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高中数学恒成立问题解题思路 在不等式中 有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立 恒成立条件下不等式参 数的取值范围问题 涉及的知识面广 综合性强 同时数学语言抽象 如何从题目中提取可 借用的知识模块往往捉摸不定 难以寻觅 是同学们学习的一个难点 同时也是高考命题中 的一个热点 其方法大致有 1 一元二次方程根的判别式 2 参数大于最大值或小于最小值 3 变更主元利用函数与方程的思想求解 一 用一元二次方程根的判别式 1 根的判别式 2 对称轴 3 特殊值 有关含有参数的一元二次不等式问题 若能把不等式转化成二次函数或二次方程 通过 根的判别式或数形结合思想 可使问题得到顺利解决 例1对于 x R 不等式恒成立 求实数m 的取值范围 练习 若对于 x R 不等式恒成立 求实数m 的取值范围 例 2已知函数 在时恒有 求实数k 的取值范围 0m3x2x 2 03mx2mx 2 2kx2x x f 2 1x k x f 二 参数大于最大值或小于最小值 如果能够将参数分离出来 建立起明确的参数和变量x 的关系 则可以利用函数的单调 性求解 恒成立 即大于时大于函数值域的上界 恒 成立 即小于时小于函数值域的下界 例 1若不等式在 x 1 2 时恒成立 试求a 的取值范围 练 1 2007 年 福建 22 已知函数 kxexf x Rx 1 若ek 试确定函数 xf的单调区间 2 若0k 且对于任意Rx 0 xf恒成立 试确定实数k的取值范围 练 2 设函数 2 1 1ln xxaxf且 xf在2x处有极值 1 求 a 2 当 e e x1 1 1时 不等式kxf 恒成立 求实数k的取值范围 x fa max x fa x f x fa min x fa x f 1 xalg ax2lg 三 变更主元 换位思考 在解含参不等式时 有时若能换一个角度 变参数为主元 可以得到意想不 到的效果 使问题能更迅速地得到解决 例 6 若不等式 对满足所有的 x 都成立 求 x 的取值范围 练 已知是定义在 1 1 上的奇函数且 若 a b 1 1 a b 0 有 1 判断函数在 1 1 上是增函数还是减函数 2 解不等式 3 若对所有 a 1 1 恒成立 求实数m 的 取值范围 1x m1x2 2 2m2 x f1 1 f
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