02轴向拉伸与压缩.ppt

1 第二章轴向拉伸与压缩 本章内容 1轴向拉伸与压缩的概念和实例2拉 压杆的内力3拉 压杆的应力4拉 压杆的变形5材料在拉伸时的力学性能6材料在压缩时的力学性能7拉 压杆的强度计算8应力集中概念9简单拉 压超静定问题 2 第一节引言 轴向拉伸和压缩是一种工程中常见的杆件的基本变形 例如 3 轴向拉伸与压缩的特点 受力特点 变形特点 承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆 外力合力的作用线与杆轴线重合 主要是沿轴线方向伸长或缩短 4 第二节轴力与轴力图 一 内力与截面法 内力 外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力 内力为作用于整个截面上的连续分布力 今后 内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力 或合力偶矩 或向截面形心简化所得到的主矢和主矩 5 第一步 沿截面假想地截开 留下一部分作为研究对象 弃去另一部分 求内力的方法 截面法 第二步 对留下部分进行受力分析 根据平衡原理确定 在暴露出来的截面上有哪些内力分量 第三步 建立平衡方程 求出未知内力 6 二 轴力与轴力图 下面运用截面法确定拉 压杆横截面上的内力 拉 压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合 故称为轴力 记作 规定 背向截面使杆件受拉伸的轴力为正 指向截面使杆件受压缩的轴力为负 轴力随横截面位置变化的图线称为轴力图 7 例2 1 试作出图示拉压杆的轴力图 解 1 分段计算轴力 2 绘制轴力图 轴力图的位置要与杆件位置对应 轴力图上正下负 8 解 1 求约束力 例2 2 立柱受力如图所示 已知 试作出其轴力图 9 2 分段计算轴力 3 作轴力图 10 例2 3 试作出图示拉压杆的轴力图 解 省略计算过程 直接作出轴力图如上图所示 11 第三节拉压杆的应力 一 应力的概念 应力是指截面上分布内力的集度 如图 为分布内力在k点的集度 称为k点的应力 12 通常 将应力p分解为沿截面法向和切向的两个分量 其中 法向应力分量称为正应力 记作 切向应力分量称为切应力 记作 在国际单位制中 应力的单位为Pa 常用单位MPa 有时用单位GPa 13 二 拉 压 杆横截面上的应力 观察拉 压 杆的变形 可以推断 拉压杆横截面上只存在均匀分布的正应力 FN 横截面上的轴力 A 横截面的面积 正应力 的正负号规定与轴力FN保持一致 即拉应力为正 压应力为负 14 例2 4 图示圆截面阶梯杆 已知轴向外力 AB段与BC段的直径分别为与 试计算该杆横截面上的最大正应力 解 1 作轴力图 2 计算正应力 AB段 拉 15 2 计算正应力 BC段 最大正应力 AB段 16 例2 5 图示三角支架 已知AB为直径的圆截面杆 AC为边长的正方形截面杆 试计算两杆横截面上的应力 解 1 计算两杆轴力 利用截面法 截取结点A为研究对象并作受力图 列平衡方程 17 解得 2 计算两杆应力 AB杆 18 2 计算两杆应力 AB杆 AC杆 19 二 拉 压 杆斜截面上的应力 斜截面的方位角 以x轴为始边 以外法线轴n为终边 逆时针转向的 角为正 反之为负 斜截面上的全应力 20 将p 沿斜截面的法向和切向分解 即得 斜截面上的正应力 切应力分别为 A 横截面的面积 横截面上的正应力 切应力的正负号规定 围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正 反之为负 21 结论 1 在横截面上 即当时 正应力最大 2 在45 斜截面上 切应力最大 3 即在任意两个相互垂直的斜截面上 切应力大小相等 转向相反 称为切应力互等定理 22 例2 6 图示压杆 已知轴向压力 横截面面积 试求m m斜截面上的正应力与切应力 解 横截面上的正应力 m m斜截面的方位角 23 代入公式即得 24 第四节拉压杆的变形 一 拉压杆的轴向变形与胡克定律 轴向变形 线应变 线应变反映了拉压杆的变形程度 具有可比性 25 胡克定律 E 弹性模量 由试验确定的材料常数 与应力具有同样量纲 常用单位GPa 胡克定律适用范围 1 杆内应力不大于材料的比例极限 即 2 单向拉压 26 由胡克定律得 拉压杆轴向变形 若轴力FN 横截面面积A或弹性模量E沿杆的轴线为分段常数 则拉压杆的总轴向变形为 若轴力FN 横截面面积A沿杆的轴线为连续常数 则拉压杆的总轴向变形为 27 例2 7 图示钢制阶梯杆 已知轴向载 AB段横截面面积 BC段和CD段横截面面积 三段杆的长度 钢材弹性模量 试求该阶梯杆的轴向变形 解 1 作轴力图 首先作出轴力图 如右图所示 28 2 分段计算轴向变形 29 3 计算总轴向变形 30 例2 8 试求图示等直杆因自重引起的伸长 已知杆的原长为l 横截面面积为A 材料的弹性模量为E 质量密度为 解 杆的重力可视为沿杆轴均布 其分布集度 由截面法 得x截面上的轴力 代入公式积分即得 31 例2 9 图示三角架 已知杆1用钢制成 弹性模量 长度 横截面积 杆2用硬铝制成 弹性模量 长度 横截面积 若载荷 试求结点A的位移 解 1 计算杆的轴力 截取结点A 作出受力图 由平衡方程得两杆轴力 32 2 计算杆的轴向变形 由胡克定律得两杆轴向变形 33 3 计算结点的位移 在小变形条件下 以切线代弧线 以直代曲 可得结点A的水平位移 竖直位移分别为 34 在小变形的条件下 在确定支座反力和内力时 一般可忽略杆件变形 按照结构的原始尺寸和位置来进行计算 在确定位移时 则可采用上述 以切线代弧线 以直代曲 的方法 这样 可使问题的分析计算大大简化 35 二 拉压杆的横向变形与泊松比 拉压杆的横向线应变 试验表明 当杆内应力不大于材料的比例极限时 拉压杆的横向线应变与轴向线应变成正比 即有 其中 为材料常数 称为横向变形因数或泊松比 泊松比 无量纲 36 例2 10 已知钢制螺栓内径 拧紧后测得在长度内的伸长 钢材的弹性模量 泊松比 试求螺栓的预紧力与螺栓的横向变形 解 拧紧后螺栓的轴向线应变 螺栓横截面上的应力 螺栓的预紧力 37 螺栓的横向应变 螺栓的横向变形 38 第五节材料在拉伸时的力学性能 一 拉伸试验与曲线 试验标准 GB228 87金属拉伸试验方法 标准拉伸试样 规定标距 或者 39 试验设备 液压式 电子式 40 二 低碳钢拉伸曲线 1 线弹性阶段 Oa段 性能特点 弹性变形 弹性变形 卸载后会消失的变形 应力与应变成正比 性能参数 比例极限 胡克定律适用范围 比例极限 弹性模量E就等于Oa直线段的斜率 41 2 屈服阶段 bc段 性能特点 塑性变形 塑性变形 卸载后不会消失的变形 屈服现象 性能参数 屈服极限 屈服极限 下屈服点的应力 发生屈服现象的最小应力 屈服现象 材料暂时丧失变形抗力 42 3 强化阶段 ce段 性能特点 弹塑性变形 强化现象 性能参数 强度极限 强度极限 最高点的应力 断裂前所能承受的最大应力 强化现象 材料恢复了变形抗力 43 4 缩颈阶段 ef段 缩颈现象 变形局部化 44 三 卸载规律与冷作硬化现象 冷作硬化现象 卸载规律 线性卸载 如图中直线段 材料预加塑性变形后重新加载 比例极限提高 塑性变形降低 45 四 材料的塑性指标 1 伸长率 l为标距原长 l1为试件拉断后标距长度 2 断面收缩率 A为原始横截面积 A1为试件拉断后断口处的最小横截面积 工程中通常将材料划分为两类 塑性材料 脆性材料 46 五 名义屈服极限 有些塑性材料不存在明显的屈服阶段 工程中通常以产生0 2 的塑性应变所对应的应力作为屈服强度指标 称为名义屈服极限或条件屈服极限 记作 47 六 铸铁拉伸时的力学性能 性能特点 铸铁拉伸 曲线 1 塑性变形很小 2 强度指标 强度极限 b 3 抗拉强度很低 4 弹性模量 割线弹性模量 48 第六节材料在压缩时的力学性能 试验标准 GB7314 87金属压缩试验方法 标准试件 短圆柱 高度与直径比一般为2 5 3 5 1 低碳钢压缩曲线 比例极限 p 屈服极限 s 弹性模量E与拉伸时大致相同 不存在强度极限 b 49 2 铸铁压缩曲线 抗压强度极限 bc明显高于抗拉强度极限 bt 约为3 4倍 断口方位角大致为 脆性材料适宜制作承压构件 50 第七节拉压杆的强度计算 一 极限应力 许用应力与安全因数 1 强度失效与极限应力 强度失效的两种形式 塑性材料为塑性屈服 脆性材料为脆性断裂 极限应力 材料强度失效时所对应的应力 记作 u 有 51 2 许用应力与安全因数 材料安全工作所容许承受的最大应力 记作 规定 许用应力 其中 n为大于1的因数 称为安全因数 对于塑性材料 压缩与拉伸的许用应力基本相同 无需区分 对于脆性材料 压缩与拉伸的许用应力差异很大 必须严格区分 52 二 拉压杆的强度条件 保证构件安全可靠工作 不发生强度失效的条件称为强度条件 拉压杆的强度条件 工程中规定 在强度计算中 如果杆件的实际工作应力 超出了材料的许用应力 但只要超出量 不大于许用应力 的5 仍然是容许的 53 三 强度计算的三种类型 根据强度条件 可以解决以下三类强度问题 1 校核强度 2 截面设计 3 确定许用载荷 54 例2 11 图示圆截面阶梯杆 已知所受轴向外力 杆的直径 材料为低碳钢 屈服极限 安全因数 试校核该阶梯杆的强度 解 1 作轴力图 作出杆的轴力图 2 强度校核 材料的许用应力 55 分段进行强度校核 AB段 因为 故AB段强度满足要求 BC段 故BC段强度足够 56 解 1 计算斜拉杆轴力 例2 12 如图 已知吊重 两侧对称斜拉杆由圆截面的钢杆制成 材料的许用应力 角为 试确定斜拉杆横截面的直径 截取吊环的上半部分 由平衡方程 得斜拉杆轴力 57 2 截面设计 根据拉压杆强度条件 解得 故取斜拉杆直径 58 解 1 计算两杆轴力 例2 13 如图 斜杆AB由两根的等边角钢构成 横杆AC由两根10号槽钢构成 许用应力 试确定其许用载荷 F 截取节点A 由平衡方程 得两杆轴力 59 2 确定许用载荷 查型钢表 得斜杆AB横截面积 横杆AC横截面积 由斜杆AB强度条件 得 60 由横杆AC强度条件 得 所以 该支架的许用载荷为 由斜杆AB强度条件 61 第八节应力集中概念 一 应力集中现象 由于构件截面形状或尺寸突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象称为应力集中 62 二 理论应力集中因数 定义 为理论应力集中因数 其中 max为应力集中处的最大应力 为同一截面上的名义平均应力 理论应力集中因数K愈大 构件的应力集中程度就愈大 构件的角愈尖 孔愈小 截面尺寸改变的愈急剧 应力集中的程度就愈大 63 三 应力集中对构件强度的影响 在静载荷作用下 应力集中对构件强度的影响与材料有关 对于塑性材料制成的构件 由于屈服现象 可以不考虑应力集中的影响 对于脆性材料制成的构件 则一般必须考虑应力集中的影响 但铸铁例外 在交变载荷作用下 无论是塑性材料还是脆性材料 应力集中都将成为构件破坏的根源 都必须考虑应力集中对构件强度的影响 64 第九节简单拉压超静定问题 简单的拉压超静定问题可以采用变形比较法求解 其一般步骤为 1 建立静力平衡方程 2 建立变形协调方程 在超静定结构中 由于受到多余约束的限制 杆件变形必须相互协调 满足一定的关系 表示超静定结构中杆件变形之间关系的方程称为变形协调方程 3 建立补充方程 由物理方程和变形协调方程 建立补充方程 4 求解未知量 联立方程 求解未知量 65 例2 14 如图 等截面直杆两端固定 在截面处受一轴向外力F的作用 设其拉压刚度EA为常数 试作出其轴力图 解 1 建立平衡方程 解除AB杆约束 作受力图 其平衡方程为 这是一次超静定问题 需要有一个补充方程才能获解 66 2 建立变形协调方程 因两端固定约束的限制 变形后杆件的总长保持不变 即有变形协调方程 3 建立补充方程 根据胡克定律 代入变形协调方程 得补充方程 67 4 求解未知力 联立补充方程与平衡方程 求得未知约束力 作出图示轴力图 68 例2 15 图示结构 已知杆EC HD的拉压刚度分别为E1A1 E2A2 横梁AB是刚性的 试求载荷F引起的EC HD两杆的轴力 解 1 建立平衡方程 作出横梁AB的受力图 建立求解两杆轴力的有效平衡方程 69 2 建立变形协调方程 由结构的变形图 得变形协调方程 3 建立补充方程 利用胡克定律 由变形协调方程即得补充方程 4 解方程 计算轴力 联立补充方程与平衡方程 求得 70 EC杆轴力 HD杆轴力 对于超静定结构 内力与杆的刚度有关 杆的刚度愈大 其内力就愈大 71 例2 16 图示阶梯钢杆 在温度为时 两端固定在绝对刚硬的墙壁上 已知AC CB两段杆的横截面积分别为 钢材的弹性模量 线膨胀系数 试求当温度升高至时 杆内的最大正应力 解 1 建立平衡方程 作出杆受力图 有平衡方程 2 建立变形协调方程 杆件总长维持不变 有变形协调方程 72 式中 为两端约束力引起的轴向变形 为温度升高引起的轴向伸长 3 建立补充方程 由胡克定律 根据线膨胀系数的定义 代入变形协调方程 得补充方程 73 4 解方程 计算应力 解方程 得 杆内的最大正应力位于CB段的横截面上 为 对于超静定结构 由于多余约束的存在 当温度变化时 杆件不能自由伸缩 将在杆内引起应力 这种因温度变化而产生的应力称为温度应力 74 例2