函数的最大(小)值与导数.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 高二选修2 2第一章 x1 x2 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 左正右负为极大值 左负右正为极小值 一 温故 1 函数极值的定义 一 温故 2 求函数f x 极值的步骤 观察函数y f x 在区间 a b 的图像 你能找出函数的极大值 极小值吗 观察图象 我们发现 是函数y f x 的极小值 是函数y f x 的极大值 二 新课导入 但是 在解决实际问题 比如用料最省 产量最高 效益最大等 或研究函数的性质时 我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大 哪个值最小 我们发现 这些极小值点附近找不到比它的函数值更小的值 极大值点附近找不到比它的函数值更大的值 由此可以看出 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 而不是函数在整个定义域内的性质 二 新课导入 那么 这节课我们来学习函数的最大 小 值与导数 试图通过导数来求函数的最大 小 值 回到刚才那幅图 你能找出函数y f x 在区间 a b 上的最大值 最小值吗 三 新课讲授 由图可以看出 最大值为f a 最小值为 再观察以下两幅图在区间 a b 上的函数y f x 的图像 它们在区间 a b 上有最大值 最小值吗 如果有 分别是什么 三 新课讲授 y f x o y x y f x x1 x2 x4 x3 由图像可以看出 左边函数最大值为f b 最小值为f a 右边函数最大值为 最小值为 观察发现 这3个函数的图像在闭区间 a b 上都是一条连续不断的曲线 它们都有最大值和最小值 你能据此得出什么结论呢 三 新课讲授 y f x o y x y f x x1 x2 x4 x3 最值存在性定理 一般地 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 1 继续观察这三幅图 函数的最值在什么位置 三 新课讲授 y f x o y x y f x x1 x2 x4 x3 1 可以发现 函数的最值都是函数的极值或端点值 2 你能由此得出求函数最值的方法吗 2 求函数最值的方法 将函数所有极值与端点值进行比较 利用导数求函数f x 最值的步骤 三 新课讲授 是什么呢 例1 求函数y x3 3x2 9x在区间 4 4 上的最大值与最小值 解 令 解得x 3 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 函数有极小值f 1 5 极大值f 3 27 三 新课讲授 又由于f 4 20 f 4 76 因此 函数在区间 4 4 上的最大值是76 最小值是 5 分析 能用配方法或函数的性质吗 能用基本不等式或线性规划吗 能用导数吗 利用导数求最值的步骤 这道题告诉我们 1 求最值的方法 配方法 函数的性质 基本不等式 线性规划 导数2 当函数的最高次数不小于3次时 一般用导数来求函数的最值 练习1 求函数在 0 3 上的最大值与最小值 令 解得 因此函数在 0 3 上的最大值为22 最小值为6 当x变化时 f x 的变化情况如下表 如果函数f x 在开区间 a b 上只有唯一一个极值点 那么这个极值点必定是最值点 例如函数y f x 图像如下 例2 若函数的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解 令得x 0 x 4 舍去 当x变化时 f x 的变化情况如下表 由表知 f 0 b是唯一一个极大值 也就是最大值 故b 3 又f 1 f 2 7a b 16a b 9a 0 所以f x 的最小值为f 2 16a 3 29 故a 2 反思 本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上 从而解决问题 往往伴随有分类讨论 练习2 若函数在区间 0 3 上的最大值 最小值分别为M N 则M N的值为 A 2B 4C 18D 20 分析 唯一一个极小值f 1 2 a 也就是最小值N又由于f 0 a f 3 18 a 所以最大值为M 18 a 所以M N 18 a 2 a 20 D 抢答题 练习2变式 若函数在区间 0 3 上 恒有f x m成立 求实数m的取值范围 分析 大于要大于函数的最大值 小于要小于函数的最小值 另外要注意等号能否取到的情况 最值存在性定理 了解 利用导数求最值的方法步骤 掌握 正用 逆用 变用数形结合的思想 化归的思想 渗透 四 课堂小结 习题1