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2 4 1向量在平面几何中的应用 平面几何中的向量方法 向量的概念和运算 都有明确的物理背景和几何背景 当向量与平面坐标系结合以后 向量的运算就可以完全转化为 代数 的计算 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 平面几何的许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 因此 利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题 例如 向量数量积对应着几何中的长度 如图 平行四边行ABCD中 设 则 向量的夹角为 BAD 例1 如图 已知平行四边形ABCD中 E F在对角线BD上 并且BE FD 求证AECF是平行四边形 证明 由已知设 即边AE FC平行且相等 AECF是平行四边形 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 例2 求证平行四边形对角线互相平分 证明 如图 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M 设 则 根据平面向量基本定理知 这两个分解式是相同的 所以 解得 所以点M是AC BD的中点 即两条对角线互相平分 例3 已知正方形ABCD P为对角线AC上任意一点 PE AB于点E PF BC于点F 连接DP EF 求证DP EF 证明 选择正交基底 在这个基底下 设 所以 因此DP EF 例4 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知 平行四边形ABCD 求证 解 设 则 分析 因为平行四边形对边平行且相等 故设其它线段对应向量用它们表示 例5如图 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于R T两点 你能发现AR RT TC之间的关系吗 猜想 AR RT TC
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