所以 当时，可得 ，因为，所以 5分所以的解析式为 6分（） 10分因为，所以当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为13分相邻平衡点（最值点）横坐标的差等； ； ;-代点法4（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1） .3分（只写对一个公式给2分） .5分 由，可得 .7分所以 .8分 .9分（2）当，换元法 .11 即时，单调递增.所以，函数的单调增区间是 . 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于（）求的值；（）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值解：（） 意义 4分因为 ，所以 ， 6分所以 所以 7分（）当 时， ， 无范围讨论扣分所以 当，即时， 10分当，即时， 13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数 . （）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；（）若，求的值.解: 1分 2分 . 和差角公式逆用 3分（）函数的最小正周期. 5分令， 6分所以. 即.所以，函数的单调递增区间为 . 8分（）解法一：由已知得， 9分两边平方，得 同角关系式 所以 11分因为，所以.所以. 13分解法二：因为，所以. 9分又因为，得 . 10分所以. 11分所以， . 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知，（）求的值； （）求函数的值域解：（）因为，且，所以，角的变换因为 所以 6分 （）由（）可得 所以此结构转化为二次函数值域问题 ， 因为，所以，当时，取最大值； 当时，取最小值 所以函数的值域为 8（2011年朝阳期末理15）已知中，.（）求角的大小；20070316（）设向量，求当取最小值时， 值.解：（）因为， 和差角公式逆用所以. 3分因为，所以.所以. 5分因为，所以. 7分（）因为， 8分所以. 10分所以当时，取得最小值.此时（），于是. 同角关系或三角函数定义12分所以. 13分9（2011年石景山期末理15）已知函数（）求的值；（）若，求的最大值；（）在中，若，求的值解：（） 4分 （） 6分， 当时，即时，的最大值为8分（），若是三角形的内角，则， 令，得 ，此处两解解得或 10分由已知，是的内角，且， 11分 又由正弦定理，得 13分10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在中，角，的对边分别为，分，且满足（）求角的大小；（）若，求面积的最大值解：（）因为， 所以 由正弦定理，得边化角 整理得 所以 在中， 所以， （）由余弦定理， 所以 均值定理在三角中的应用 所以，当且仅当时取“=” 取等条件别忘 所以三角形的面积 所以三角形面积的最大值为 13分11、(2011丰台一模理15). 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc（）求角A的大小；（）设函数，当取最大值时，判断ABC的形状解：（）在ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) 3分 0A ， （或写成A是三角形内角） 4分 5分（） 7分， 9分 （没讨论，扣1分）10分当，即时，有最大值是 11分又， ABC为等边三角形 13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，且.()求； ()求的面积.解：（I）因为，, 1分 代入得到， . 3分因为 , 4分 所以. 角关系 5分（II）因为，由（I）结论可得： . 7分