大学物理第九章简谐运动.pdf

1 1 9 1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位 耿优福 2 2 2 机械振动机械振动 1 振动 振动 一种周期性的运动 一种周期性的运动 物体在一定位置附近作来回往复的周期性运动物体在一定位置附近作来回往复的周期性运动 称称机械振动机械振动 如 弹簧振子的运动如 弹簧振子的运动 心脏的跳动心脏的跳动 昆虫翅膀的昆虫翅膀的 发声振动等发声振动等 3 3 机械振动是生活中常见的运动形式机械振动是生活中常见的运动形式 被手拨动的被手拨动的弹簧片弹簧片上下跳动的上下跳动的皮球皮球 小鸟飞离后颤动的小鸟飞离后颤动的树枝树枝 4 4 5 5 广义的机械振动广义的机械振动 描述物质运动状态的物理量发生了周期性变描述物质运动状态的物理量发生了周期性变 化等 机械 电磁振荡 光波波动等 化等 机械 电磁振荡 光波波动等 在在平衡位置平衡位置附近来回做附近来回做往复往复运动的现象运动的现象 叫做机械振动 简称振动 叫做机械振动 简称振动 机械振动的主要特征是 机械振动的主要特征是 空间运动 的往复性和 时间 上的周 空间运动 的往复性和 时间 上的周 期性 期性 6 6 7 7 8 8 简谐运动定义 简谐运动定义 可以用时间的余弦或正弦可以用时间的余弦或正弦 函数来描述的振动 最简单 最基本的振动函数来描述的振动 最简单 最基本的振动 谐振子谐振子作简谐运动的物体作简谐运动的物体 简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动 合成合成 分解分解 一一 简谐振动简谐振动 9 9 kl0 x o C B 弹簧振子的振动模型弹簧振子的振动模型 00 Fx 平衡位置平衡位置 BB xxFF 0 c xxv m 弹簧和一谐振子组成的振动系统 弹簧和一谐振子组成的振动系统 1010 振动的成因振动的成因 b 惯性惯性 a 回复力回复力 1111 2 0 k k m m 令令 x x F m x t x 2 2 2 d d 得得 xa 2 即即 o Fkx 具有加速度具有加速度与位移的大小与位移的大小x成正比成正比 而方而方 向相反特征的振动称为向相反特征的振动称为简谐运动简谐运动 a ma 弹簧振子的动力学分析弹簧振子的动力学分析 1212 简谐运动的特征方程简谐运动的特征方程 积分常数 根据初始条件确定积分常数 根据初始条件确定 cos tAx 解简谐运动方程方程 解简谐运动方程方程 设初始条件为设初始条件为 解得解得 x t x 2 2 2 d d 00 0 时 时 v vtxx 简谐运动方程简谐运动方程 1313 cos d d 2 2 2 tA t x a cos tAx由由 得得 sin d d tA t x v 简谐运动方程简谐运动方程 2 tcosA 简谐振动的各简谐振动的各 阶导数也都作阶导数也都作 简谐振动简谐振动 1414 tx 图图 A A x t o vt 图图 A A x t o at 图图 2 A 2 A x to cos 4 xAt 1515 简谐振动方程 简谐振动方程 cos tAx 角频率角频率 初相位初相位振幅振幅 位移位移 简谐振动方程的三要素 简谐振动方程的三要素 A 振幅 振幅 A 角频率 角频率 初相位 初相位 1616 二二 振幅振幅 max xA tx 图图 A A x T 2 T t o 对弹簧振子系统来说 振幅不是唯一的对弹簧振子系统来说 振幅不是唯一的 1 振幅振幅 A 振动物体振动物体 离开平衡位置的最大离开平衡位置的最大 位移 位移 1717 cos tAx 三三 周期 频率周期 频率 k m T 2 弹簧振子周期弹簧振子周期 cos TtA 注意注意 tx 图图 A A x T 2 T t o cos AtT 周期周期T 物体完成一次全振动所用的时间 物体完成一次全振动所用的时间 频率频率 v 单位时间内完成全振动的次数 单位时间内完成全振动的次数 1818 2 1 T 频率频率 T 2 2 角频率角频率 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的的 物理性质有关物理性质有关 与振子与振子 的初始状态的初始状态无关 无关 tx 图图 A A x T 2 T t o 单位 单位 rad s 1919 频率为频率为 Hz33 1 1 T 例如 例如 心脏的跳动心脏的跳动80次次 分分 s 75 0 s 80 60 min 80 1 T周期为周期为 大象大象25 30 马马40 50 猪猪60 80 兔兔100 松鼠松鼠380 鲸鲸8 动物的心跳 次动物的心跳 次 分 分 2020 昆虫翅膀振动的频率 昆虫翅膀振动的频率 Hz 雌性蚊子雌性蚊子355 415 雄性蚊子雄性蚊子455 600 苍苍蝇蝇330 黄黄蜂蜂220 2121 tx 图图 t v图图 ta 图图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T cos tAx 0 取取 2 T 2 cos tA sin tAv cos 2 tA cos 2 tAa T 2222 例 已知简谐运动方程方程为例 已知简谐运动方程方程为0 1cos 20 4 xt 画出画出x t v t a t曲线曲线 0 000 050 100 150 20 0 1 0 0 0 1 x t 0 000 050 100 150 20 0 1 0 0 0 1 x t 2 0 1 0 25 0 0 05 2 T tx 1 t 是是 t 时刻的时刻的相位相位 确定质点在 确定质点在t时刻的运动状时刻的运动状 态的物理量 态的物理量 2 是是 t 0 时刻的相位时刻的相位 初相位初相位 确定质点在确定质点在t 0时刻时刻 的运动状态的物理量的运动状态的物理量 cos t Atx cos 2 tAa sin tA 运动状态是由位置和速度来表征的运动状态是由位置和速度来表征的 由此 位移 速度 加速度由由此 位移 速度 加速度由 t 确定 确定 四四 相位相位 t 相位的意义相位的意义 一个一个相位对应一个确定的振动状态 相位对应一个确定的振动状态 相位每改变相位每改变 2 振动重复一次振动重复一次 相位相位 2 范围内变化范围内变化 振动状态不重复振动状态不重复 t x O A A 2 2525 2 2 0 2 0 v xA 0 0 tan x v 五五 常数常数和和的确定的确定A 00 0vv xxt初始条件初始条件 sin tAv cos tAx 对给定振动对给定振动 系统 周期由系系统 周期由系 统本身性质决定 统本身性质决定 振幅和初相由初振幅和初相由初 始条件决定始条件决定 2626 cos0A 2 0 0 0 0 vxt 已知已知求求 讨论讨论 x v o 2 cos tAx tx 图图 A A x T 2 T t o 0sin 0 Av 0sin 取取 2 1 1 9 2 旋转矢量 耿优福 2 2 旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点 O作一矢量作一矢量 使使 它的它的模等于振动的模等于振动的 振幅振幅A 并使矢量并使矢量 在在Oxy平面内绕点平面内绕点 O作作逆时针逆时针方向的方向的 匀角速转动匀角速转动 其角其角 速度速度与振动频率与振动频率 相等相等 这个矢量就这个矢量就 叫做叫做旋转矢量旋转矢量 A A 3 3 cos tAx 以以为原为原 点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在轴轴 上的投影点的上的投影点的 运动为简谐运运动为简谐运 动动 x A o 4 4 以以为原为原 点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在轴轴 上的投影点的上的投影点的 运动为简谐运运动为简谐运 动动 x A o xo A cos 0 Ax 0 t 0 x 0 M 5 5 以以为原为原 点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在轴轴 上的投影点的上的投影点的 运动为简谐运运动为简谐运 动动 x A o o A tt t cos tAx x M 物体在物体在ox轴上的简谐运动 以轴上的简谐运动 以ox为方向 为方向 6 6 cos 2 tAa m v v t x O A t cos tAx n a a A m v sin At v 2 n Aa 0 t a y 7 7 0v 0 x 第一象限 第一象限 0v 0 x 0v 0 x 0v 0 x 第二象限 第二象限 第三象限 第三象限 第四象限 第四象限 x O A t cos tAx y 初相位 初相位 3 XO OX A 判断 判断 t 0 振子的初位移 初速度振子的初位移 初速度 x0 A 2 v0 0 向向x轴负方向运动轴负方向运动 用旋转矢量直观描述简谐振动 用旋转矢量直观描述简谐振动 确定确定 振动状态确定振动状态确定 t X O 用旋转矢量描述简谐振动 用旋转矢量描述简谐振动 OX A 2 判断 判断 t 0 振子的振子的初初位移 位移 初初速度速度 x0 0 v0 0 向向x轴负方向运动轴负方向运动 用旋转矢量描述简谐振动 用旋转矢量描述简谐振动 OX A XO 2 3 判断 判断 t 0 振子的振子的初初位移 位移 初初速度速度 x0 A 2 v00 向向x轴正方向运动轴正方向运动 用旋转矢量描述简谐振动 用旋转矢量描述简谐振动 OX A X O 3 判断 判断 t 0 振子的振子的初初位移 位移 初初速度速度 x0 A 2 v0 0 向向x轴正方向运动轴正方向运动 1313 用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的图图tx 1414 cm 3 2 3 4 cos2D cm 3 2 3 4 cos2B cm 3 2 3 2 cos2C cm 3 2 3 2 cos2A txtx txtx 9 2已知某简谐运动的振动曲线如图所示 已知某简谐运动的振动曲线如图所示 则此简谐运动的运动方程为 则此简谐运动的运动方程为 1515 1 对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动 相位的简谐运动 相位 差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异 解决振动合成 解决振动合成 问题 问题 12 cos 111 tAx cos 222 tAx 12 tt 讨论讨论 相位差 表示两个相位之差相位差 表示两个相位之差 1616 12 注注 o 1 A x 1 2 2 A o 1 A x 1 2 2 A x2 2振动超前振动超前x1 1x1 1振动超前振动超前x2 2 12 12 1717 0 x t o 同相同相 x t o 为其它为其它 超前超前 落后落后 12 t x o 反相反相 1818 例 例 两个同周期简谐运动曲线如图所示 两个同周期简谐运动曲线如图所示 x1的的 相位比相位比x2的相位的相位 A 落后落后 2 B 超前 超前 2 C 落后 落后 D 超前超前 1919 2 对对同一同一简谐运动 相位差可以给出简谐运动 相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间 两运动状态间变化所需的时间 12 tt 12 ttt cos 11 tAx cos 22 tAx 2020 A x 2A t o b a a t 3 TTt 6 1 2 3 2 A b t v A x A oA 2121 例例一质量为一质量为0 01 kg的物体作简谐运动 的物体作简谐运动 其振幅为其振幅为0 08 m 周期为周期为4 s 起始时刻物体在起始时刻物体在 x 0 04 m处 处 向向ox轴负方向运动 如图 轴负方向运动 如图 试求试求 1 t 1 0 s时 物体所处的位置和所时 物体所处的位置和所 受的力 受的力 o 08 0 04 0 04 008 0 m x v 代数法代数法 旋转矢量法旋转矢量法 2222 m 04 00 xt 代入代入 cos tAx 3 解解 1 s 2 2 T m 08 0 A 3 0 sin 0 A 0 0 v v 32 cos 08 0 tx 简谐运动方程 简谐运动方程 2323 s 0 1 t代入上式得代入上式得 m 069 0 x N 1070 1 3 可求 可求 1 Fxt s 0 1 法二 求运动方程法二 求运动方程 o A x x v v 2424 2 由起始位置运动到由起始位置运动到x 0 04 m处所需处所需 要的最短时间要的最短时间 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到x 0 04 m处所处所 需要的最短时间为需要的最短时间为t o 08 0 04 0 04 008 0 m x v 代数法代数法 旋转矢量法旋转矢量法 2525 2 3 2 1 arccos ts 667 0 3 2 o 08 0 04 0 04 008 0 m x v 3 2 cos 08 0 tx 3 2 cos 08 004 0 t 2626 o08 0 04 0 04 008 0 m x 法二法二 3 起始时刻起始时刻 时刻时刻t t 3 t s 667 0 3 2 t 1 srad 2 3 1 理学理学 第五版第五版 1 9 3 单摆和复摆 耿优福 2 理学理学 第五版第五版 2 一一 单摆单摆 3 理学理学 第五版第五版 3 l T F P 转转 动动 正正 向向 mglmglM sin 5 时时 动力学分析 动力学分析 l g t 2 2 d d O A m 2 2 d d t Jmgl 2 mlJ 一一 单摆单摆 5 3 sin 53 4 理学理学 第五版第五版 4 cos m t l g 2 令令 g l T 2 2 2 2 d d t l g t 2 2 d d l T F P 转转 动动 正正 向向 O A m 2 mlJ 5 理学理学 第五版第五版 5 二二复摆复摆 2 2 d d t Jmgl J mgl 2 令令 5 l P C点为质心 点为质心 转动正向转动正向 C O FlM 2 2 d d sin t JJ mglM 6 理学理学 第五版第五版 6 2 2 2 d d t cos m t mgl J T 2 角谐振动角谐振动 mgl J T J mgl 2 2 l P C点为质心 点为质心 转动正向转动正向 C O 7 理学理学 第五版第五版 7 角振幅角振幅和初相和初相由初始条件求得由初始条件求得 m 0 单摆周期单摆周期T与角振幅的关系为与角振幅的关系为 2 sin 4 3 2 1 2 sin 2 1 1 m 4 2 2 2 m 2 2 0 TT T0为为很小时单摆的周期很小时单摆的周期 m 当当 不是不是很小时 很小时 8 理学理学 第五版第五版 8 三三简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征 x t x 2 2 2 d d 2 简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述 kxF 1 物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置 0 00 xFM 或 sin tAv cos tAx 3 简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述 9 理学理学 第五版第五版 9 J mgl 复摆复摆 mk 弹簧振子弹簧振子 lg 单摆单摆 10 理学理学 第五版第五版 10 x mo C B 如图所示 一劲度系数如图所示 一劲度系数 为为k的轻弹簧 一端固定在墙的轻弹簧 一端固定在墙 上 另一端挂一质量为上 另一端挂一质量为m的的 重物 重物 1 试证明此系统的 试证明此系统的 振动是简谐振动 振动是简谐振动 2 求振 求振 动的频率 动的频率 11 理学理学 第五版第五版 11 x mo C B 证明 证明 mgkx 0 设静止位置设静止位置o为坐标原点 建立坐标为坐标原点 建立坐标 系系ox 静止时所受的力分析 静止时所受的力分析 x位置处所受力分析 位置处所受力分析 kx mgxxkF 0 2 2 d d t x m x m k t x 2 2 d d mk 12 理学理学 第五版第五版 12 如图所示 一轻如图所示 一轻 弹簧的劲度系数分别弹簧的劲度系数分别 为为k 当质量为当质量为m物体物体 在光滑斜面上振动时在光滑斜面上振动时 1 证明其运动仍 证明其运动仍 是简谐运动 是简谐运动 2 求 求 系统的振动频率 系统的振动频率 x O 1 1 9 4 简谐运动的能量 耿优福 2 2 1 动能动能 动能变化的周期 动能变化的周期 OxX m k 2 m sin 2 1 sin 2 1 2 1 222 2 2 k tAm tAmmEv 简谐运动的能量简谐运动的能量 3 3 2 势能势能 线性回线性回 复力是复力是保守保守 力力 作 作简谐简谐 运动的系统运动的系统 机械能守恒机械能守恒 O x X m cos 2 1 2 1 222 p tkAkxE 3 机械能机械能 222 pk 2 1 2 1 kAAmEEE 势能周期 势能周期 4 4 简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图 tkAE 22 p cos 2 1 tAmE 222 k sin 2 1 4 T 2 T 4 3T 能量能量 ot T tx t v v x t o T tAx cos tA sin v 2 2 1 kAE 0 5 5 简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线 简谐运动能量守简谐运动能量守 恒 振幅不变恒 振幅不变 k E p E x 2 2 1 kAE A A p E xO E BC 6 6 能量守恒表达式能量守恒表达式 简谐运动方程简谐运动方程 推导推导 常量 22 2 1 2 1 kxmEv 0 2 1 2 1 d d 22 kxm t v 0 d d d d t x kx t m v v 0 d d 2 2 x m k t x 7 7 例例 质量为质量为的物体 以振幅的物体 以振幅 作简谐运动 其最大加速度为作简谐运动 其最大加速度为 求 求 kg 10 0 m 100 1 2 1 振动的周期 振动的周期 2 通过平衡位置的动能 通过平衡位置的动能 3 总能量 总能量 4 物体在何处其动能和势能相等 物体在何处其动能和势能相等 2 sm 0 4 8 8 A amax s 314 0 2 T 1 s 20 J 100 2 3 2 222 maxmax k 2 1 2 1 AmmE v 解 解 1 2 max Aa 已知已知 2 max 2 sm 0 4 m 100 1kg 10 0 a Am T 2 maxk E求求 1 9 9 4 pk EE 时时 J 100 1 3 p E 由由 222 p 2 1 2 1 xmkxE 2 p2 2 m E x 24 m 105 0 cm 707 0 x 已知已知 sum E 3 max ksum EE J 100 2 3 解解 4 何处动势能相等何处动势能相等 2 max 2 sm 0 4 m 100 1kg 10 0 a Am 求求 3 1 1 9 5 简谐运动的合成 耿优福 2 2 一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与 两独立的同方向 假设两独立的同方向 假设 x轴 同频率的简谐轴 同频率的简谐 振动 振动 1 1 A 1 xx O 2 x 2 A 2 cos 111 tAx cos 222 tAx 两振动的位相差两振动的位相差 常数常数 12 3 3 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成 后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动 cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAA cos tAx 1 1 A 1 xx O A x 21 xxx 2 x 2 A 2 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA 4 4 t o o 2 12 k cos 21 tAAx A 21 AAA 1 A 2 A T 1 相位差相位差 2 12 k 2 1 0 k xx旋转矢量始终同旋转矢量始终同向向 5 5 x t o cos 12 tAAx T 2 A 2 1 A A 2 相位差相位差 12 12 k 1 0 k 21 AAA 12 12 k o x 旋转矢量始终反向旋转矢量始终反向 6 6 3 一般情况一般情况 2121 AAAAA 21 AAA 21 AAA 加强加强 减弱减弱 小结小结 1 相位差相位差 2 12 k 1 0 k 2 相位差相位差 12 12 k 1 0 k 7 7 例例 两个同方向的简谐振动曲线如图两个同方向的简谐振动曲线如图 A1 A2 T 已知已知 求合振动的初相位 求合振动的初相位 1 A 2 A A 解 解 1 1 1 2 2 2 21 2 cos 2 xAAt T 2 得 x 1 A 2 A T 2 tx 1 tx t 21 AAA 21 8 8 二二 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 质点运动轨迹质点运动轨迹 椭圆方程 椭圆方程 cos 11 tAx cos 22 tAy sin cos 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 9 9 1 或或 20 12 x A A y 1 2 讨讨 论论 2 12 x A A y 1 2 y x o 1 A 2 A 1 A 2 A o x y sin cos 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 1010 tAx cos 1 2 cos 2 tAy 3 2 12 1 A 2 A o x y 1 2 2 2 2 1 2 A y A x sin cos 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 讨讨 论论 1111 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图 1212 两相两相 互垂直同互垂直同 频率不同频率不同 相位差简相位差简 谐运动的谐运动的 合成图合成图 1313 1 1 A x o 三三 多个同方向同频