变形构造函数证明不等式.doc

变形构造函数证明不等式1. （变形构造新函数，一次）已知函数试讨论在定义域内的单调性；当1时，证明：，求实数的取值范围解：函数的定义域为，当时，增区间为，减区间为；当0时，增区间为；当时，增区间为，减区间为当0时，在区间(0,1)上单调递增，不妨设，则，等价于，即构造，则0在上是增函数，当时，即，即又当0时，在区间(0,1)上单调递增，即2. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次）已知函数.讨论函数的单调性；设，如果对任意，求的取值范围.解：的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.不妨假设，而1，由知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即.从而,设并设，故a的取值范围为（，2.3. （2010辽宁文21，构造变形，二次）已知函数.讨论函数的单调性； KS*5U.C#设，证明：对任意，.解： f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4.设，1，对称轴为，结合图象知0，于是0.从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，4. （辽宁，变形构造，二次）已知函数f(x)=x2ax+(a1)，.（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x,x，xx，有.解：(1)的定义域为.若即,则，故在单调增加。若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。若,即,同理在单调减少，在单调增加.考虑函数 则（另一种处理）由于1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有.（另一种处理），结合二次函数图象设05. 已知函数（1）确定函数的单调性；（2）若对任意，且，都有，求实数a的取值范围。6. （变形构造）已知二次函数和“伪二次函数”（、），(I)证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；(II)在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为， (i)求证：；(ii)对于“伪二次函数”，是否有同样的性质?证明你的结论. 解：（I）如果为增函数,则(1)恒成立, 当时恒成立, (2) 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数不可能总为增函数. 3分（II）（i） =.由, 则-5分（ii）不妨设,对于“伪二次函数”: =, (3) 7分由()中(1),如果有()的性质，则 , (4) 比较(3)( 4)两式得，即：，(4) -10分不妨令， (5)设，则， 在上递增， . (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,. “伪二次函数”不具有()的性质. -12分7. (变形构造，第2问用到均值不等式)已知定义在正实数集上的函数f(x)x24ax1，g(x)6a2lnx2b1，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；设h(x)f(x)g(x)8x，证明：若a1，则h(x)在(0,)上单调递增；设F(x)f(x)g(x)，求证：对任意x1,x2(0,)，x1x2有8.解：设f(x)与g(x)交于点P(x0，y0)，则有f(x0)g(x0)，即x4ax016a2lnx02b1.又由题意知f(x0)g(x0)，即2x04a.由解得x0a或x03a(舍去)将x0a代入整理得ba23a2lna.令s(a)a23a2lna，则s(a)2a(13lna)，a(0,)时，s(a)递增，a(,)时，s(a)递减，所以s(a)s()，即b，b的最大值为.h(x)f(x)g(x)8x，h(x)2x4a8，因为a1，所以h(x)2x4a84a4a84(1)(1)80，即h(x)在(0,)内单调递增由知x1x2时，h(x1)h(x2)，即F(x1)8x1F(x2)8x2.因为x1x2，所以8.8. 已知函数，a为正常数若，且a，求函数的单调增区间；在中当时，函数的图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：若，且对任意的，都有，求a的取值范围解：a，令得或,函数的单调增区间为.证明：当时, ,又不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小，又， 即比较与的大小 令,则,在上位增函数又， ，即 ， 由题意得在区间上是减函数 当， 由在恒成立设，则在上为增函数，. 当， 由在恒成立设，为增函数,综上：a的取值范围为.9. 已知函数（）（）求函数的单调区间；（）记函数的图象为曲线设点,是曲线上的不同两点如果在曲线上存在点，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由解：（）易知函数的定义域是，1分 当时，即时, 令,解得或;令,解得2分 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减 当时，即时, 显然，函数在上单调递增；3分 当时，即时, 令,解得或; 令,解得4分 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减综上所述，当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增,在上单调递减5分（）假设函数存在“中值相依切线”设,是曲线上的不同两点，且，则 7分曲线在点处的切线斜率，8分依题意得：化简可得： ，即= 10分 设 （），上式化为：, 即 12分 令, 因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立 所以在内不存在,使得成立综上所述，假设不成立所以，函数不存在“中值相依切线”14分10. 已知函数.（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，若，求证解：（1）,，即在上恒成立设,，时，单调减，单调增，所以时，有最大值.，所以.（2）当时，,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理.所以又因为当且仅当“”时，取等号.又，,所以,所以，所以：.11. 已知(1) 求函数在上的最小值；(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；(3) 证明: 对一切，都有成立解： (1) ，当，单调递减，当，单调递增 ，t无解； ，即时，； ，即时，在上单调递增，；所以 (2)，则，设，则，单调递减，单调递增，所以.因为对一切，恒成立，所以；（3） 问题等价于证明，由可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立12. （2011陕西21，变形构造，反比例）设函数定义在上，导函数，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得，当时，是减函数，故是函数的减区间；当时，是增函数，故是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是（2），设，则，当时，即，当时，因此函数在内递减，当时，=0，；当时，=0， （3）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立证法二 假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,，这与假设矛盾不存在，使对任意成立13. 已知函数，（）求的极值（）若在上恒成立，求的取值范围（）已知，且，求证解：（1），令得 ，为增函数，为减函数有极大值 4分（2）欲使在上恒成立， 只需 在上恒成立设，为增函数,，为减函数时，是最大值 只需，即8分 （3）由（2）可知在上单调增， ，那，同理相加得 ， 得： .14.