高中物理重要公式定律的证明及推导.pdf

1 高中物理重要公式定律的证明及推导高中物理重要公式定律的证明及推导 1 1 证明机械能守恒定律 在只有重力做功的情形下 物体的动能和重力势证明机械能守恒定律 在只有重力做功的情形下 物体的动能和重力势 能发生相互转化 但总的机械能保持不变 能发生相互转化 但总的机械能保持不变 证明 证明 如图所示 取地面为零势能点 设物体只受重力作用 向下做自由落体运动 在位置 1 时速度为 v1 高度为 h1 在位置 2 时速度为 v2 高度为 h2 由匀加速运动公式可得 v2 2 v 1 2 2g h 1 h2 v1 2 2gh 1 v2 2 2gh 2 mv1 2 2 mgh 1 m v2 2 2 mgh 2 2 2 证明证明动能定理 合外力对物体所做的功等于物体动能的增加 动能定理 合外力对物体所做的功等于物体动能的增加 证明 证明 设一个质量为 m 的物体原来的速度为 v1 动能为 mv1 2 2 在恒定的合 外力 F 的作用下 发生一段位移 s 速度为 v2 动能增加到 mv2 2 2 设合外力 方向与运动方向相同 由运动学公式 v2 2 v 1 2 2as 得 s v 2 2 v 1 2 2a 合外力 F 做的功 W Fs 根据牛顿第二定律 F ma 所以 Fs ma v2 2 v 1 2 2a mv 2 2 2 mv 1 2 2 或 W EK2 EK1 2 3 3 证明 万有引力定律证明 万有引力定律 F GMm rF GMm r 2 2 证明 证明 设有两个孤立物体质量分别为 M m 相距较远间距为 r m 绕 M 作匀 速圆周运动周期为 T M 对 m 的万有引力 F 提供向心力 F m 2 T 2r 由开普勒第三定律 r 3 T2 常数 由 得 F 2 2m r3 T2 r2 即 F m r2 由牛顿第三定律可知 m 对 M 的万有引力大小也为 F 且具有相同的性质 所以 m 对 M 的万有引力 F M r 2 综合 得 F Mm r 2 万有引力定律 F GMm r 2 其中 G 为引力常量 4 4 证明证明动动量量定理 合外力定理 合外力的冲量的冲量等于物体等于物体动量动量的的变化量变化量 如图所示 一物体放在光滑光滑的水平面上 设在恒力 F 的作用下 证明 证明 开始时物体的初速度为 V1 经过 t 时间后 物体的速度变为 V2 由牛顿第二定律得 F a m 由运动学公式得 21 vv a t 3 由 可得 21 vvF tm 由此式变形得 21 Ftmvmv 式中 Ft表示物体在 t 时间内物体受到合外力的冲量 2 mv 表示物体在这段时 间的末动量 1 mv表示物体在这段时间的初动量 5 5 证明证明动动量守恒定律量守恒定律 证明证明 根据牛顿第二定律 碰撞过程中两球的加速度分别是 1 1 1 m F a 2 2 2 m F a 根据牛顿第三定律 F1 F2 大小相等 方向相反 即 F1 F2 所以 2211 amam 碰撞时两球之间力的作用时间很短 用 t 表示 这样 加速度与碰撞前后速 度的关系就是 t vv a 11 1 t vv a 22 2 把加速度的表达式代入 2211 amam 并整理得 22112211 vmvmvmvm 上述情境可以理解为 以两小球为研究对象 系统的合外力为零 系统在相 互作用过程中 总动量是守恒的 即动量守恒表达式 4 6 6 证明证明 半径公式 半径公式 r mv Bqr mv Bq 周期公式 周期公式 T 2T 2 m Bqm Bq 证明 证明 如图所示 设一带电粒子质量为 m 带电量为 q 匀强磁场的磁感强度 为 B 粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力 即 r v mqvB 2 所以运动半径为 qB mv r 根据周期公式 v r T 2 将 qB mv r 代入得 带电粒子的运动周期为 qB m T 2 7 7 求证求证电流与自由电子定向移动速率的关系式电流与自由电子定向移动速率的关系式 I neSvI neSv 证明 证明 如图所示 设对一段导线通以强度为 I 的电流 导线截面积为 S 电子 定向移动速率为 v 单位体积内自由电子数为 n 通电时间为 t 则在这段时间内 自由电子定向移动的距离为 L vt 通过导线截面的电量为 q enV enSL neSvt 所以电流为 I q t neSv 8 8 证明 洛仑兹力公式证明 洛仑兹力公式 f qvB f qvB 证明 证明 设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是 n 每个自由电荷的电 5 量是 q 自由电荷的平均定向移动速率是 v 导线的横截面积是 S 那么通过 导线的电流就是 nqsvI 磁场对电流的作用力是BILF 这个力可看作是作用在每个自由运动电荷 上的洛仑兹力的合力 设洛仑兹力为 f 这段导线内自由运动电荷的总数为 N 则 FNf 即BILNf 代入 nqsvI 得到 nqsvILNf 又 N 等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积 即 N nSL 因此上式简化为 f qvB 9 9 证明证明导体切割磁感线产生的电动势导体切割磁感线产生的电动势 BLv BLv 证明一 证明一 如图所示 假设垂直水平轨道放置的导体棒长 L 以速度 v 在轨道 上向右运动 设在 t 时间内棒由原来的位置 ab 移到 cd 这时线框的面积变 化量 S Lv t 穿过闭合电路的磁通量变化量 B S BLv t 由法拉第电磁感应定律 t 将上式代入得 导体切割磁感线产生的电动势 BLv 证明二 证明二 如图所示 假设导体棒长 L 以垂直导体棒的速度 v 水平向右 运动 有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为 B 由左手定则可知 棒中自由电子 e 受洛仑兹力 f evB 作用向下运动 6 使棒上下端产生电势差 形成的电场强度大小为 E L 当 f eE 时 棒中产生稳定的电动势 BLv 10 证明证明导体棒旋转切割电动势导体棒旋转切割电动势 LBE 2 2 1 证明 证明 如图 1 所示 一根导体棒 oa 长度为 L 电阻不计 绕 o 点在垂直于 匀强磁场 B 的平面内以角速度 做匀速圆周运动 求其产生的电动势 解法一解法一 假想电路法 假想导体棒与一个定值组成闭合回路 如图 2 所示 利用法拉第电磁感应 定律公式 求解 此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值 不用来求瞬时值 但本题中棒切割磁感线的角速度恒定 产生的感应电动势 大小也是定值 故平均值与瞬时值相同 可以用此公式求金属棒产生电动势 的瞬时值 假设棒与某个电阻 R 组成了一个闭合回路 经过时间 t 棒转 过了角度 则闭合电路的磁通量增加量为 7 由楞次定律可知 闭合电路的磁通量在增大 感应电流的磁场应垂直纸面向 外 如果形成感应电流 则方向由 o a 故电动势的方向 o a a 点电势 高于 o 点电势 a 点相当于电源的正极 解法二解法二 利用法拉第电磁感应公式的导出公式 E Blv 求解 由于杆上各点的线速度都不相同 并且各点的线速度大小