圆周运动——临界问题

圆周运动中的临界问题 圆周运动 非匀速圆周运动 匀速圆周运动 角速度 周期 频率不变 线速度 向心加速度 向心力的大小不变 方向时刻改变 合外力不指向圆心 与速度方向不垂直 合外力大小不变 方向始终与速度方向垂直 且指向圆心 合外力沿着半径方向的分量提供向心力 改变速度方向 沿着速度方向的分量 改变速度大小 特点 性质 变速运动 非匀变速曲线运动 条件 向心力就是物体作圆周运动的合外力 当速率增大时 合外力与速度方向的夹角为锐角 反之 为钝角 物体做圆周运动时 题干中常常会出现 最大 最小 刚好 恰好 等词语 该类问题即为圆周运动的临界问题 例1 在山东卫视的 全运向前冲 节目中 有一个 大转盘 的关卡 如图所示 一圆盘正在绕一通过它中心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀速转动 在圆盘上有一名质量为m的闯关者 可是为质点 到转轴的距离为d 已知闯关者与圆盘间的摩擦因素为 且闯关者与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 为了使闯关者与圆盘保持相对静止 求圆盘的转动角速度的取值范围 一 匀速圆周运动中的极值问题 1 滑动与静止的临界问题 如图所示 用细绳一端系着的质量为M 0 6kg的物体A静止在水平转盘上 细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m 0 3kg的小球B A的重心到O点的距离为0 2m 若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm 2N 为使小球B保持静止 求转盘绕中心O旋转的角速度 的取值范围 取g 10m s2 答案 2 9rad s 6 5rad s 如图所示 匀速转动的水平圆盘上 沿半径方向两个用细线相连的小物体A B的质量均为m 它们到转轴的距离分别为rA 20cm rB 30cm A B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0 4倍 g 10m s2 求 1 当细线上开始出现张力 圆盘的角速度 2 当A开始滑动时 圆盘的角速度 2 绳子中的临界问题 例 如图所示 两绳子系一个质量为m 0 1kg的小球 上面绳子长L 2m 两绳都拉直时与轴夹角分别为30 与45 问球的角速度满足什么条件 两绳子始终张紧 2 4rad s 3 16rad s 3 脱离与不脱离的临界问题 37 可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆周运动 细线长为L 求 1 当时绳子的拉力 2 当时绳子的拉力 图3 5 例 如图3 5所示 在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块 电机启动后 铁块以角速度 绕轴O匀速转动 则电机对地面的最大压力和最小压力之差为 1 若m在最高点时突然与电机脱离 它将如何运动 2 当角速度 为何值时 铁块在最高点与电机恰无作用力 3 本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图 若电机的质量为M 则 多大时 电机可以 跳 起来 此情况下 对地面的最大压力是多少 二 竖直平面内的圆周运动的临界问题 球绳模型 模型1 绳球模型 不可伸长的细绳长为L 拴着可看成质点的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动 试分析 当小球在最高点B的速度为v0时 绳的拉力与速度的关系 o 思考 小球过最高点的最小速度是多少 最高点 当v v0 对绳子的拉力刚好为0 小球刚好能够通过 到 最高点 刚好能做完整的圆周运动 思考 当v v0 v v0 v v0时分别会发生什么现象 当v v0 小球偏离原运动轨迹 不能通过最高点 当v v0 对绳子的有拉力 小球能够通过最高点 思考 要使小球做完整的圆周运动 在最低点的速度有什么要求 由机械能守恒可的 当VB取得最小值时 即 VA取得最小值即 结论 要使小球做完整的圆周运动 在最低点的速度 例 长为L的细绳 一端系一质量为m的小球 另一端固定于某点 当绳竖直时小球静止 现给小球一水平初速度v0 使小球在竖直平面内做圆周运动 并且刚好过最高点 则下列说法中正确的是 A 小球过最高点时速度为零B 小球开始运动时绳对小球的拉力为mC 小球过最高点时绳对小的拉力mgD 小球过最高点时速度大小为 D 变型题2 在倾角为 30 的光滑斜面上用细绳拴住一小球 另一端固定 其细线长为0 8m 现为了使一质量为0 2kg的小球做圆周运动 则小球在最高点的速度至少为多少 在 水流星 表演中 杯子在竖直平面做圆周运动 在最高点时 杯口朝下 但杯中水却不会流下来 为什么 对杯中水 G FN FN 0 水恰好不流出 表演 水流星 需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于 即 实例一 水流星 重力的效果 全部提供向心力 思考 过山车为什么在最高点也不会掉下来 实例二 过山车 拓展 物体沿竖直内轨运动 有一竖直放置 内壁光滑圆环 其半径为r 质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时 分析小球在最高点的速度应满足什么条件 思考 小球过最高点的最小速度是多少 当v v0 对轨道刚好无压力 小球刚好能够通过最高点 当v v0 小球偏离原运动轨道 不能通过最高点 当v v0 对轨道有压力 小球能够通过最高点 要保证过山车在最高点不掉下来 此时的速度必须满足 规律总结 无支持物 物体在圆周运动过最高点时 轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向向下的拉力 或轨道对物体只能产生向下的弹力 若速度太小物体会脱离圆轨道 无支持物模型 不能过最高点的条件 V V临界 实际上小球尚未到达最高点时就脱离了轨道 使小球做完整的圆周运动 在轨道的最低点的速度应满足 模型二 球杆模型 小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运动 过最高点时杆与绳不同 杆对球既能产生拉力 也能对球产生支持力 管状轨道的口径略大于小球的直径 长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球 使小球在竖直平面内做圆周运动 试分析 1 当小球在最低点A的速度为v2时 杆的受力与速度的关系怎样 2 当小球在最高点B的速度为v1时 杆的受力与速度的关系怎样 A B o 思考 在最高点时 何时杆表现为拉力 何时表现为支持力 试求其临界速度 A B 最高点 拉力 支持力 临界速度 当v v0 杆对球有向上的支持力 当v v0 杆对球有向下的拉力 此时最低点的速度为 问 当v2的速度等于0时 杆对球的支持力为多少 F支 mg 此时最低点的速度为 结论 使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度 拓展 物体在管型轨道内的运动 如图 有一内壁光滑 竖直放置的管型轨道 其半径为R 管内有一质量为m的小球有做圆周运动 小球的直径刚好略小于管的内径 思考 在最高点时 什么时候外管壁对小球有压力 什么时候内管壁对小球有支持力 什么时候内外管壁都没有压力 小球在最低点的速度v至少多大时 才能使小球在管内做完整的圆周运动 临界速度 当v v0 内壁对球有向上的支持力 当v v0 外壁对球有向下的压力 使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度 例题 轻杆长为2L 水平转轴装在中点O 两端分别固定着小球A和B A球质量为m B球质量为2m 在竖直平面内做圆周运动 当杆绕O转动到某一速度时 A球在最高点 如图所示 此时杆A点恰不受力 求此时O轴的受力大小和方向 保持 问中的速度 当B球运动到最高点时 求O轴的受力大小和方向 在杆的转速逐渐变化的过程中 能否出现O轴不受力的情况 请计算说明 解析 A端恰好不受力 则 B球 杆对B球无作用力 对A球 若B球在上端A球在下端 对B球 对A球 联系得 若A球在上端 B球在下端 对A球 对B球 联系得 显然不成立 所以能出现O轴不受力的情况 此时 在杆的转速逐渐变化的过程中 能否出现O轴不受力的情况 请计算说明 图3 6 四 圆周运动的周期性利用圆周运动的周期性把另一种运动 例如匀速直线运动 平抛运动 联系起来 圆周运动是一个独立的运动 而另一个运动通常也是独立的 分别明确两个运动过程 注意用时间相等来联系 在这类问题中 要注意寻找两种运动之间的联系 往往是通过时间相等来建立联系的 同时 要注意圆周运动具有周期性 因此往往有多个答案 例1 如图所