初中数学数学名师笛卡儿.docx

笛卡儿笛卡儿，R(Descartes，Ren)1596年3月31日生于法国图赖讷省拉艾镇(现名拉艾-笛卡儿镇)；1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩科学方法、自然哲学、数学、物理学、生理学笛卡儿的父亲若阿基姆笛卡儿(Joachim Descartes)是布列塔尼省伦诺地方法院的评议员，按现代术语讲，他既是律师又是法官当时涉及法律事务的职位在很大程度上是世袭的；从事这一职业的人在社会上有相当的独立性和一定的特权，属于所谓的穿袍贵族阶层，其地位介于贵族和资产者之间其母让娜布罗沙尔(Jeanne Brochard)出身同一社会阶层，1597年去世，给笛卡儿留下一笔遗产，使他在此后的一生中有了可靠的经济保障，得以从事自己喜爱的工作有关笛卡儿早年生活的资料很少，只知他幼年体弱，丧母后由一位保姆照料；他对周围的世界充满好奇心，因此父亲说他是“小哲学家”8岁(1604年)时入拉弗里舍镇的耶稣会学校读书，校方出于对他健康的关心，特许他不受校规约束，早晨可躺到愿意去上课时为止据说他因此养成了清晨卧床长时间静思的习惯，几乎终生不变该校的教学大纲规定，学生在前五年学习人文学科(即拉丁语、希腊语和经典作家的作品)、法语(包括写作诗歌与散文)、音乐、表演和绅士必备的技艺骑马和击剑后三年课程的总称是哲学，包括逻辑学(亚里士多德(Aristotle)的三段论演绎法)、一般哲学(对亚里士多德的尼寇马克(Nach)的伦理学的详尽分析)、物理、数学、天文学及形而上学(指托马斯阿奎那(Thomas Aquinas)的哲学和天主教学者对此所作的注释)在涉及科学的课程中，只有数学和天文学含有较新的研究成果笛卡儿曾对诗歌怀有浓厚的兴趣，认为“诗是激情和想象力的产物”，人们心中知识的种子犹如埋在燧石中，哲学家“通过推理”使之显露，“而诗人靠想象力令其迸发火花，因而更加光辉”(见于他的早期著作奥林匹克)笛卡儿后来回忆说，这所学校是“欧洲最著名的学校之一”，但他对所学的东西颇感失望，因为教科书中那些看来微妙的论证，其实不过是些模棱两可甚至前后矛盾的理论，只能使他顿生怀疑而无从得到确凿的知识，唯一给他安慰的是具有自明推理的数学这所学校对笛卡儿的另一个影响是使他养成了对宗教的忠诚他在结束学业时暗下决心：一是不再在书本的字里行间求学问，而要向“世界这本大书”讨教，以“获得经验”；二是要靠对自身之内的理性的探索来区别真理和谬误1612年他从拉弗里舍的学校毕业；1616年获普互捷大学的法律学位此后，笛卡儿便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路当时正值欧洲历史上第一次大规模的国际战争30年战争时期(16181648)，他从1618年起开始了长达10年的漫游与军旅生活他曾多次从军，在一些参战的王公贵族麾下听命他从戎的目的主要是为了弥补学校教育的不足，并无明显的宗教或政治倾向他1618年参加了信奉新教的奥伦治王子的军队，一年半后又到对立的信奉天主教的巴伐利亚公爵手下服务笛卡儿自己评论这段生活的用词是“太空闲，太放荡”看来，他不大可能实地参战，因而有足够的时间思考在这期间有几次经历对他产生了重要影响1618年他与荷兰哲学家、医生兼物理学家I皮克曼(Beeckman)相识；据说因笛卡儿在短时间内独立解决了几道公开求答的数学难题而引起皮克曼对他的注意他向笛卡儿介绍了数学的最新进展，包括法国数学家F韦达(Vite)在代数方程论方面的工作；给了他许多有待研究的问题，特别是有关声学与力学的课题与皮克曼的交往，使笛卡儿对自己的数学与科学能力有了较充分的认识，他开始认真探寻是否存在一种类似于数学的、具有普遍适用性的方法，以期获取真正的知识1619年3月26日，他在给皮克曼的信中说，他脑中第一次闪现出“一种全新的科学，它可能用一种一般化的方法解决所有与量有关的领域中的问题，不论这种量是连续的还是数值的”笛卡儿在1637年出版的方法论中，描述了他在1619年11月10日经过独立思考得出的两个结论：第一，如果要发现真正的知识，必须靠自己去实行整个研究计划，正如一件上好的艺术品或一幢完美的建筑，总是出自一个能人之手；第二，在方法上，必须从怀疑当时的哲学的所有内容为出发点，并寻找自明的确定的原理，在此基础上重新构作出一切科学据笛卡儿的第一位传记作家、17世纪的A巴耶(Baillet)说，那天笛卡儿“充满激情”，当晚做了三个梦，增强了他创立新学说的信心：在第一个梦中，笛卡儿由于右脚无力而被一阵狂风吹得立足不稳；第二个梦境是他被刮到一间风力不能施威的屋内被一声霹雳唤醒，周围充满火花；第三个梦里，他先是拿着字典，后在一本书中读到“我将追求什么样的生活道路？”这样的字句，最后，一位陌生人给了他几首拉丁文诗句，他认出那是奥索尼乌斯(Ausonius)的两首诗的开头几句据称笛卡儿醒来之前已圆了梦，第一梦提醒他过去的错误，第二梦表示真理降临其身，第三梦为他开辟了通向真正的知识的道路梦后笛卡儿为感谢上苍，立愿去洛雷塔朝拜圣母像(1624年他如愿以偿)有些学者把这一天定为解析几何的诞生日16261628年间，笛卡儿居留法国，结交了许多科学界的朋友，深受M梅森(Mersenne)神父和贝吕勒主教(Cardinal deBrulle)的影响梅森神父博学多才，他所在的修道院是当时科学家们聚会之所，又是探讨科学问题的信件的传递中心梅森把笛卡儿的科学思想与著作介绍出去，并收集各地学者的反映与批评转告给他，成为笛卡儿最忠实的朋友和顾问贝吕勒是位颇有影响力的主教据巴耶说，笛卡儿在一次有主教参加的聚会上，用简明的类似于数学证明的方法，严格区分真正的科学知识和那些仅仅为可能成立的命题，从而驳倒一位与会者的“一种新哲学”贝吕勒深有感触，专门召见笛卡儿，以上帝代表的身份劝导他应献身于一项神圣的事业，即用他的充分而完美的方法去研究医学和力学为顺应天意，笛卡儿决定避开战争、远离社交活动频繁的城市，寻找一处适于研究的环境1628年秋，他移居荷兰，开始长达20年的潜心研究和写作生涯，这期间除短期出访外一直在荷兰各地隐居16281630年间，他撰写了第一篇方法论的论文：指导思维的法则(未最终完稿，1701年刊于他的选集中)；16301633年间，他从事多个学科的研究，涉及光的本质、折射现象、物质的性质与结构、数学、生理学与解剖学他的目标在于用他的方法建立一个包罗万象的知识框架，为此他准备出版一本定名为世界体系(Le monde)的书，计划写“论光”(Le lumise)和“论人”(Lho mme)两部分1633年初稿即将完成之际，梅森写信告诉他 G伽里略(Galilei)因宣传N哥白尼(Copernicus)的学说而遭天主教宗教裁判所的审判；笛卡儿遂取消了出版该书的打算，因为书中显然含有哥白尼的观点，他甚至未按惯例把手稿全部寄给梅森其实笛卡儿并没有放弃自己的基本主张，其后三年中，他专心论证他的新方法具有坚实的哲学基础，相信自己的形而上学原理最终能被神学家所接受1637年，笛卡儿发表了方法论(Discoursde la mthode)这部著作一反当时学术界的常规，用法文而不用拉丁文撰写，以便普通人也能阅读该书正文占全书篇幅的约七分之一，包含了未发表的世界体系中的重要内容，简要阐述了他的机械论的哲学观和基本研究方法，以及他的经历书的其余部分给出了三个应用实例，现一般称为三个“附录”，它们都可独立成篇，是笛卡儿最主要的科学论著它们是折光(La dioptrique)，其中提出了折射定律；气象(Les mtores)，用于阐释与天气有关的自然现象，提出了虹的形成原理；几何学(La gometrie)，用于清晰地表明他的方法的实质，包含了解析几何的基本思想这部著作的出版引起了一些学者(包括费马)和他的争论16381640年间，笛卡儿进一步探究其学说的哲学方面，用拉丁文撰写了形而上学的沉思(meditationes de prima philosophia)，其论点大体在方法论中出现过，只是有的观点更激烈梅森收集到不少对该书的批评(包括来自英国哲学家T霍布斯(Hobbes)和法国数学家兼哲学家P伽桑逖(Gassendi)的)1640年，笛卡儿正式发表此书，并加进了各种批评意见和他的简要的辩驳这本书使笛卡儿作为哲学家的名声大震，也招致了涉及宗教的纷争他被谴责为无神论者；地方行政当局甚至要传讯他后经有势力的朋友斡旋，才使事态平息其后九年间，笛卡儿试图把他的哲学与科学理论完善化、系统化，以期获得神学界的支持1644年，他的哲学原理(Principiae philosophiae)问世，该书除重述其哲学信条外，还试图把一切自然现象(包括物理的、化学的和生理的)纳入一种符合逻辑的机械论模式其历史功绩在于排除科学中的神学概念和目的论解释他的研究纲领是用力学概念解释一切物理和生理现象，同时将力学与几何相联系，这种借助某种力学模型研究自然的方式，体现了现代科学的精神但由于机械论的局限，书中的具体结论不少是错误的，或者很快就过时了笛卡儿的哲学原理题献给伊丽沙白公主信奉新教的波希米亚国王腓特烈五世的女儿他们在1643年相识后成了好友，经常通信，内容涉及从几何到政治学，从医学到形而上学的广阔领域，特别谈到人的机体与灵魂的相互作用问题以及笛卡儿的一种并不系统但已初具轮廓的伦理学观点这些通信的价值不亚于笛卡儿跟梅森神父，以及跟法国神学家A阿尔诺(Arnauld)之间的通信1649年，笛卡儿出版了一本小书激情论(Trait despassions de l me)，探讨属于心理生理学的问题，他认为这是他的整个知识体系中不可或缺的部分同年秋天，笛卡儿很不情愿地接受了23岁的瑞典女皇克里斯蒂娜(Christina)的邀请，到斯德哥尔摩为女皇讲授哲学晨思的习惯被打破了，每周中有三天他必须在清晨五点赶往皇宫去履行教师的职责1650年2月1日，他受了风寒，很快转为肺炎，10天后便离开了人世他的著作在生前就遭 到教会指责，他死后的1663年，更被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中但是，他的思想的传播并未因此而受阻，笛卡儿成为17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一笛卡儿是欧洲近代哲学的主要开拓者之一，黑格尔称他是“现代哲学之父”；同时又是一位勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域有值得称道的创见，而其建立解析几何的数学成就在科学史上有划时代的意义其主要学术贡献可归纳如下方法论 1617世纪欧洲社会中新旧思想的对立和斗争十分尖锐科学领域不断涌现的新发现和新理论，成为新兴阶级向旧秩序斗争的武器哥白尼的“日心说”世界体系，J开普勒(Kepler)的行星运动理论和实验光学，W吉尔伯特(Gilbert)的磁力说，A维萨里(Vesalius)的人体解剖学，W哈维(Harvey)的血液循环学说，伽里略的力学是各专门学科领域中最杰出的成就而F培根(Bacon)和笛卡儿则是提出科学方法论的两位代表人物培根稍早于笛卡儿提出必须从根本上 除经院哲学的旧传统，要对整个认识体系重新加以研究；他主张把科学建立在实验的基础上笛卡儿赞同培根彻底破除旧哲学体系的观念，但强调以理性为主导的认识自然的方法笛卡儿的方法论跟他的哲学研究紧密相联他把哲学看成一种完整的知识体系，并形象地比喻成一棵大树：树的干是物理学，研究客观物质世界的形成与本质，属于自然哲学的范畴；树的根是形而上学，研究心智(或者说灵魂)、上帝及作为一切推理的出发点的所谓“第一原理”；树的枝叉代表其它科学，最重要的有医学、机械学(即力学)和伦理学笛卡儿认为“我们不是从树根、树干而是从其枝叉上采集果实的”，因此哲学的最终目的在于对具体科学的了解，从而使人类成为“自然的主人”笛卡儿在对他的哲学的各个组成部分的探索中，发展起他的方法论体系笛卡儿指出当时流行的经院哲学及其所属的知识体系有致命的弊病：它们的结论往往是推测性的，既不清晰又缺乏统一性；造成这种状况的根源有二：所使用的概念模糊，缺少普遍适用的统一的研究方法为了从根本上给科学奠定牢固的基础，笛卡儿提出一种批判的怀疑方法他在方法论中写道：“在我的一生中，必须有一次严肃地把我以前接受到心里的一切见解统统去掉，重新开始从根本做起”他论证说经院中的科学和书本上的学问往往互相冲突，纷乱而无根据，它们只是靠经院的权威和影响强施于人的；由习惯形成的见解往往始于初次的印象或儿时的信仰，虚妄可疑之处比比皆是；由感官获得的印象常常用假象欺骗人们；人的肌体本身的活动同样可能在梦中经历，因此无法准确判定某个对象是梦中幻影还是醒时的经验所得笛卡儿的怀疑终止于“我思故我在”这一著名的命题：“当我把一切事物都想成是虚假的时候，这个进行思维的自我必然非是某种东西不可；我认识到我思故我在这条原理十分牢靠、十分确实，怀疑论者的所有最狂妄的假定都无法把它推翻于是，我断定我能毫不犹豫地承认它是我所探求的哲学中的第一原理”以此为出发点，笛卡儿使用诸如“结论中所含的完善性决不能多于原因中所含的完善性”等属于经院哲学范畴的准则，推证出完善的上帝的存在；再通过上帝这一媒介，推出物质世界是不依赖“自我”的客观存在笛卡儿认为“自我”是一种精神实体，其基本特性是能思维，但无广延性，不占据空间；外在客观世界(包括人的肉体)是一种物质实体，具广延性而无思维功能此即笛卡儿二元论哲学的精髓笛卡儿的怀疑方法只施于知识领域而不触及社会问题，他为自己规定了服从法律，笃守宗教信仰及遵照明哲之士共同接受的意见办事等行为准则，理由是“除了我的思想，没有一件东西完全在我的能力范围之内”，同时也为了“能够尽可能地过最幸福的生活”笛卡儿的怀疑方法具有很强的主观主义特征，把“自我”这种精神实体的确实性(或者说存在性)放在物质的确实性之前但正是由于他突出强调了“自我”这种具有理性思维特质的本体在认识中的作用，对后世哲学家注重认识论的研究有极大的影响在建立自己的知识体系时，笛卡儿提出了以数学为楷模的理性演绎方法他认为人们能完全弄清楚的东西，“即便是形体，真正说来也不是为感官或想象力所认识，而只是为理智所认识；它们之被认识，并不是由于被看见或摸到了，而只是由于被思想所理解或了解了”(形而上学的沉思)在研究各门科学时，无例外地要使用所有人共有的同一种理性，这是存在普遍适用的方法的基础问题在于如何运用理性，只要能找到并应用能正确指导理性思维的方法，就必然能创立一门协调统一的科学他强调数学所展示的由最少的极清晰的概念，经确定的推理得到大量确凿结论的方法，同样可以在其它科学中实行他的这一观念推翻了自亚里士多德以来否认在数学以外的科学中能得到如数学一样的确实性的观念在方法论中，他提出四条推理准则：“一、决不把任何我没有明确地认识其为真的东西当作真的加以接受，即小心避免仓促的判断和偏见，只把那些十分清楚明白地呈现于我的心智之前，使我根本无法怀疑的东西放进我的判断之中；二、把我所考察的每一个难题，都尽可能地分成细小的部分，直到可以而且适于加以圆满解决的程度为止；三、按照次序引导我的思想，以便从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点上升到对复杂对象的认识，即便是那些彼此间并无自然的先后次序的对象，我也给它们设定一个次序；四、在探求和审视过程中遇到困难时，应尽量把一切情形都列举出来，使我确信毫无遗漏”按笛卡儿的理想，任何具体问题的解答都应从完全确实的概念出发演绎而得但是在他从事具体的科学研究时，笛卡儿承认了两种推理模式的合法性，一种是众所周知的几何式的证明，另一种是在力学、光学和天文学中使用的论证在回答关于他讨论折射问题的文章是否不失为一种证明时，他写道：“要求我对依赖于客观世界的事作几何的论证，等于要求我做不能做到的事如果限制我使用证明这个词仅指几何证明，那么人们将不得不说阿基米德(Archimedes)没有证明任何力学问题，威特洛(Vitellio)没有证明任何光学问题，托勒密(Ptolemy)没有证明天文学问题等等，这当然不是大家所主张的”这种非几何论证的特点是“事先假定某些东西，它们跟经验没有明显的矛盾，作者就可以进行前后一致的论证而不犯逻辑错误，即使他们的假设不是绝对真实的”这里，笛卡儿实际上提出了用假设模型作系统研究的设想他本人在对宇宙及人的研究中就采用了这种方法为了给这种方法确立理论依据，他提出人造物体和自然界的事物具有同一性笛卡儿在哲学原理中写道：“机械学中成立的法则肯定在自然界也成立，(所有人造的东西同时也是自然的)：由这样或那样一些齿轮构作的时钟并不比一棵树(它是从这一颗或那一颗种子生长出来结出特殊果实的东西)更少自然的成份”由此他确认：正象可以根据所见的某种机器或其一部分推论出如何制造未见过的机器或其一部分，他能从自然事物的可见的部分或结果出发，推断出未见到的部分或原因他的这一观念跟当时流行的亚里士多德的看法相悖，后者认为自然之物(无论是有生命还是无生命)跟人造物是绝对不同质的实验方法在笛卡儿的以理性判断为最高准则的认识论体系中占有重要地位他用许多年时间研究解剖学，对狗、猫、兔子、鳕鱼、鳍鱼作活体解剖，又从屠宰场搞来牲畜的眼、肝和心脏进行研究；他描述过关于测量空气重量及振动弦的实验；他记述了对虹、霓以及其它光学现象的观察他把许多实践活动和经验知识收进他的科学体系对于实验方法的意义，他认为“自然的力量如此广大”，作为推理出发点的“原则又如此简单和一般，以至我很难观察到一种特殊结果，它不能直接由那些原则以几种不同的方式推断出来”，“我最大的困难在于去找出该结果倒底依哪一种方式依赖于那些原则”(方法论)他的结论是，实验能帮他方便地作出选择在哲学原理的序言中，笛卡儿不无遗憾地写道：“假如我能做一切必要的实验来论证和支持我的理论，我一定会努力去完成整个计划，不过，做这些事费用浩大，若无公家资助，以我个人的家产实在难以实现，我想我因而未能为后人的切身利益效力，他们是会原谅我的”笛卡儿对经由他的方法得到的知识的真理性建立了一条基本准则，他说“凡是我们极清楚、极明白地设想到的东西都是真的”，而且“只要严格地把我的意志限制在我的认识限度以内，使它只对理智向他清楚明白地提出的东西作判断，我就绝不会犯错误”另一方面，在具体的科学领域，他也把理论的应用过程作为检验该理论真理性的一种途径他说在他的折光、气象中，一开始就提出若干假设，这不会使他的证明失效而丧失真理，因为推理过程前后紧密交织在一起，前面的东西也被作为其结果的后面的东西所论证，而“经验对绝大多数这类结果作出非常肯定的判决”自然哲学 笛卡儿应用他的方法研究自然界，建立了宇宙万物形成和运行的机械模式，提出了对空间与物质的基本特性的看法，冲破了经院哲学宇宙观的完全神秘的观念的羁绊他认为就物质实体的本质属性而言，我们能清楚明白理解的只有广延性，即物体得以占据空间的性质；这种广延性体现在物体的形态、体积和运动中同时，我们也能清楚地理会形态、体积和运动三者发生变化的原理和规则，“人类的自然知识，皆由这些根源而来”笛卡儿自始至终运用的原理仅涉及空间和运动两类在笛卡儿眼里，自然界中的所有物体都是同质的，每一具体事物保有各自恒定的广延量，它不会因形态或运动状态的改变而变化同一物体的体积从广延的角度看既不会膨胀也不会缩小，我们通常所见到的物体膨胀或收缩，只是组成物体的可分的具广延性的各部分之间的距离加大或缩小造成的宇宙间的任何一部分空间，对由什么东西来占据它不起任何作用，它对占据者及其接替者是绝对“中立”的在笛卡儿的体系中，空间与物质等同，因此不存在纯粹的真空接着，笛卡儿试图用机械运动这一简单运动形式来解释世间千变万化的物体的共性与个性为了给运动以无限的活动舞台，他假定物质(即空间)的无限可分性，否定了物质由不可再分的原子组成的观念由于笛卡儿没有假定运动是物质本身的属性，所以必须借助上帝的力量他认为上帝在创世时一次把运动赋予了物质，同时确定了“自然规律”；以后自然界在这些规律支配下便永恒地运动下去，宇宙间的运动总量也永远不再改变关于什么是运动，笛卡儿定义说：“运动是指物体的位移，从当时跟它直接相触的物体旁转移到当时不直接与它接触的物体旁”他又认定一个物体在某一瞬间的位置应是相对于同一时刻另一个被认为是静止的物体而言的，所以运动和静止都是相对的概念根据上述空间与运动的性质，一个物体的运动必然引起一连串物体的运动，它们形成一个封闭的环路据此，笛卡儿描述了宇宙形成的主要轮廓太初时期，弥漫整个空间的原始物质必呈庞大的旋涡状运动形式，其中有的原始物质因摩擦逐渐成粉尘状的火，形成太阳和恒星；有的磨损成小球状，成为气或以太，是构成星际空间的原料；在宇宙形成过程中，环绕每一物质团有次一级的旋涡状流，如月球就在地球周围的旋流中运行在旋涡中，重的物质向旋涡中心靠拢，轻的物质朝边缘散开，笛卡儿的旋涡理论盛行将近一个世纪，直到1牛顿(Newton)的宇宙模型取而代之才消声匿迹笛卡儿还提出了三条运动定律1物体的运动或静止状态的改变需要有原因，如不发生跟另一物体的接触而受到作用，原物体的状态保持不变；2运动的基本形态是直线运动，作曲线运动需要在原来使物体作直线运动的原因之外持续附加另外的原因这两条定律合起来，相当于40年后牛顿得到的运动的惯性定律3碰撞定律“一个运动物体碰上另一物体，如它沿直线继续运动的量小于另一物体阻止它前进的量，则它并不损失运动，而只是改变运动方向；如果前者使另一物体运动的量大于后者阻止它前进的量，则它要失去一些运动，失去的正好等于它给予另一物体的”由于笛卡儿拒绝引入他认为是超自然的质量概念，而在实际上用体积代替了质量，使他无法研究物体的动力学性质他甚至错误地坚持，一个硬物撞上另一个体积比它大的静止物体时，将被反弹回去而不损失任何运动这是导致他的具体的力学研究成果甚微的原因笛卡儿在研究自然界中的有生命物时，全部采用解释无生命物体时使用的原理，把它们看成是自然界中的机器，如蜘蛛只是一种自然的织机，鼹鼠则是一种自动挖掘机，只不过它们的活动比人造的机器更复杂更多样罢了对于人，笛卡儿认为这是一种精神与物质的联合体：即由具广延性而无思想的肉体(包括脑)和有思想而无广延的“自我”(居住在脑中松果腺内)结合而成，它们之间的相互关系成为笛卡儿生理学的研究对象但就肉体而言，它只是一部受机械运动原理支配的机器笛卡儿的机械论自然观在历史上起过重要的启蒙作用在他生活的时代，流行的自然观把自然界的事物看成是异质的，它们分成各种等级，处于宇宙边缘的上帝是至高无上的，接着是位于天上的各种等级的天神天使，下面是地上的各种不同等级的人、动物、植物和矿物笛卡儿强调无机界与有机界的同质性，为破除关于自然界的等级观念，客观地研究自然奠定了基础另一方面，中世纪的人们普遍认为上帝参与宇宙每日每时的活动，派各级天使推动天体运行，随时观察并指导地球上的一切事件，极大阻碍了去科学地了解自然笛卡儿明确地、一贯地坚持自然界在整体上由规律所支配，因而推动了真正的自然科学研究数学 笛卡儿的数学成就与他的数学观有密切联系他对数学的看法散见于他的哲学与方法论著作，而其主要数学成果则集中于几何学笛卡儿认为，希腊人的综合几何只研究一些非常抽象而看来无用的问题；它过于依赖图形，束缚了人的想象力；它虽给出了大量真理，但并未告诉人们“事情为什么会是这样的，也没说明这些真理是如何发现的”对于当时流行的代数，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学他对三段论逻辑的评价是它不能产生任何新的结果因此，他在方法论中提出必须把逻辑、几何、代数三者的优点结合起来而丢弃它们各自的缺点，从而建立一种“真正的数学”，“普遍的数学”他发现在帕普斯(Pappus)和丢番图(Diophantus)的著作中有这种数学的踪迹笛卡儿明确指出数学应研究“一切事物的次序和度量性质”，不管它们是“来自数、图形、星辰、声音或其它任何涉及度量的事物”，因而在实际上提出了科学数学化的任务关于具体数学对象的本质，笛卡儿接近柏拉图(Plato)的观点以三角形为例，他说：“我想象一个三角形的时候，虽然在我以外的世界的任何地方也许没有这样一种形态，甚至从来没有过，但是这种形态毕竟具有明确的本性、形式或本质，这种本性是不变的、永恒的，不是我捏造的，而且不以任何方式依赖我的心灵”，三角形的性质如三内角和等于两直角等是“如此清楚，因此不会是纯粹的虚无，而具有真实性”笛卡儿的具体数学研究，首先着力于寻求有普遍适用性的符号推理形式韦达在笛卡儿之前引入了符号化的代数，并应用代数方法解几何问题但他的符号代表的只是数；同时，为了保持方程中各项的几何意义，他书写的方程必须是齐次的笛卡儿引进了本质上可代表任何一种量的符号体系在几何学中，他用字母表中的小写字母a，b，c等代表已知量；x，y，z等代表未知量，这种用法一直延续至今为了使代数方法在几何中顺利应用，他设计了一种办法最终取消了要求方程必须是齐次的限制他用数字上标代替过去数学家们使用的“平方”、“立方”这些词语表达法他认为这样做避免了“平方”、“立方”这些词语在维数方面的内涵给运算带来的困难：因为在几何中，平方这个词指面积，立方指体积，它们跟直线有质的不同；而对于一个量而言，其平方或立方跟该量本身并无质的区别他先引进所谓的单位量和比例式1x=xx2=x2x3= ，他说在这个式子中，x只通过一个“关系”(指比)跟单位量联系在一起，x2则要通过两个“关系”与单位量发生关系，其余依此类推因此数字上标仅表示跟单位量联系所需的“关系”的数目，而不再具有维数方面的意义据此，他毫不犹豫地把算术语言引进几何，定义了直线段的加、减、乘、除、乘方和开方以线段相乘为例对于两根线段a，b的积，过去的数学家只把它理解为以a和b为边的矩形；而笛卡儿可用“关系”概念把ab仍看成一个线段：选定一单位长，其它的长度可以此为参照画出，据1a=bab，立即可作出两个相似三角形而得到ab的长度(图1)在几何学的第一部分中，笛卡儿利用上述观念解答“仅需直线和圆的作图问题”办法是先假定解已得到，并赋予作图时所用到的每一条线段一个符号(不论它们是已知的还是未知的)；然后不区分已知与未知线段，“用最自然的方法表出这些线段间的关系，直到能找出两种方式表达同一个量，这便得到一个方程”在导出方程解的表达式后，再用几何办法画出解所对应的线段这部分内容在韦达及其他一些学者的工作中已出现过，只是笛卡儿用的符号和他的观念更先进笛卡儿在几何学的第二部分中，用“不确定的”代数方程表示并研究几何曲线这是他于16311632年间研究三线和四线帕普斯问题时形成的重要方法四线帕普斯问题可简述如下：设给定四条直线AB，AD，EF和GH，要求找出满足下列条件的点C的轨迹：从C引与四条已知直线成给定交角(四个交角不一定要相等)的直线CB，CD，CF和CH，使得CBCF=CDCH(见图2)笛卡儿的解法包含了解析几何的主要思想他假定C点已找到，并令AB为x，CB为y；经过对各线段间几何关系的分析，用已知量表出CD，CF和CH，代入CBCF=CDCH，就得到形如y2=Ay+Bxy+Cx+Dx2的方程，其中系数是由已知量组成的简单代数式，于是，任给一个x的值，可用直线和圆规画出对应的y当x变化时，相应直线段y的端点C就画出一条曲线笛卡儿在这个问题中为确定C点位置，选直线AB为基线(相当于一根坐标轴)，取点A为度量线段长的起点(相当于坐标原点)，x的值是从A沿基线量出的线段长，y值表示另一根线段的长，该线段从基线上出发与基线成给定的交角(相当于另一坐标轴)，具体位置随x的改变而平移这是一种斜角坐标系在几何学中，笛卡儿根据问题特点选用他的轴系，但没有出现过标准的现称笛卡儿坐标的直角坐标系笛卡儿顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系的选取应使曲线对应的方程尽量简单；定义几何曲线为那些可用x和y的有限次代数方程表出的曲线；据代数方程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方法等笛卡儿的这些成就为牛顿、GW莱布尼茨(Leibniz)等一大批数学家的新发现开辟了道路笛卡儿对方程的纯代数理论也有重要贡献在几何学的第三部分中，他把方程中所有的项移至等号的一侧，另一侧则为0相当于把方程记作P(x)=0的形式他经由归纳得出如下结论：每一个n次方程皆可表成(x-a)(x-b)(x-s)=0，其中a，b，s是方程的根，由于每个根必出现在其中的某个二项式因子中，为使x的最高次幂为n，就要求有n个这样的因子，笛卡儿在这里相当于提出并直观论证了代数基本定理n次方程有n个根(A吉拉尔(Girard)首先于1629年叙述过该定理)他还首次给出了一般形式的求代数方程正根和负根个数的法则(现称笛卡儿符号法则)在一系列的例子中，他说明如何能改变一个方程的根的符号，怎样使方程增根或减根，并给出消去n次方程中xn-1项的方法笛卡儿的数学观也造成了他在具体研究中消极的一面他坚持亚里士多德关于“直”和“曲”有本质区别的观念，因而拒绝任何求曲线长度的探索，认为费马的极大极小方法和切线法则违反了严格的演绎推理的要求物理学 1617世纪物理学的发展主要集中于力学、光学、磁学等领域，笛卡儿重点涉足光学与力学研究笛卡儿的光学理论与应用主要见于论光、方法论及其三个附录中他在1619年读了开普勒的光学著作后，一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射律以及磨制透镜的研究他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分笛卡儿认为光是一种“运动趋势”，一种“瞬动的冲击”，靠充满宇宙间可见物体之间的微粒传到人的眼睛，这种传递是沿直线在瞬时内实现的他把光的传播比喻为盲人的手杖：凡它触到的对象所发出的作用和压力，能立即传给盲人，使他“看”到对象本身这是接近光的波动说的一种解释但是在探讨光的反射和折射现象并试图作定量描述时，笛卡儿又采用运动中的球碰撞平面这种光的粒子模型他首先区分了刻画球的运动的两个因素，一是“速度”(相当于我们现称的速率)；二是与速度相伴的所谓“限定量”这后一概念本身是含糊的，笛卡儿借助它讨论“速度”的方向与分解，因此他在对速度进行具体运算时，实际上把速度看成为向量笛卡儿这样分析光的反射机制想象一个球在点A离开球拍，沿直线匀速运动至B，与坚硬且保持不动的物体表面CD相撞(图3)由于表面不动，因此球不损失“速度”，经过跟从A到B所需的相同时间t1，必将到达以B为心、AB为半径的圆周上又因物体表面不能穿透，球必反弹至于朝那个方向反弹呢？笛卡儿考虑运动球在碰撞前的“限定量”可分解成两部分，一部分与CD面垂直(即AC)，一部分与CD面平行(AG)，碰撞后只有垂直分量发生改变，水平分量仍等于AH，故经时间t1球还应到达直线EF上(与BH的距离正好等于AH的直线)由此推出，球应到达圆周与EF的一个交点F处据相似三角形性质知，入射角ABH等于反射角HBF当光线射到透明物体上时，笛卡儿采用球穿过碰撞面损失一部分“速度”的模型分析折射现象(图4)他设球在碰撞前后的“速度”比为pq由于始终保持匀速运动，球从B再次到达圆周上的时间跟经过AB所需的时间之比亦为pq，即要花费较多的时间才能到达圆上，故笛卡儿考虑碰撞后的“限定量”的水平分量应比碰撞前的长，即FHAH=pq由此推出球到圆周的精确位置应是圆与直线EF的交点I当碰撞介面两边的介质密度不同时，笛卡儿认为光通过稠密介质的能力强就光的模型而言，若碰撞面下的介质比上面的更稠密，则球在碰撞时象又被球拍击了一下，因而获得了额外的“速度”根据与上面类似的论证，球将发生偏离现象总之，无论上述哪种情形，碰撞前后的“速度”比依赖于介质的相对密度，就固定的两种介质而言，pq等于常数由FHAH=BEBC=pq，得于是有这就是著名的折射定律由于笛卡儿使用“限定量”这种不明确的概念，他的分析很难令人信服，但结论是正确的笛卡儿倒底如何得到他的折射定律仍是值得探讨的谜W斯耐尔(Snell)曾在1621年发现了折射定律的结论，笛卡儿在他的结果发表前很久就得到了自己的这条定律(1626年)笛卡儿的其它光学研究包括：对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形；设计了矫正视力的透镜；根据太阳光在球状水滴中的折射与内部反射，解释了主虹与副虹形成的原理，并用定量方法导出虹出现的条件；设计了能完全聚焦的透镜，透镜所呈曲面由现称笛卡儿卵形线的曲线旋转而得笛卡儿对力学的主要贡献是提出了宇宙的机械运动模式(见自然哲学部分)对于日常所遇见的力学现象，笛卡儿由于缺少实验与定量研究，只依据他的某些自然哲学原理作判断，导致了若干错误的结论如由于他