初中数学数学名师弗罗贝尼乌斯.docx

弗罗贝尼乌斯弗罗贝尼乌斯，FG(Frobenius，Ferdinand Georg)1819年10月26日生于德国柏林；1917年8月3日卒于柏林州夏洛滕堡(Charlottenburg)数学弗罗贝尼乌斯的父亲CF弗罗贝尼乌斯是一位教区牧师，母亲名叫伊丽莎白(Elisabeth)，姓弗里德里希(Friedrich)弗罗贝尼乌斯的青少年时代正值德国资产阶级力量快速增长，经济迅猛发展，从农业国变成工业国的时期，这种经济的持续繁荣为1871年德意志的民族统一打下了基础社会的巨大变化要求教育体制与之相适应但弗罗贝尼乌斯是在传统体制下接受早期教育的他先就读于柏林的约阿希姆斯塔尔(Joachimthal)文科中学(Gymnasium)，那是大学的预备学校自1834年后，只有通过文科中学的毕业考试这条渠道，青年才能进入大学继续深造文科中学垄断毕业考试的状况直至20世纪初才告结束弗罗贝尼鸟斯在文科中学打下古典语文、历史、人文学科及数学、自然科学等各门知识的良好基础后，1867年进入格丁根大学，开始他的数学学习当时德国大学中没有数学系，数学是哲学院中的一个专业，有哲学博士学位，而没有单独的数学博士学位1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位这一年的下半年，他任教于母校约阿希姆斯塔尔文科中学，次年转入一所实科学校(Re-alschule)执教在这种学校里，数学和自然科学成为教学中的重要组成部分，这是德国中等教育由单轨制学校转变成双轨制学校的体现现在Realschu1e成为Mittleschule(中学)的同义词当时，随着世界科学中心的转移，数学研究中心也由法国移至德国除1825年创刊的纯粹与应用数学杂志(Journal fr diefeine und angenandte Mathematik)外， 1869年又创刊发行了数学年鉴(Mathematische Annalen)70年代，虽然格丁根继CF高斯(Gauss)、PGL狄利克雷(Dirichlet)和GFB黎曼(Riemann)之后处于相对低潮，但柏林却由于EE库默尔(Kummer)、KTW魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、L克罗内克(Kronecker)等人而比较繁荣处于这样一种良好的研究氛围中，弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文1874年，他被聘为柏林大学副教授，第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校(Eidgeen ssische Polytechnikum)教授1876年，弗罗贝尼乌斯与A莱曼(Lehmann)结婚1870年左右，群论成为数学研究的主流之一弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和克罗内克的影响，对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究，发表了多篇有价值的论文1892年，他重返柏林大学任数学教授1893年当选为柏林普鲁士科学院院士弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I舒尔(Schur)的合作最为成功舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷弗罗贝尼乌斯在函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生IL富克斯(Fiuchs)开创的1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被OL赫尔德(H 1der)推广，成为(H，r)求和法弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及 伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要19世纪末20世纪初，受JWR戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分有限群的表示理论作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论其核心是群特征标理论弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”( ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”( ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”( ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”( ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”( ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”( ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态TGGLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的dd矩阵群，d 还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和TGGLd(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d， X=T(g)特别地，对gG，矩阵r(g)和r(g)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，gG的迹为表示的特征这个定义比较简单，成为今天的标准定义在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价可见研究有限群的特征有重要意义群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上在“群与其子群特征之间的关系”( ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：g(g)=他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若与分别是G与H的不可约表示，则在H(即限制到H上)的完全分解中出现的重数等于在诱导表示g要工具弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法他的有限阶群论(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”20世纪20年代，AE诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展后来，RD布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分