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已知 a b c 是实数 函数 f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1 时 f x 1 1 证明 c 1 2 证明 当 1 x 1 时 g x 2 3 设 a 0 有 1 x 1 时 g x 的最大值为 2 求 f x 1 证明 由条件当 1 x 1 时 f x 1 取 x 0 得 c f 0 1 即 c 1 2 证法一 依题设 f 0 1 而 f 0 c 所以 c 1 当 a 0 时 g x ax b 在 1 1 上是增函数 于是 g 1 g x g 1 1 x 1 f x 1 1 x 1 c 1 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 因此得 g x 2 1 x 1 当 a 0 时 g x ax b 在 1 1 上是减函数 于是 g 1 g x g 1 1 x 1 f x 1 1 x 1 c 1 g x f 1 c f 1 c 2 当 a 0 时 g x b f x bx c 1 x 1 g x f 1 c f 1 c 2 综合以上结果 当 1 x 1 时 都有 g x 2 3 因为 a 0 g x 在 1 1 上是增函数 当 x 1 时取得最大值 2 即 g 1 a b f 1 f 0 2 1 f 0 f 1 2 1 2 1 c f 0 1 因为当 1 x 1 时 f x 1 即 f x f 0 根据二次函数的性质 直线 x 0 为 f x 的图象的对称轴 由此得 b 2a
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