高等数学下 复旦大学出版 习题六.doc

精品文档习题六1. 指出下列各微分方程的阶数：(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：;解：由得代入方程得故是方程的解.;解：代入方程得 .故是方程的解.;解：代入方程得 .故不是方程的解.解：代入方程得故是方程的解.3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程两端对x求导：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.证：方程两端对x求导： (*)得.(*)式两端对x再求导得将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：解：当时，y=5.故C=-25故所求曲线为：解： 当x=0时，y=0故有.又当x=0时，.故有.故所求曲线为：.5. 求下列各微分方程的通解：;解：分离变量,得 积分得 得 .解：分离变量，得 积分得 得通解： ;解：分离变量，得 积分得 得通解为 .;解：分离变量，得 积分得 得通解为 ;解：分离变量，得 积分得 得通解为 ;解： 积分得 得通解为 .;解：分离变量，得 积分得 即为通解.解：分离变量，得 积分得 得通解为： .6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：;解：分离变量，得 积分得 .以代入上式得故方程特解为 .解：分离变量，得 积分得 将代入上式得故所求特解为 .7. 求下列齐次方程的通解：;解：令 原方程变为 两端积分得 即通解为： ;解：令， 则原方程变为 积分得 即方程通解为 解： 令， 则原方程变为 即 积分得 故方程通解为 ;解： 令, 则原方程变为 即 积分得 以代替u，并整理得方程通解为 .;解：令， 则原方程变为 分离变量,得 积分得 以代替u，并整理得方程通解为到 解： 即 令， 则,原方程可变为即 分离变量，得 积分得 .即 以代入上式，得 即方程通解为 .8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：;解： 令，则得 分离变量，得 积分得 即 得方程通解为 以x=0，y=1代入上式得c=1.故所求特解为 .解：设， 则原方程可变为 积分得 .得方程通解为 以x=1，y=2代入上式得c=e2.故所求特解为 .9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：解：设，则原方程化为令 代回并整理得.解：作变量替换，令 原方程化为 令,则得分离变量，得 积分得即 代回并整理得 ;解：作变量替换 则原方程化为 代回并整理得 .解：令 则原方程可化为 分离变量，得 积分得 故原方程通解为 10. 求下列线性微分方程的通解：;解：由通解公式；解：方程可化为 由通解公式得解： ;解： .;解：方程可化为 解：方程可化为 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：;解： 以代入上式得，故所求特解为 .解：以x=1,y=0代入上式，得.故所求特解为 .12. 求下列伯努利方程的通解：解：令，则有即为原方程通解.解：令.即为原方程通解.13. 求下列各微分方程的通解：;解：方程两边连续积分两次得;解：积分得 ;解：令,则原方程变为故 .;解：设， 则原方程可化为 即 由p=0知y=c，这是原方程的一个解.当时，解：;解：;解：令,则得得 故 .解：令，则.原方程可化为 14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：;解：令，则,原方程可化为 由知，从而有由,得故 或 .;解：令，则.原方程可化为 则 以代入上式得则 当x=1时，y=0代入得故所求特解为 .;解：当，得以x=0,y=0代入上式得故所求特解为 .;解：令，则.原方程可化为 以代入上式得.以x=0,y=1代入上式得故所求特解为;解：令，则.原方程可化为 即 积分得 以代入上式得,则 以x=0,y=0代入得，故所求特解为 即. 即.解：令原方程可化为 以代入得故 由于. 故，即 积分得 以x=0,y=1代入得故所求特解为 .15. 求下列微分方程的通解：;解：特征方程为 解得 故原方程通解为 ;解：特征方程为 解得 故原方程通解为 ;解：特征方程为 解得 故原方程通解为 .;解：特征方程为 解得 故原方程通解为 .;解：特征方程为 解得 故原方程通解为 .解：特征方程为 解得 故原方程通解为 .16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：;解：特征方程为 解得 通解为 由初始条件得 故方程所求特解为 .解：特征方程为 解得 通解为 由初始条件得 故方程所求特解为 .解：特征方程为 解得 通解为 由初始条件得 故方程所求特解为 .解：特征方程为 解得 通解为 由初始条件得 故方程所求特解为 .17. 求下各微分方程的通解：;解： 得相应齐次方程的通解为令特解为,代入原方程得,解得, 故,故原方程通解为 .;解：对应齐次方程通解为 令, 代入原方程得比较等式两边系数得则 故方程所求通解为 .;解：,对应齐次方程通解为 令代入原方程得解得 则 故所求通解为 .;解：相应齐次方程的通解为令，代入原方程并整理得得 则 故所求通解为 .;解：相应齐次方程通解为 令代入原方程得得 则 故所求通解为 .解：对应齐次方程通解为 令代入原方程得故原方程通解为 .18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：;解：特征方程为 得 对应齐次方程通解为 令代入原方程并整理得得 故通解为 .将初始条件代入上式得 故所求特解为 .解： 对应齐次方程通解为 令,代入原方程求得 则原方程通解为 由初始条件可求得 故所求特解为 .*19. 求下列欧拉方程的通解：解：作变换，即t=lnx,原