金融数学引论简化版(利息理论部分)_4-6

1 名利率与实利率的关系 设一时期的名利率为i m 与之等价的利率为i 则应有1 i 1 i m m m 于是有或 复习 贴现率 利率 单利 a t 1 it 复利 a t 1 i t 单贴现 a 1 t 1 dt 0 t 1 复贴现 2 第二章年金 基本年金期末年金期初年金永久年金基本年金问题广义年金变化年金 3 年金 按相等时间区间支付的一系列付款 两次年金付款之间的间隔称为支付期 支付期的个数称为此年金的期 年金支付的金额称为年金金额 在固定的时期支付确定金额款项的年金称为确定年金 付款不确定的年金称为未定年金或风险年金 付款周期与利息换算周期相同的年金称为基本年金 4 2 1 基本年金 2 1 1期末年金 在n个时期中 每个时期末付款1的年金为期末标准年金 其时间图为 设每个时期的利率为i 则年金在0时刻的现值记为或 在n时刻的累积值记为或 5 显然 而 故 2 1 1 易见 年金金额为R的n期期末年金现值为 6 同理 2 1 2 的值一般可通过复利函数表 p299 330 或EXCEL来计算 故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数 注1 或 注2 字面解释 考虑初始投资1 历时n个时期 每个时期 此投资1将产生在期末支付的利息i 这些利息的现值为ian 在第n个时期 原始投资的本金1仍收回 它的现值为vn 这样 方程两边都表示投资1在投资之日的现值 年金金额为R的n期期末年金累积值为 例2 1 1一辆新汽车的现金价为 10 000 某顾客想以月度转换18 利率的分期付款来购买此车 如果它在四年内每月末付款 250 问现付款需为多少 解 例2 1 2 某人以季度转换年利8 投资 1000 问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完 解 设每季度之末能取回 x 有一笔 1000的贷款 为期10年 若实利率为9 试对下面三种还款方式比较其利息总量 整个贷款加上累积的利息在第十年末一次还清 每年产生利息即付 而本金则在第十年末一次还清 贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清 EX 解 1 2 3 10 在n个时期中 每个时期初付款1的年金为标准期初年金 其时间图为 设每个时期的利率为i 则年金在0时刻的现值记为 在n时刻的累积值记为 思考 与有何关系 与有何关系 2 1 2期初年金 11 例2 1 3证明并解释 证 从时间图易见 如果在0时刻之前在加上一个时期 则这一系列付款相当于从 1时刻开始的期末年金 于是 字面解释从时间图易见 付款序列相当于0时刻付款1 再加上每时期末付款1的n期期末年金 减去n时刻的付款1 现值为a 累积值为b 例2 1 4有一位40岁的工人打算通过在25年内每年初存款 1000来积蓄一笔退休金 从65岁开始 此工人打算在以后的15年内每年初取款一次 试确定他从65岁开始每年取款金额 其中头25年实利率为8 而此后仅为7 解 n1 25 R1 1000 i1 8 n2 15 R2 i2 7 前25年累积 后15年 EX1某君40岁购买一项养老保险 每年初缴纳保费1620元 缴费期至59岁共20年 从60岁开始 每年初保险公司给付3360元养老金直至该君死亡 若此君活到79岁 则此项投资的收益率是多少 若此君活到99岁 则保险公司在这一保险业务上是否合算 答 i 3 713 ii 5 3 EX2某君为其3岁的孩子投保某险种 每年初缴纳保费2105元 缴费期为15年 按年利率4 77 到15年末此项投资的累积值是多少 若从第16年初开始 每年取出5000元 共取4年 则到第19年末此项投资的累积值又是多少 答 i 22 22 ii 33856 14 2 1 4递延年金 若年金现金流的首次发生是递延了一段时间以后进行的 则称这种年金为递延年金 从以上时间图易见 递延m期的标准期末年金的现值为或 思考 递延m期的标准期末年金在m n时刻的累积值是什么 15 同理 考虑递延m期的标准期初年金 现值为 或 16 永久年金是付款永远继续下去 无期限的 例如 无偿还保证的优先股股息 期末永久年金的现值记为 2 1 3 公式 2 1 3 可按字面解释 如果将本金按利率i投资 则利息可永远在每一时期末支付 而不去触动本金 2 1 4永久年金 例2 1 5A留下一笔 100000的遗产 这笔财产头10年的利息付给受益人B 第2个十年的利息付给受益人C 此后的均付给慈善事业D 若此项财产的年实利率为7 试确定B C D在此项财产中各得多少份额 解 B所占份额为 C所占份额为 D所占份额为 18 2 1 5基本年金问题 未知时间问题 包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答 这些问题可以有如下三种处理方式 1 在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款 称为上升支付 2 在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款 称为下降支付 3 在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款 称为非标准时期支付 包含非标准时期付款的年金现值常记作 可解释为一项n个时期 每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k的付款的现值 在时刻k的付款为 2 1 4 2 1 5 例2 1 6有一笔 1000的投资用于在每年年底付 100 时间尽可能长 如果这笔基金的年实利率为5 试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额 其中假定较小的付款是 在最后一次正规付款的日期支付 在最后一次正规付款以后一年支付 在最后一次正规付款后的一年中间支付 解 设可做n次付款 令 故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款 1 设较小的付款额为x 则到14年末 应有 2 设第15年末付款x 则 3 设付款时刻为14 k 由 由 2 1 5 付款额为 22 一笔基金每年年底存入 1000 一直到累积值为 25000为止 如果基金的实利率为8 试确定需要多少次正规储蓄 及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少 答 n 14 x 1152 092 EX 23 2 1 5基本年金问题 未知时间问题 包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答 这些问题可以有如下三种处理方式 1 在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款 称为上升支付 2 在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款 称为下降支付 3 在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款 称为非标准时期支付 包含非标准时期付款的年金现值常记作 可解释为一项n个时期 每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k的付款的现值 在时刻k的付款为 2 1 4 2 1 5 例2 1 6有一笔 1000的投资用于在每年年底付 100 时间尽可能长 如果这笔基金的年实利率为5 试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额 其中假定较小的付款是 在最后一次正规付款的日期支付 在最后一次正规付款以后一年支付 在最后一次正规付款后的一年中间支付 解 设可做n次付款 令 故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款 26 1 设较小的付款额为x 则到14年末 应有 2 设第15年末付款x 则 3 设付款时刻为14 k 由 由 2 1 5 付款额为 27 一笔基金每年年底存入 1000 一直到累积值为 25000为止 如果基金的实利率为8 试确定需要多少次正规储蓄 及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少 答 n 14 x 1152 092 EX 28 在解年金的未知利率问题时 常用如下的Newton Raphson迭代公式 2 1 6 或 2 1 7 初值为 2 1 8 未知利率问题 29 例2 1 7季度转换年利率应为多少 才能使在5年内每季度之末付款 1000的现值为 16000 解 n 5 4 20 k 1000 a 16000设季度内实利率为j 则 或 编写程序 分别利用Newton Raphson迭代公式和线性插值公式解年金的未知利率问题 并比较不同方法的精度与运算速度 30 变利息 在变利息情形 ik有几种不同的含义 1 若ik表示第k个时期所用的利率 不管付款是在什么时侯 则n时期期末年金的现值为 2 1 9 n时期期初年金的累积值为 考虑期初年金是为了使所有ik值都进入公式 期末年金的累积值可由期初年金得到 2 1 10 2 1 11 该期初年金是从时刻1而不是时刻0开始的 3 在计算累积值时 若在时刻k的付款在余下的累积期间按利率ik计息 则n时期期初年金的累积值为 2 在计算现值时 若ik表示在时刻k的付款经历所有k个时期的利率 则n时期期末年金的现值为 2 1 12 2 1 13 期末年金的累积值为 33 2 2 广义年金 处理支付频率不同于利息转换频率的年金的一般步骤是 找出转换频率与支付频率相同的利率 它应与原始利率等价 用此新的利率 确定年金值 付款周期与利息转换时期不同的年金称为广义年金 34 例2 2 1有一笔投资基金 在头两年每季度之初存入 100 其次两年 每季度之初存入 200 若基金的利率为月度转换20 问第4年末的累积值是多少 解 先将月度转换利率化为季度转换利率 由 第4年末的累积值是 35 EX1 证明每k个利息转换时期之末付1的n期年金的 现值为 累积值为 EX2 若一项年金在总共n个利息转换时期内 每1 m个利息转换时期之末支付1 m 则此项年金的 现值为 累积值为 36 2 3变化年金 2 3 1一般变化年金 若年金的付款金额是变化的 但支付时期和利息转换时期一致 则称为一般变化年金 自然 任何类型的变额年金可以这样计算 分别对每一次付款取现值或累积值 然后将其结果相加 有时这是唯一可行的方法 然而 也确实有若干种变额年金 对它们可以建立相对简单的表达式 它们是 1 付款金额按算术级数变化的年金 等量变化年金 2 付款金额按几何级数变化的年金 比例变化年金 37 等量变化年金 考虑一项有n个时期的期末年金 其付款金额从P 0开始 其后每个时期增加Q Q可正可负 但P n 1 Q 0 每时期利率为i 则此项年金的现值为 2 3 1 累积值为 2 3 2 特别 当P Q 1时 称为递增年金 现值为 2 3 3 累积值为 2 3 4 2 3 3 式可改写为 字面解释 n个时期中每时期初投资1的年金现值等于各时期赚得的利息的现值和最后返回的本金的现值 39 当P n Q 1时 称为递减年金 现值为 2 3 5 累积值为 2 3 6 EX有一项期末年金 其付款从1开始每年增加1直至n 然后每年减少1直至1 试求其现值 答 40 比例变化年金 考虑一项有n个时期的期末年金 其第一次付款额为1而其后各次则按公比为