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第五章第五章 频率响应法频率响应法 频率特性的基本概念 频率特性图示法 频率特性的稳定性分析 稳定裕度法 闭环频率特性 5 1 频率特性的基本概念 1 什么叫频率特性什么叫频率特性 tAr sin 幅值与相位的变化和频率及系统本身的特性有关幅值与相位的变化和频率及系统本身的特性有关 sin tBc 如果如果G s 是线性系统是线性系统 或环节 或环节 A B A B 可正可负可正可负 频率特性 频率特性 2 介绍几个名词 介绍几个名词 系统 或环节 对正系统 或环节 对正弦输入信号的稳态响应 弦输入信号的稳态响应 幅值比 同频率下输出信号与输入信号的幅值幅值比 同频率下输出信号与输入信号的幅值 之比 之比 B A 相位差 同频率下输出信号的相位与输入信号相位差 同频率下输出信号的相位与输入信号 的相位之差 的相位之差 幅频特性 幅频特性 幅值比与频率之间的关系 相频特性 相频特性 相位差与频率之间的关系 幅相特性 幅相特性 将幅频和相频画到一起 将幅频和相频画到一起 矢量端点的轨迹矢量端点的轨迹 3 频率特性和传递函数的关系频率特性和传递函数的关系 求取频率特性的方法 求取频率特性的方法 实验法实验法 利用传递函数求频率特性的方法 利用传递函数求频率特性的方法 js sGjG 系统的频率特性G j 可以通过系统的传 递函数G s 来求取 利用传递函数求利用传递函数求 jG jG A B 系统 r t c t 一般的线性定常系统 系统的传递函数 sG sR sC 假定输入信号 tAtr sin 其拉氏变换 22 jsjs A s A sR 一般传递函数G s 可写成下列形式 21 21 n m ssssss zszszsk sG 系统输出c t 的拉氏变换为 21 21 jsjs A ssssss zszszsk sC n m 将上式展成部分分式为 n n ss b ss b ss b js a js a sC 2 2 1 1 系统对正弦输入信号r t 的响应为 ts n tstjtj n ebebeaaetc 1 1 tjtj ss eaaetc 如果系统是稳定的 其稳态输出为 j A jGjs jsjs A sGa js 2 式中 j A jGjs jsjs A sGa js 2 sin sin 2 2 2 tB tjGA j ee jGA j Ae ejG j Ae ejGtc tjtj tj j tj j ss 若若G j 是一个复数 可写成是一个复数 可写成 j ejGjG j ejGjG jG 其中 jG jG A B 作业作业 4 15 4 18 5 2 系统对正弦输入信号的稳态响应特性 频率特性 频率特性 jjGj ejGejGjG 其幅值比依赖于角频率 的函数称为 系统的幅频特性 其稳态输出信号对正弦输入信号的相移 f 称为系统的相频特性 js sGjG 系统的频率特性G j 可以通过系统的传 递函数G s 来求取 其微分方程是 i ee dt de T 0 0 RC网络 例例 RCRC网络如下 网络如下 式中T RC 1 1 0 TssE sE i 5 1 网络的传递函数为 如果激励信号是一个正弦电压 即 tAei sin 22 0 1 1 1 1 s A Ts sE Ts sE i 由式 5 1 可得 式中第一项为输出电压的瞬态分量 第二项为稳态分量 sin 1 1 22 22 0 arctgTt T A e T AT e Tt 取拉氏反变换 得电容两端的输出电压 5 2 随着t趋于无穷大 瞬态分量趋于零 于是 sin 1 lim 22 0 arctgTt T A e t 1 1 sin 1 1 Tj t Tj A 显见 Tj 1 1 和 Tj 1 1 都是输入 电压频率 的函数 前者称为RC网络的幅频特性 后者称为RC网络的相频特性 0 1 T 2 T 3 T 0 1 T 2 T 3 T RC网络幅频和相频特性 Tj 11 T11 j 5 2 频率特性图示法频率特性图示法 频率特性的频率特性的对数坐标图对数坐标图 频率特性的频率特性的极坐标图极坐标图 幅相图幅相图 频率特性的频率特性的对数幅相图对数幅相图 系统的开环频率特性通常有三种表达形式系统的开环频率特性通常有三种表达形式 1 通过频率特性通过频率特性G j 的模的模 G j 与相位与相位 G j 在极坐标中表示的图形在极坐标中表示的图形 称为称为极坐标图极坐标图 Polar plot 或奈魁斯特图或奈魁斯特图 Nyquist plot 2 通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特 性的图形性的图形 称为称为对数坐标图对数坐标图 Logarithmic plot 或或 伯德图伯德图 Bode plot 3 用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成 的图形来表示系统的频率特性 这种表达频率特的图形来表示系统的频率特性 这种表达频率特 性的图形称为性的图形称为对数幅相图 对数幅相图 Log magnitude phase diagram 或尼柯尔斯图 或尼柯尔斯图 Nichols chart 一 频率特性的极坐标图 nn nn mm mm k asasasa bsbsbsb sG 1 1 10 1 1 10 12 12 1 1 1 2 1 1 22 2 1 1 22 1 1 hvn i iii Lm j jjj h i i L j j v sTsT ss sT s s K 系统的开环传递函数是由一系列具有系统的开环传递函数是由一系列具有 不同传递函数的典型环节所组成不同传递函数的典型环节所组成 Im Re 0 一 典型环节的极坐标图 一 典型环节的极坐标图 1 比例环节 比例环节 幅频特性幅频特性 KjG 相频特性相频特性 o 0 传递函数传递函数 G s K 2 惯性环节 惯性环节 传递函数传递函数 Ts K sG 1 幅频特性 幅频特性 2 1 T K jG 相频特性 相频特性 Im Re 0 K arctanG jT Im Re0 3 积分环节 积分环节 传递函数传递函数 Ts sG 1 幅频特性 幅频特性 1 G j T 相频特性相频特性 2 4 一阶微分环节 一阶微分环节 传递函数传递函数 G s 1 Ts Im 0 Re 频率特性 频率特性 TjjG 1 1 01 0 jjG jjG1 5 滞延环节 滞延环节 Im Re 0 频率特性 频率特性 tj ejG 幅频特性 幅频特性 1 jG 相频特性 相频特性 度 弧度 3 57 传递函数 传递函数 s esG 顺时针画了顺时针画了 无数多圈无数多圈 0 ImRe 0 1 0 6 振荡环节 振荡环节 传递函数 传递函数 12 1 22 TssT sG 幅频特性幅频特性 222 2 1 1 TT jG 相频特性 相频特性 22 1 2 T T arctg 8 0 6 0 4 0 二 二 系统的开环幅相频率特性曲线系统的开环幅相频率特性曲线 系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积 n i in jGjGjGjGjG 1 21 极坐标形式 极坐标形式 n i j i j n i i ejGejGjG 1 1 求系统的开环幅相特性 求系统的开环幅相特性 分别求出系统各串联环节频率特性的幅值及相角分别求出系统各串联环节频率特性的幅值及相角 然后算出不同频率下开环系统频率特性的幅值及然后算出不同频率下开环系统频率特性的幅值及 相角相角 从而就可绘制极坐标图 从而就可绘制极坐标图 Im Re 0 20 例例5 1系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 试绘制其奈氏图 试绘制其奈氏图 12 0 12 110 20 sss 12 0 12 110 20 jjj jHjG 当当 时时 0 20 0 0 HG幅值 幅值 相角 相角 0 当当 时时 0 HG幅值 幅值 相角 相角 2703900 例例5 2系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 试绘制其奈氏图 试绘制其奈氏图 1 Tss K Im Re0 KT 1 jTj K jHjG 当当 时时 0 HG幅值 幅值 相角 相角 18090900 当当 时时 0 0 0 HG幅值 幅值 相角 相角 90 KT T KT jHjG 242 00 lim Relim 渐近线横坐标 渐近线横坐标 例例5 3系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 试绘制其奈氏图 试绘制其奈氏图 1 2 Tss K Im Re0 当当 时时 0 0 0 HG幅值 幅值 相角 相角 180 1 2 jTj K jHjG 当当 时时 0 HG幅值 幅值 相角 相角 2703900 Im Re 例例5 4系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 试绘制其奈氏图 试绘制其奈氏图 1 Tj Ke tj K 幅值和相角分别为幅值和相角分别为 Tarctg T K G 1 2 先绘制惯性环节先绘制惯性环节G1 j 的极坐标图的极坐标图 在每一个频率 上幅值保持不变 相角 再增加 即得该系统的奈氏图 二 频率特性的对数坐标图二 频率特性的对数坐标图 一一 对数频率特性图的坐标对数频率特性图的坐标 0 1 0 2 0 4 0 6 0 8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 o 90 o 0 o 45 o 45 o 90 f 一个单位 十倍频程 一个单位 十倍频程 一个单位 十倍频程 一个单位 十倍频程 0 1 0 2 0 4 0 6 0 8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 40 20 0 20 40 dB lg20 G 若系统的开环传递函数为若系统的开环传递函数为G s 则开环对数则开环对数 幅频特性曲线的纵轴是幅频特性曲线的纵轴是20lgG 对数幅 对数幅 频特性的横轴是频率频特性的横轴是频率 采用采用lg 分度分度 单位单位 为孤度 秒为孤度 秒 用用rad s表示 表示 表示频率特性的对数幅频特性曲线和对数表示频率特性的对数幅频特性曲线和对数 相频特性曲线统称为伯德图 相频特性曲线统称为伯德图 1 比例环节 比例环节 传递函数传递函数 G s K f 0 Ldb 40 20 0 20 40 0 1 1 0 10 100 0 01 0 1 1 0 10 100 0 01 90 90 20LgK 对数幅频特性对数幅频特性 20lg G j 20lgK 相频特性相频特性 0 二 基本环节的 二 基本环节的BODEBODE图图 1 比例环节 比例环节 f 0 Ldb 40 20 0 20 40 0 1 1 0 10 100 0 01 0 1 1 0 10 100 0 01 90 90 2 积分环节 积分环节 传递函数传递函数 G s 1 s 对数幅频特性对数幅频特性 20lg G j 20lg 相频特性相频特性 2 二 基本环节的 二 基本环节的BODEBODE图图 f 0 Ldb 40 20 0 20 40 0 1 1 0 10 100 0 01 0 1 1 0 10 100 0 01 90 90 3 微分环节 微分环节 传递函数传递函数 G s s 对数幅频特性对数幅频特性 20lg G j 20lg 相频特性相频特性 2 二 基本环节的 二 基本环节的BODEBODE图图 f 45 Ldb 10 0 10 20 30 0 05 0 1 0 2 0 5 1 0 2 0 5 10 20 0 90 0 05 0 1 0 2 0 5 1 0 2 0 5 10 20 4 惯性环节 惯性环节 传递函数传递函数 1 1 Ts sG 对数幅频特性对数幅频特性 22 20lg 20lg 1 G j T 1 T 20lg 20lgG jT 为对数幅频特性的高频段 为对数幅频特性的高频段 相频特性相频特性 T arctan 渐近线渐近线 精确曲精确曲 线线 转角频率转角频率 二 基本环节的 二 基本环节的BODEBODE图图 当当 1 T 20lg 20lg10 G jdB 为对数幅频特性的低频段 为对数幅频特性的低频段 当当 1 T 为对数幅频特性的转角频率 为对数幅频特性的转角频率 5 振荡环节 振荡环节 10 2 22 2 nn n ss sG 传递函数传递函数 lg20 G db 10 0 10 20 n f 90 0 1 0 2 0 4 1 2 4 10 0 30 0 1 0 5 0 2 0 3 0 7 0 2 相频特性相频特性 2 2 1 2 n n arctg 对数幅频特性对数幅频特性 22 2 2 21lg20 lg20 nn G 当当 1时时 即高频段渐近线即高频段渐近线 n n G lg40 lg20 0 lg20 G 当当 P N为正值 包围方向为顺时针 若 P N为负值 包围方向为逆时针 这种映射关系 称为映射定理 二 奈魁斯特稳定判据二 奈魁斯特稳定判据 设系统的特征方程为设系统的特征方程为 F s 1 G s H s 0 系统的开环传递函数可以写为系统的开环传递函数可以写为 代入特征方程代入特征方程 可得可得 21 21 n m pspsps zszszsK sHsG 21 21 n m pspsps ssssss sF j j j s o Re Im jF 奈魁斯特轨迹映射图奈魁斯特轨迹映射图 闭环系统稳定的充分和必要条件是 系统特征方程式的根 即F s 的零点 都位 于S平面的左半平面 或者说F s 的所有零 点都不在S平面的右半平面内 0 0 11 a b 或 0 F jw 1 G jw H jw G jw H jw 奈魁斯特稳定判据 1 对于开环稳定系统 即P G s H s 在右 半S平面无极点 当且仅当开环频率特性 曲线G jw H jw 不通过也不包围 1 j0 点时 即N 0 闭环系统才是稳定的 2 对于开环不稳定系统 即P 0 G s H s 在右半S平面含有P个极点 当且仅当开 环频率特性曲线G jw jw 逆时针包 围 1 j0 点的次数N等于开环传递函数 G s H s 在右半S平面的极点数P时 即 N P 闭环系统才是稳定的 例例5 6系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 试绘制其奈氏图 试绘制其奈氏图 12 0 12 110 20 sss Im Re 0 100 j 1 例例5 7系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 试绘制其奈氏图 试绘制其奈氏图 12 0 12 110 100 sss Im Re 0 100 j 1 例例5 8系统开环传递函数是系统开环传递函数是 G s H s 1 1 21 sTsTs K 1 试分析不同试分析不同K值值 时系统的稳定性时系统的稳定性 2 确定当确定当T1 1 T2 0 2和和K 0 75 时系统的幅值裕时系统的幅值裕 量 量 Im Re 123 KKK 3 K 2 K 2 1 K 21 21 TT TKT 当当K T1 T2 T1T2时时 G j H j 曲线包围了曲线包围了 1 j0 点点 此时闭环系统是不稳此时闭环系统是不稳 定的 定的 开环系统的幅相频率特性为开环系统的幅相频率特性为 1 1 21 TjTjj K jHjG 2 系统的幅值裕量定义为系统的幅值裕量定义为 开 环 福 相 频 率 特 性开 环 福 相 频 率 特 性 G j H j 曲线与负实轴曲线与负实轴 交点处幅值的倒数交点处幅值的倒数 即即 将将T1 T2 0 5和和K 0 75 代入代入 则则 以分贝数表示以分贝数表示 1 21 21 TT TKT K g 4 5 01 5 0175 0 1 g K dBKg124lg20 三 奈魁斯特判据三 奈魁斯特判据 的物理意义的物理意义 Im Re GH 1 奈魁斯特稳定判据的数学表达式奈魁斯特稳定判据的数学表达式 当当 G j H j 180 时 时 180 11 j ejHjG 稳定 稳定边界 不稳定 1 1 1 jHjG 奈魁斯特判据奈魁斯特判据 的物理意义 的物理意义 G s H s R s C s G s H s 1 H s R s C s 把非单位负反馈变成单位负反馈把非单位负反馈变成单位负反馈 四 相对稳定性四 相对稳定性 Relative stability 开环系统特率特性开环系统特率特性G G jwjw H H jwjw 与与 1 j01 j0 点的点的 远近程度可用来表示闭环系统的稳定程度 远近程度可用来表示闭环系统的稳定程度 0 0 Im c f f c g 1 Re c g o 270 o 180 o 90 0 f lg20dBHG 稳定系统稳定系统 0 0 1 Kg 0lg20 g K f f c Im c 0 0 g 1 Re 不稳定系统不稳定系统 c g o 270 o 180 o 90 0 f lg20dBHG 0 0 1 Kg 0lg20 g K 2 幅值裕量 幅值裕量 Gain margin Kg 频率频率 g称为系统的相角交界称为系统的相角交界 频率频率 1 gg g HG K 1 相角裕量相角裕量 Phase margin 180 f f c 式中式中 c 称为系统的交界频率 称为系统的交界频率 或者剪切频率或者剪切频率 例例5 10一单位反馈控制系统一单位反馈控制系统 试求当试求当K 10 和和K 100时时 系统的相角裕量和幅值裕量 系统的相角裕量和幅值裕量 2 1 sss K R s C s o 270 o 180 o 90 0 f lg20dBHG 10 20 30 40 o 0 c g o 21 dB8 0 05 0 1 0 2 0 5 1 2 5 10 20 o 270 o 180 o 90 0 f lg20dBHG 10 20 30 40 o 0 0 05 0 1 0 2 0 5 1 2 5 10 20 o 25 dB12 2 K 100 由图可得系统的相由图可得系统的相 角裕量和幅值裕量角裕量和幅值裕量 分别为分别为 25 Kg 12db 1 K 10 由图可得系统的相由图可得系统的相 角裕量和幅值裕量角裕量和幅值裕量 分别为分别为 21 Kg 8db 第四节第四节 系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性 闭环频率特性与开环频率特性关系闭环频率特性与开环频率特性关系 等等M圆图圆图 等等N圆图圆图 尼柯尔斯图尼柯尔斯图 一 闭环频率特性与开环频率特性关系 一 闭环频率特性与开环频率特性关系 对于单位反馈系统对于单位反馈系统 闭环频率特性与开环闭环频率特性与开环 频率特性之间的关系为频率特性之间的关系为 1 jG jG jR jC Im Re O A P 1 j0 f f 1 当当 1时时 开环幅相频率开环幅相频率 j eOAOAjG 1 j ePAPAjG 1 1 闭环频率特性闭环频率特性 1 1 1 1 j e PA OA jG jG jM 二 等 二 等M圆图圆图 等M圆是在复平面上表示闭环频率特性等 幅值的一族圆 如果将开环频率特性表示为G jw U w j w 则闭环频率特性为 1 1 j eM jVU jVU jG jG jM 幅频M为 22 22 1 1VU VU jVU jVU M 配方整理后得 22 2 22 2 2 1 1 M M V M M U 圆心和半径分别为 1 0 1 2 0 2 0 M M R V M M U 4 3 1 2 2 1 1 2 0 2 1 Re Im 0 8 0 6 M 1 2 M 5 0 三 等 三 等N圆图圆图 等N圆是复平面上表示闭环频率特性等相角的 一族圆 如果将开环频率特性表示为G jw U w j w 则闭环频率特性为 1 1 j eM jVU jVU jG jG jM 相角为 U V arctg U V arctg jVU jVU 11 21 1 U V arctg U V arctgarctgN U V U V U V U V tgtg tgtg tgtgN 1 1 1 1 21 21 21 22 VUU V Ntg 令 则 整理后得 配方整理得 2 2 22 4 1 2 1 2 1 N N N VU 1 2 1 2 1 2 1 2 00 N N R N VU圆心和半径分别为 配方整理后得 圆心和半径分别为 2 2 22 4 1 2 1 2 1 N N N VU 1 2 1 2 1 2 1 2 00 N N R N VU 3 1 2 2 1 1 2 0 1 Re Im 20 30 40 60 80 100 120 20 30 40 60 80 100 120 四 四 尼柯尔斯图尼柯尔斯图 尼柯尔斯图可以用将等M圆和等N圆转换到 对数幅值和相角坐标图上的方法获得 由两 组曲线组成 一组是对应于闭环频率特性的幅值 20lgM 为 定值时的轨迹 另一组是对应于闭环频率特性 的相角 q 为定值的轨迹 尼柯尔斯图的横坐标是开环频率特性的相角 纵坐标是开环对数频率特性的幅值20lgG w Re 4 3 1 2 2 1 1 2 0 2 1 Im 0 8 M 0 6 M 1 2 3 4 jG 1 2 3 4 5 由等由等M圆和等圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线圆画闭环系统频率响应曲线 3 1 2 2 1 1 2 0 1 Re Im 20 60 20 40 jG 1 2 3 4 5 由等由等M圆和等圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线圆画闭环系统频率响应曲线 2 0 1 5 1 0 5 1 G G M 1 2 3 4 5 G G a 1 0 90 180 270 由等由等M圆和等圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线圆画闭环系统频率响应曲线 例例5 10 试绘制下列系统开环频率特性的试绘制下列系统开环频率特性的 闭环对数坐标图 闭环对数坐标图 先作出该系统的开环对数坐标图 再利用该图绘制开环对数幅相图 并将它 绘在尼柯尔斯图上 根据开环对数幅相图 与等M线和等q线的交点或切点 可以求出 闭环对数坐标图 用尼柯尔斯图由开环对数用尼柯尔斯图由开环对数 幅相图求闭环对数坐标图幅相图求闭环对数坐标图 开环对数幅相图与6 3dB等M线相切 即谐 振峰值Mr为6 3dB 谐振频率wr为0 9rad s 而带宽频率wb为1 7rad s 第五节第五节 频率特性与瞬态响应频率特性与瞬态响应 二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系 高阶系统的频域性能指标及高阶系统的频域性能指标及 近似处理近似处理 一 二阶系统的频域性能指标 一 二阶系统的频域性能指标 与阻尼比的关系与阻尼比的关系 二阶系统闭环传递函数的标准形式是二阶系统闭环传递函数的标准形式是 式中式中 阻尼比阻尼比 n 无阻尼自然频率 无阻尼自然频率 22 2 2 nn n sssR sC 二阶系统的闭环频率特性二阶系统的闭环频率特性
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