全套更高更妙的物理竞赛ppt课件竞赛课件11：天体运动种种.ppt

天体运动种种 直通竞赛 赛前准备 开普勒三定律 面积定律 支配天体运动的基本规律 轨道定律 周期定律 万有引力定律 牛顿运动定律 机械能 在同一轨道上机械能守恒 轨道 对环绕中心 越高 总机械能越大 人造卫星可能轨道 赤道平面轨道 极地轨道 其它轨道 天体运动规律一览表 GM 环绕系统的 高斯常数 F引 m F向 赤道上的物体 在某一纬度的物体 m F引 F向 地面上物体的重力是地心引力除去随地球自转所需向心力 只是地心引力极小一部分 的部分 产生使支持物形变或重力加速度的效果 天上卫星的重力即全部地心引力 产生绕地球转动向心加速度的效果 结论 重力与地心引力 双星模型特征与规律 模型特征 故有 之二 角速度相同 即 之三 两天体作圆周运动的向心力大小相等 之四 之一 两天体作圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力 大小相等 即 模型规律 两颗相近的天体绕它们连线上的某点 质心 以共同的角速度做匀速圆周运动 之五 双星系统动量守恒 一个常用的推导 天体的密度 地球公转轨道平面 日 D X Q Ch 对北半球而言 在冬季过近日点 夏季过远日点 从高考到竞赛题1 如图所示为地球绕太阳运行示意图 图中椭圆表示地球公转轨道 Ch Q X D分别表示中国农历节气中的春分 秋分 夏至 冬至时地球所在的位置 试说明 一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因 由面积定律 同步轨道半径设为R1 同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角2 有 因卫星在影区 不反射阳光而看不到的时间为 2 R 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星 试问 春分那天 太阳光直射赤道 在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星 已知地球半径为R 地球表面处的重力加速度为g 地球自转周期为T 不考虑大气对光的折射 R1 从高考到竞赛题2 极地卫星周期为 每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为 每次应拍摄 由 卫星下方地面处于东经 0 180 移动卫星经半周期又通过赤道上空 此间地球自转了 角 有 要使一颗人造地球通讯卫星 同步卫星 能覆盖赤道上东经75 0 到东经135 0 之间的区域 则卫星应定位在哪个经度范围内的上空 地球半径R 6 37 106m 地球表面处的重力加速度g 9 80m s2 从高考到竞赛题5 同步轨道半径的计算 解答 同步轨道半径设为R同步 其覆盖经度范围的几何关系如图 R R同步 恰能覆盖东经75 的卫星定位 恰能覆盖东经135 的卫星定位 读题 卫星应定位在东经54 156 上空 同步轨道半径设为R0 得 卫星在同步轨道的引力势能为 动能 卫星在空间站的引力势能为 由机械能守恒 L 天文学家根据观察宣布了下列研究成果 银河系中可能存在一个大 黑洞 距黑洞60亿千米的星体以2000km s的速度绕其旋转 接近 黑洞 的所有物质即使速度等于光速也被 黑洞 吸入 试计算 黑洞 的质量和最大半径 从高考到竞赛题8 两天体分离速度成角度时 相对速度情况如图所示 V1 V2 v相对 地 月在相互间的万有引力作用下 绕它们的连线上的一点C作等角速度的转动 太空城的首选位置在月球轨道上与月球及地球等距的地方 如图所示 这里 太空城在地 月引力共同作用下 相对于地 月均处于平衡 试证明 太空城在这里所受地 月引力的合力作用线指向 从高考到竞赛题10 地球 月球 太空城 C 设地球质量为M1 月球质量为M2 地球与月球间距离为R 如图 设太空城所受合力作用线与地 月连线的中垂线夹角为 太空城所在位置和C点的连线与中垂线夹角为 则 F1 F2 估算空间太阳能电站一昼夜间由于被地球遮挡而不能发电的最长时间 取地球本影长为地球半径的216倍 同步轨道高度为地球半径的5 5倍 日 地 卫星 影 R R0 nR0 从高考到竞赛题11 估算从地球表面向火星发射火星控测器 设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动 火星轨道半径约为地球轨道半径R0的1 5倍 简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行 第一步 在地球表面用火箭对探测器进行加速 使之获得足够动能 从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星 第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机 在短时间内对探测器沿原方向加速 使其速度增加到适当值 从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上 如图甲 当探测器脱离地球引力并沿地球公转轨道稳定运行后 在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60 如图乙所示 已知地球半径为 Rr 6 4 106m 地球公转周期为 Te 365天 时间计算仅需精确到日 求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间 通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面 从高考到竞赛题12 解答 由开三律 则探测器沿半椭圆运动时间为 探测器沿半椭圆发生180 角位移的时间内火星通过的角度为 则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成43 从3月1日探测器与火星的角距离成60 经38天到4月8日时成43 读题 走进竞赛板块 v0 b a c d e 牛顿的草图 天体的运动轨迹 轨道与能量 机械能守恒 支配天体运动的守恒定律 引力势能 动量守恒 轨道与能量 两个天体相互作用过程中 如果其它星系离它们很遥远 对它们的作用可以忽略的话 这两个天体的总动量守恒 两个天体从相距很远到相互作用直到远离 它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组 那么在它们相互作用的前后相对速度遵守 反射定律 如果是一维方向上的 弹性碰撞 则相对速度等值反向 若一个飞船向外喷气或抛射物体 则系统的动量守恒而机械能不守恒 角动量守恒 角动量 若作用在质点上的力对某定点的力矩为零 则质点对该定点的角动量保持不变 这就是质点的角动量守恒定律 物体在受有心力作用而绕着中心天体运动 或几个天体互相绕其系统质心运动时 由于有心力必过力心 对力心的力矩为零 故系统的角动量守恒 即 示例 模型与方法 r1 rn 引力势能 物体只在引力作用下绕中心天体运行 其机械能守恒 引力是保守力 引力场是势场 在平方反比力场中 质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置 在中心引力场中 m从A1移至无穷远处 引力做负功为 以无穷远处为零引力势能位置 物体在距中心天体r远处的引力势能为 返回 角动量 p 矢量r称位置矢量 或称矢径 绕定点圆运动质点的 线 动量为 方向总是与矢径r垂直 定义 质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对定点 圆心 O的角动量 L pr 当p与r方向不垂直而成角度 p r A 角动量大小 等于动量大小与O点到动量矢量p的垂直距离的乘积 方向遵守右手定则 矢量定义式为 返回 r2 r1 m O 均匀球壳对壳内物质的万有引力 M 两面元质量各为 r 两面元对壳内质点m的引力各为 由几何关系 整个球壳对球壳内物质的万有引力为零 对于一个质量均匀半径为R的实心球 在距球心r R 处质点只受半径为r的球内质量的万有引力 而r以外球壳 即R为外径r为内径的球壳 则对质点无引力的作用 r M R m 距球心r处所置质点受到引力大小 距球心r处所置质点的引力势能 均匀实心球的万有引力 返回 常用模型方法 理想化方法 轨道极限模型 矢量法与微元法 试推导地球上的第三宇宙速度v3 专题11 例1 地球质量M太阳质量MS地球半径R日地距离r物体质量m 第一宇宙速度v1 地球环绕速度 这是以日为参照物之速度 而地球对太阳的公转速度 29 8km s 则以地球为参照物 这个速度为 第二宇宙速度v2 地球逃逸速度 由能量守恒 第三宇宙速度v3 太阳逃逸速度 原处于太阳系中地球轨道位置的物体离开太阳系所需 逃逸速度 由能量守恒 R R b 要发射一台探测太阳的探测器 使其与地球具有相同的绕日运动周期 以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料 由地球发射这样一台探测器 应使其具有多大的绕日速度 专题11 例2 取发射时的一小段时间 t 火箭矢径的 面积速度 为 火箭飞行期间矢径扫过的面积 则 火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射 返回时落回离发射场不远处 空气阻力不计 试估算火箭飞行的时间 地球半径取R0 6400km 专题11 例3 竖直上抛运动中 以T表示到达最高点所用时间 以H表示最高点离地球表面的距离 R表示地球半径 M表示地球质量 G为万有引力恒量 不计空气阻力 从考虑万有引力是 平方反比力 出发 确定时间T的数学表达式 专题11 例4 从考虑万有引力出发 物体在平方反比力作用下所作的 竖直上抛运动 其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分 该椭圆的长轴可取作R H 该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中的一个 如图示 设在这样的轨道上运动的物体的运行周期为T 物体的 面积速度 为 续解 物体的 面积速度 为 物体运动的周期与 贴地 卫星周期关系由开三律 物体飞行期间矢径扫过的面积 由椭圆方程 读题 读图 其中 设想宇宙中有一由质量分别为m1 m2 mN的星体1 2 N构成的孤立星团 各星体空间位置间距离均为a 系统总质量为M 由于万有引力的作用 个星体将同时由静止开始运动 试问经过多长时间各星体将会相遇 专题11 例5 设系统质心为O 星体1与i位矢如图 r1 ri 星体1与i的万有引力大小为 a 同理 系统的角动量守恒 设矢量r1大小r1 ka 质点1在这个平方反比力作用下 在以O为一个焦点 以ka 2为长半轴而短半轴逼近于零的 椭圆轨道 运动 远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星 它的形成可看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星 求其近日点 已知木星的公转轨道半径为R 专题11 例6 理想化模型 从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木星发生 弹性碰撞 改变运动方向进入绕日轨道 如图 木星轨道 太阳 得木星 碰撞 前速度为 由机械能守恒 从无限远处被太阳吸引到木星轨道附近时速度v满足 与木星 完全弹性碰撞 过程速度矢量关系如图 续解 V接近 V分离 完全弹性碰撞 接近速度与分离速度大小相等 天体进入太阳彗星轨道 设其绕日轨道近日点距太阳r 过近日点时速度为v1 读图 由机械能守恒有 由角动量守恒有 如图所示 地球沿半径为R0的圆轨道绕太阳运动 彗星绕太阳沿抛物线轨道运动 已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交 不计地球与彗星之间的引力 试求彗星在地球轨道内的运行时间 专题11 例7 准线 续解 太阳 彗星 地球质量依次为M m m0 解题方向比较两天体矢径扫过的面积 比较两天体 面积速度 可得两天体运行时间关系 彗星轨迹为抛物线 由机械能守恒 有关系式 而地球绕日运行有关系式 设彗星以速率v通过其轨道顶点C历时 t t 0 读图 地球以速率v0通过其轨道顶点C0历时 t0 t0 0 两者的 面积速度 相同 一卫星在半径为r的圆形轨道上运动 旋转周期为T 如果给卫星一个附加的径向速度un或一个附加的切向速度ut 卫星都将沿一个椭圆轨道运动 确定在上述二种情况中卫星的旋转周期 所附加的径向速度un和切向速度ut必须满足什么关系 才能使两种情况下 卫星旋转周期相等 专题11 例8 卫星在半径r轨道圆运动速度为 中心天体质量为M 远 近 地点 速度为V 矢径为rn t 卫星附加速度u为径向时 读图 机械能守恒 角动量守恒 对同一环绕中心 两轨道周期满足 卫星附加速度u为切向时 要使Tn Tt 根据开普勒第三定律 必有an at 即有 试手 r 变轨道 rn V 2an 续解 变轨道 2at V rt 卫星附加速度u为径向时 卫星附加速度u为切向时 设有两个地球人造卫星M和N沿同一椭圆轨道运动 地球中心在这椭圆的一个焦点F上 又设M和N相距不远 因此可将椭圆弧看作直线 已知MN的中点经近地点时MN a 近地点到地心的距离为r 远地点到地心的距离为R 求M N的中点经远地点时两颗卫星间的距离 小试身手题1 设在远地点时两卫星距离l F N M M N r R 在同一轨道上 卫星面积速度相同 a l 空间两质点的质量分别为m1和m2 彼此以万有引力相互作用 开始时两质点静止 相距r0 在引力作用下彼此接近并相碰 试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间 小试身手题2 r1 r2 r0 设系统质心为O 质点1与2位矢如图 质点1与2的万有引力大小为 令矢量r1大小r1 kr0 等效于中心质量k3 m1 m2 两质点各在以中心为焦点 到中心距离为长轴的退化为直线的扁椭圆上向中心运动 经半周期相遇 故 一质点受一与距离3 2次反比引力作用而在一直线上运动 试证此质点自无穷远处到达距力心a处时的速率与从a处由静止出发 到达a 4处时的速率相同 导出此力场中的势能公式 小试身手题3 ri ri 1 rA rB 在引力作用下质点从A点向力心移到B点 引力做元功为 由从A移至B 引力做功为 由机械能守恒 质点从无穷远处到达距力心a处时 a处由静止出发 到达a 4处时 得证 有一个质量大而体积小的星球 一个物体离这个星球的距离为r 物体从静止出发自由落向此星球 求物体落到这个星球上经历多少时间 已知星球的质量为M 将此星球视作质点 落向此星球的物体的轨道视作退化为直线的椭圆 其半长轴为 小试身手题4 若周期为T 则自由下落到星球历时 设想同一环绕系统另有一物体在半径为r的圆轨道运动 其周期 圆轨道 根据开普勒第三定律 根据某种假设 星球是由星际物质 宇宙尘埃 在万有引力的作用下经压缩而成的 试估算由密度 2 10 20g cm3的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间 取理想化模型 认为尘埃组成的巨大云团是密度均匀分布的质点 每个质点自由落向云团中心 最后密集成一颗星球 星球形成所需时间即是最外层尘埃落至中心的时间即 小试身手题5 如行星突然在其轨道上某处停止运动 假定轨道为圆形 则将被吸引而至太阳 试求其所需时间 设太阳的高斯常数 GM 为k 行星质量为m 小试身手题6 设行星原在力 作用下绕日作半径为r 匀速圆周运动 则有 从距日为r处突然停止而被吸引向太阳的行星 其轨道可视作退化为直线的椭圆 出发于远日点 经半个周期 T 2 到近日点 其半长轴为 根据开普勒第三定律 某彗星的轨道为抛物线 其近日点距离为地球轨道 假定为圆轨道 半径的1 n 求此彗星运行时 在地球轨道内停留的时间 小试身手题7 解题方向比较两天体矢径扫过的面积 比较两天体 面积速度 可得两天体运行时间关系 太阳 彗星 地球质量依次为M m m0 读图 地球绕日运行有关系式 彗星轨迹为抛物线 由机械能守恒 有关系式 设彗星 地球各以速率v和v0通过其轨道顶点历时各 t t 0 和 t0 t0 0 两者的 面积速度 之比为 续解 返回 续解 慧星从A到B时间由 地球矢径扫过面积 读图 如图 从地球发射火箭到火星去进行探测 发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行 为了节省能源 火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致 并且选择适当的发射时机 使火箭椭圆轨道的远日点为火星 轨道近日点为地球 假定地球和火星均绕太阳作圆周运动 圆轨道半径分别为r与R 忽略其它行星对火箭的作用 求火箭应以多大的对地速度离开地球 火箭到达火星要用多长时间 小试身手题8 日 地球轨道 火星轨道 R r 设太阳 火箭质量依次为M m v1 v2 由机械能守恒有 由角动量守恒有 对日速度 火箭离地速度应为 到达火星的时间是火箭运动半个周期T 假设地球是一个均匀球体 现在地球的东半球北纬30 的a处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30 的b处 如图所示 已知地球的半径是6370km 地面的重力加速度g 9 8m s2 第一宇宙速度v1 7 9km s 假设隧道光滑 现将一个物体以v v1 3的初速度从a处抛入隧道 问物体从b处出来后能飞离地面的最大高度是多少 小试身手题9 a b 30 解题方向考虑对称性 物体从b处飞出的速度大小为v1 3 此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动 由守恒定律求最大高度 由机械能守恒有 由角动量守恒有 R h 有一航天器 不带动力装置 自远方以速度v0射向某一行星 计划在行星上着陆 如图示 如以b表示v0与行星的垂直距离 称为瞄准距离 求b最大值为多少时 航天器可以在行星上着陆 已知航天器质量为m 行星的质量为M 半径为R 小试身手题10 m O R b 由机械能守恒有 由角动量守恒有 r b 按此方式 飞船椭圆轨道X为远月点 A为近月点 XA为长轴 月心为焦点 vX 由牛顿草图可知 飞船在X点是向运动方向喷气减速而成 设飞船作圆运动时速率为v0 由机械能守恒有 由角动量守恒有 飞船喷气过程动量守恒 代入题给数据得 续解 读题 按