八年级因式分解难题(附答案 及解析).pdf

2017年05月21日数学 因式分解难题 2 一 填空题 共10小题 1 已知x y 10 xy 16 则x2y xy2的值为 2 两位同学将一个二次三项式分解因式 一位同学因看错了一次项系 数而分解成2 x 1 x 9 另一位同学因看错了常数项分解成 2 x 2 x 4 请你将原多项式因式分解正确的结果写出 来 3 若多项式x2 mx 4能用完全平方公式分解因式 则m的值是 4 分解因式 4x2 4x 3 5 利用因式分解计算 2022 202 196 982 6 ABC三边a b c满足a2 b2 c2 ab bc ca 则 ABC的形状是 7 计算 12 22 32 42 52 62 1002 1012 8 定义运算a b 1 a b 下面给出了关于这种运算的四个结论 2 2 3 a b b a 若a b 0 则 a a b b 2ab 若a b 0 则a 1或b 0 其中正确结论的序号是 填上你认为正确的所有结论的序号 9 如果1 a a2 a3 0 代数式a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 10 若多项式x2 6x b可化为 x a 2 1 则b的值是 二 解答题 共20小题 11 已知n为整数 试说明 n 7 2 n 3 2的值一定能被20整除 12 因式分解 4x2y 4xy y 13 因式分解 1 a3 ab2 2 x y 2 4xy 14 先阅读下面的内容 再解决问题 例题 若m2 2mn 2n2 6n 9 0 求m和n的值 解 m2 2mn 2n2 6n 9 0 m2 2mn n2 n2 6n 9 0 m n 2 n 3 2 0 m n 0 n 3 0 m 3 n 3 问题 1 若x2 2y2 2xy 4y 4 0 求xy的值 2 已知 ABC的三边长a b c都是正整数 且满足a2 b2 6a 6b 18 3 c 0 请问 ABC是怎样形状的三角形 15 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整 数为 和谐数 如4 22 02 12 42 22 20 62 42 因此4 12 20这 三个数都是和谐数 1 36和2016这两个数是和谐数吗 为什么 2 设两个连续偶数为2k 2和2k 其中k取非负整数 由这两个连续 偶数构造的和谐数是4的倍数吗 为什么 3 介于1到200之间的所有 和谐数 之和为 16 如图1 有若干张边长为a的小正方形 长为b宽为a的长方形 以 及边长为b的大正方形 的纸片 1 如果现有小正方形 1张 大正方形 2张 长方形 3张 请你将 它们拼成一个大长方形 在图2虚线框中画出图形 并运用面积之间 的关系 将多项式a2 3ab 2b2分解因式 2 已知小正方形 与大正方形 的面积之和为169 长方形 的周长 为34 求长方形 的面积 3 现有三种纸片各8张 从其中取出若干张纸片 每种纸片至少取一 张 把取出的这些纸片拼成一个正方形 按原纸张进行无空隙 无重叠 拼接 求可以拼成多少种边长不同的正方形 17 1 有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示 用若干块这样的 硬纸片拼成一个新的长方形 如图2 用两种不同的方法 计算图2中长方形的面积 由此 你可以得出的一个等式为 2 有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式 画出你的拼图 请你用拼图等方法推出2a2 5ab 2b2因式分解的结果 画出你的拼 图 18 已知a b 1 ab 1 设s1 a b s2 a2 b2 s3 a3 b3 sn an bn 1 计算s2 2 请阅读下面计算s3的过程 因为a b 1 ab 1 所以s3 a3 b3 a b a2 b2 ab a b 1 s2 1 s2 1 你读懂了吗 请你先填空完成 2 中s3的计算结果 再用你学到的方 法计算s4 3 试写出sn 2 sn 1 sn三者之间的关系式 4 根据 3 得出的结论 计算s6 19 1 利用因式分解简算 9 82 0 4 9 8 0 04 2 分解因式 4a a 1 2 1 a 20 阅读材料 若m2 2mn 2n2 8n 16 0 求m n的值 解 m2 2mn 2n2 8n 16 0 m2 2mn n2 n2 8n 16 0 m n 2 n 4 2 0 m n 2 0 n 4 2 0 n 4 m 4 根据你的观察 探究下面的问题 1 已知x2 2xy 2y2 2y 1 0 求x y的值 2 已知 ABC的三边长a b c都是正整数 且满足a2 b2 6a 8b 25 0 求 ABC的最大边c的值 3 已知a b 4 ab c2 6c 13 0 则a b c 21 仔细阅读下面例题 解答问题 例题 已知二次三项式x2 4x m有一个因式是 x 3 求另一个因式 以及m的值 解 设另一个因式为 x n 得x2 4x m x 3 x n 则x2 4x m x2 n 3 x 3n n 3 4 m 3n 解得 n 7 m 21 另一个因式为 x 7 m的值为 21 问题 1 若二次三项式x2 5x 6可分解为 x 2 x a 则a 2 若二次三项式2x2 bx 5可分解为 2x 1 x 5 则b 3 仿照以上方法解答下面问题 已知二次三项式2x2 5x k有一个因 式是 2x 3 求另一个因式以及k的值 22 分解因式 1 2x2 x 2 16x2 1 3 6xy2 9x2y y3 4 4 12 x y 9 x y 2 23 已知a b c是三角形的三边 且满足 a b c 2 3 a2 b2 c2 试确定三角形的形状 24 分解因式 1 2x4 4x2y2 2y4 2 2a3 4a2b 2ab2 25 图 是一个长为2m 宽为2n的长方形 沿图中虚线用剪刀平均分 成四块小长方形 然后按图 的形状拼成一个正方形 1 图 中的阴影部分的面积为 2 观察图 请你写出三个代数式 m n 2 m n 2 mn之间的 等量关系是 3 若x y 7 xy 10 则 x y 2 4 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图 它表示了 5 试画出一个几何图形 使它的面积能表示 m n m 3n m2 4mn 3n2 26 已知a b c满足a b 8 ab c2 16 0 求2a b c的值 27 已知 一个长方体的长 宽 高分别为正整数a b c 且满足 a b c ab bc ac abc 2006 求 这个长方体的体积 28 x2 4x 2 2 x2 4x 15 29 阅读下列因式分解的过程 再回答所提出的问题 1 x x x 1 x x 1 2 1 x 1 x x x 1 1 x 2 1 x 1 x 3 1 上述分解因式的方法是 共应用了 次 2 若分解1 x x x 1 x x 1 2 x x 1 2004 则需应用上述方 法 次 结果是 3 分解因式 1 x x x 1 x x 1 2 x x 1 n n为正整 数 30 对于多项式x3 5x2 x 10 如果我们把x 2代入此多项式 发现多项 式x3 5x2 x 10 0 这时可以断定多项式中有因式 x 2 注 把x a 代入多项式能使多项式的值为0 则多项式含有因式 x a 于是 我们可以把多项式写成 x3 5x2 x 10 x 2 x2 mx n 1 求式子中m n的值 2 以上这种因式分解的方法叫试根法 用试根法分解多项式x3 2x2 13x 10的因式 2017年05月21日数学 因式分解难题 2 参考答案与试题解析 一 填空题 共10小题 1 2016秋 望谟县期末 已知x y 10 xy 16 则x2y xy2的值为 160 分析 首先提取公因式xy 进而将已知代入求出即可 解答 解 x y 10 xy 16 x2y xy2 xy x y 10 16 160 故答案为 160 点评 此题主要考查了提取公因式法分解因式 正确找出公因式是解 题关键 2 2016秋 新宾县期末 两位同学将一个二次三项式分解因式 一位 同学因看错了一次项系数而分解成2 x 1 x 9 另一位同学因 看错了常数项分解成2 x 2 x 4 请你将原多项式因式分解正 确的结果写出来 2 x 3 2 分析 根据多项式的乘法将2 x 1 x 9 展开得到二次项 常 数项 将2 x 2 x 4 展开得到二次项 一次项 从而得到原多 项式 再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式 解答 解 2 x 1 x 9 2x2 20 x 18 2 x 2 x 4 2x2 12x 16 原多项式为2x2 12x 18 2x2 12x 18 2 x2 6x 9 2 x 3 2 点评 根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键 二次三项式分 解因式 看错了一次项系数 但二次项 常数项正确 看错了常数项 但二次项 一次项正确 3 2015春 昌邑市期末 若多项式x2 mx 4能用完全平方公式分解因 式 则m的值是 4 分析 利用完全平方公式 a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab计算即可 解答 解 x2 mx 4 x 2 2 即x2 mx 4 x2 4x 4 m 4 故答案为 4 点评 此题主要考查了公式法分解因式 熟记有关完全平方的几个变 形公式是解题关键 4 2015秋 利川市期末 分解因式 4x2 4x 3 2x 3 2x 1 分析 ax2 bx c a 0 型的式子的因式分解 这种方法的关键是把 二次项系数a分解成两个因数a1 a2的积a1 a2 把常数项c分解成两个因 数c1 c2的积c1 c2 并使a1c2 a2c1正好是一次项b 那么可以直接写成结 果 ax2 bx c a1x c1 a2x c2 进而得出答案 解答 解 4x2 4x 3 2x 3 2x 1 故答案为 2x 3 2x 1 点评 此题主要考查了十字相乘法分解因式 正确分解各项系数是解 题关键 5 2015春 东阳市期末 利用因式分解计算 2022 202 196 982 90000 分析 通过观察 显然符合完全平方公式 解答 解 原式 2022 2x202x98 982 202 98 2 3002 90000 点评 运用公式法可以简便计算一些式子的值 6 2015秋 浮梁县校级期末 ABC三边a b c满足 a2 b2 c2 ab bc ca 则 ABC的形状是 等边三角形 分析 分析题目所给的式子 将等号两边均乘以2 再化简得 a b 2 a c 2 b c 2 0 得出 a b c 即选出答案 解答 解 等式a2 b2 c2 ab bc ac等号两边均乘以2得 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 即a2 2ab b2 a2 2ac c2 b2 2bc c2 0 即 a b 2 a c 2 b c 2 0 解得 a b c 所以 ABC是等边三角形 故答案为 等边三角形 点评 此题考查了因式分解的应用 利用等边三角形的判定 化简式 子得a b c 由三边相等判定 ABC是等边三角形 7 2015秋 鄂托克旗校级期末 计算 12 22 32 42 52 62 1002 1012 5151 分析 通过观察 原式变为1 32 22 52 42 1012 1002 进一步运用高斯求和公式即可解决 解答 解 12 22 32 42 52 62 1002 1012 1 32 22 52 42 1012 1002 1 3 2 5 4 7 6 101 100 1 101 101 2 5151 故答案为 5151 点评 此题考查因式分解的实际运用 分组分解 利用平方差公式解 决问题 8 2015秋 乐至县期末 定义运算a b 1 a b 下面给出了关于 这种运算的四个结论 2 2 3 a b b a 若a b 0 则 a a b b 2ab 若a b 0 则a 1或b 0 其中正确结论的序号是 填上你认为正确的所有结论的序 号 分析 根据题中的新定义计算得到结果 即可作出判断 解答 解 2 2 1 2 2 2 本选项错误 a b 1 a b b a 1 b a 故a b不一定等于b a 本选项 错误 若a b 0 则 a a b b 1 a a 1 b b a a2 b b2 a2 b2 2a2 2ab 本选项正确 若a b 0 即 1 a b 0 则a 1或b 0 本选项正确 其中正确的有 故答案为 点评 此题考查了整式的混合运算 以及有理数的混合运算 弄清题 中的新定义是解本题的关键 9 2015春 张掖校级期末 如果1 a a2 a3 0 代数式 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 0 分析 4项为一组 分成2组 再进一步分解因式求得答案即可 解答 解 1 a a2 a3 0 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a 1 a a2 a3 a5 1 a a2 a3 0 0 0 故答案是 0 点评 此题考查利用因式分解法求代数式的值 注意合理分组解决问 题 10 2015春 昆山市期末 若多项式x2 6x b可化为 x a 2 1 则 b的值是 8 分析 利用配方法进而将原式变形得出即可 解答 解 x2 6x b x 3 2 9 b x a 2 1 a 3 9 b 1 解得 a 3 b 8 故答案为 8 点评 此题主要考查了配方法的应用 根据题意正确配方是解题关 键 二 解答题 共20小题 11 已知n为整数 试说明 n 7 2 n 3 2的值一定能被20整除 分析 用平方差公式展开 n 7 2 n 3 2 看因式中有没有20 即可 解答 解 n 7 2 n 3 2 n 7 n 3 n 7 n 3 20 n 2 n 7 2 n 3 2的值一定能被20整除 点评 主要考查利用平方差公式分解因式 公式 a2 b2 a b a b 12 2016秋 农安县校级期末 因式分解 4x2y 4xy y 分析 先提取公因式y 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分 解 解答 解 4x2y 4xy y y 4x2 4x 1 y 2x 1 2 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式 有公因式首先提取公因式 然后再用其他方法进行因式分解 同时因式 分解要彻底 直到不能分解为止 13 2015秋 成都校级期末 因式分解 1 a3 ab2 2 x y 2 4xy 分析 1 原式提取a 再利用平方差公式分解即可 2 原式利用完全平方公式分解即可 解答 解 1 原式 a a2 b2 a a b a b 2 原式 x2 2xy y2 4xy x2 2xy y2 x y 2 点评 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用 熟练掌握因式分 解的方法是解本题的关键 14 2015春 甘肃校级期末 先阅读下面的内容 再解决问题 例题 若m2 2mn 2n2 6n 9 0 求m和n的值 解 m2 2mn 2n2 6n 9 0 m2 2mn n2 n2 6n 9 0 m n 2 n 3 2 0 m n 0 n 3 0 m 3 n 3 问题 1 若x2 2y2 2xy 4y 4 0 求xy的值 2 已知 ABC的三边长a b c都是正整数 且满足a2 b2 6a 6b 18 3 c 0 请问 ABC是怎样形状的三角形 分析 1 首先把x2 2y2 2xy 4y 4 0 配方得到 x y 2 y 2 2 0 再根据非负数的性质得到x y 2 代入求得数值即可 2 先把a2 b2 6a 6b 18 3 c 0 配方得到 a 3 2 b 3 2 3 c 0 根据非负数的性质得到a b c 3 得出三角形的形状即 可 解答 解 1 x2 2y2 2xy 4y 4 0 x2 y2 2xy y2 4y 4 0 x y 2 y 2 2 0 x y 2 2 a2 b2 6a 6b 18 3 c 0 a2 6a 9 b2 6b 9 3 c 0 a 3 2 b 3 2 3 c 0 a b c 3 三角形ABC是等边三角形 点评 此题考查了配方法的应用 通过配方 把已知条件变形为几个 非负数的和的形式 然后利用非负数的性质得到几个等量关系 建立方 程求得数值解决问题 15 2015秋 太和县期末 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 平方差 那么称这个正整数为 和谐数 如4 22 02 12 42 22 20 62 42 因此4 12 20这三个数都是和谐数 1 36和2016这两个数是和谐数吗 为什么 2 设两个连续偶数为2k 2和2k 其中k取非负整数 由这两个连续 偶数构造的和谐数是4的倍数吗 为什么 3 介于1到200之间的所有 和谐数 之和为 2500 分析 1 利用36 102 82 2016 5052 5032说明36是 和谐数 2016不是 和谐数 2 设两个连续偶数为2n 2n 2 n为自然数 则 和谐 数 2n 2 2 2n 2 利用平方差公式展开得到 2n 2 2n 2n 2 2n 4 2n 1 然后利用整除性可说明 和谐数 一定是4的 倍数 3 介于1到200之间的所有 和谐数 中 最小的为 22 02 4 最大的 为 502 482 196 将它们全部列出不难求出他们的和 解答 解 1 36是 和谐数 2016不是 和谐数 理由如下 36 102 82 2016 5052 5032 2 设两个连续偶数为2k 2和2k n为自然数 2k 2 2 2k 2 2k 2 2k 2k 2 2k 4k 2 2 4 2k 1 4 2k 1 能被4整除 和谐数 一定是4的倍数 3 介于1到200之间的所有 和谐数 之和 S 22 02 42 22 62 42 502 482 502 2500 故答案是 2500 点评 本题考查了因式分解的应用 利用因式分解把所求的代数式进 行变形 从而达到使计算简化 16 2015春 兴化市校级期末 如图1 有若干张边长为a的小正方形 长为b宽为a的长方形 以及边长为b的大正方形 的纸片 1 如果现有小正方形 1张 大正方形 2张 长方形 3张 请你将 它们拼成一个大长方形 在图2虚线框中画出图形 并运用面积之间 的关系 将多项式a2 3ab 2b2分解因式 2 已知小正方形 与大正方形 的面积之和为169 长方形 的周长 为34 求长方形 的面积 3 现有三种纸片各8张 从其中取出若干张纸片 每种纸片至少取一 张 把取出的这些纸片拼成一个正方形 按原纸张进行无空隙 无重叠 拼接 求可以拼成多少种边长不同的正方形 分析 1 根据小正方形 1张 大正方形 2张 长方形 3张 直 接画出图形 利用图形分解因式即可 2 由长方形 的周长为34 得出a b 17 由题意可知 小正方形 与大正方形 的面积之和为a2 b2 169 将a b 17两边同时平方 可求得 ab的值 从而可求得长方形 的面积 3 设正方形的边长为 na mb 其中 n m为正整数 由完全平 方公式可知 na mb 2 n2a2 2nmab m2b2 因为现有三种纸片各8 张 n2 8 m2 8 2mn 8 n m为正整数 从而可知n 2 m 2 从而 可得出答案 解答 解 1 如图 拼成边为 a 2b 和 a b 的长方形 a2 3ab 2b2 a 2b a b 2 长方形 的周长为34 a b 17 小正方形 与大正方形 的面积之和为169 a2 b2 169 将a b 17两边同时平方得 a b 2 172 整理得 a2 2ab b2 289 2ab 289 169 ab 60 长方形 的面积为60 3 设正方形的边长为 na mb 其中 n m为正整数 正方形的面积 na mb 2 n2a2 2nmab m2b2 现有三种纸片各8张 n2 8 m2 8 2mn 8 n m为正整数 n 2 m 2 共有以下四种情况 n 1 m 1 正方形的边长为a b n 1 m 2 正方形的边长为a 2b n 2 m 1 正方形的边长为2a b n 2 m 2 正方形的边长为2a 2b 点评 此题考查因式分解的运用 要注意结合图形解决问题 解题的 关键是灵活运用完全平方公式 17 2014秋 莱城区校级期中 1 有若干块长方形和正方形硬纸片 如图1所示 用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形 如图2 用两种不同的方法 计算图2中长方形的面积 由此 你可以得出的一个等式为 a2 2a 1 a 1 2 2 有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式 画出你的拼图 请你用拼图等方法推出2a2 5ab 2b2因式分解的结果 画出你的拼 图 分析 1 要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法 来推导 公式 2 要能根据等式画出合适的拼图 解答 解 1 长方形的面积 a2 2a 1 长方形的面积 a 1 2 a2 2a 1 a 1 2 2 如图 可推导出 a b 2 a2 2ab b2 2a2 5ab 2b2 2a b a 2b 点评 本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等 式 运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解 18 2013秋 海淀区校级期末 已知a b 1 ab 1 设s1 a b s2 a2 b2 s3 a3 b3 sn an bn 1 计算s2 2 请阅读下面计算s3的过程 因为a b 1 ab 1 所以s3 a3 b3 a b a2 b2 ab a b 1 s2 1 s2 1 4 你读懂了吗 请你先填空完成 2 中s3的计算结果 再用你学到的方 法计算s4 3 试写出sn 2 sn 1 sn三者之间的关系式 4 根据 3 得出的结论 计算s6 分析 1 2 利用完全平方公式进行化简 然后代入a b ab的 值 即可推出结论 3 根据 1 所推出的结论 即可推出Sn 2 Sn 1 Sn 4 根据 3 的结论 即可推出a6 b6 S6 S4 S5 2S4 S3 解答 解 1 S2 a2 b2 a b 2 2ab 3 2 a2 b2 a b a3 ab2 a2b b3 a3 b3 ab a b 3 1 a3 b3 1 a3 b3 4 即S3 4 S4 a2 b2 2 2 ab 2 7 S4 7 3 S2 3 S3 4 S4 7 S2 S3 S4 Sn 2 Sn 1 Sn 3 Sn 2 Sn 1 Sn S2 3 S3 4 S4 7 S5 4 7 11 S6 7 11 18 点评 本题主要考查整式的混合运算 完全平方公式的运用 关键在 于根据题意推出S2 3 S3 4 S4 7 分析归纳出规律 Sn 2 Sn 1 Sn 19 2013春 重庆校级期末 1 利用因式分解简算 9 82 0 4 9 8 0 04 2 分解因式 4a a 1 2 1 a 分析 1 利用完全平方公式因式分解计算即可 2 先利用提取公因式法 再利用完全平方公式因式分解即可 解答 解 1 原式 9 82 2 0 2 9 8 0 22 9 8 0 2 2 100 2 4a a 1 2 1 a a 1 4a2 4a 1 a 1 2a 1 2 点评 此题考查因式分解的实际运用 掌握平方差公式和完全平方公 式是解决问题的关键 20 2013春 惠山区校级期末 阅读材料 若m2 2mn 2n2 8n 16 0 求m n的值 解 m2 2mn 2n2 8n 16 0 m2 2mn n2 n2 8n 16 0 m n 2 n 4 2 0 m n 2 0 n 4 2 0 n 4 m 4 根据你的观察 探究下面的问题 1 已知x2 2xy 2y2 2y 1 0 求x y的值 2 已知 ABC的三边长a b c都是正整数 且满足a2 b2 6a 8b 25 0 求 ABC的最大边c的值 3 已知a b 4 ab c2 6c 13 0 则a b c 7 分析 1 将多项式第三项分项后 结合并利用完全平方公式化 简 根据两个非负数之和为0 两非负数分别为0求出x与y的值 即可求 出x y的值 2 将已知等式25分为9 16 重新结合后 利用完全平方公式化简 根据两个非负数之和为0 两非负数分别为0求出a与b的值 根据边长为 正整数且三角形三边关系即可求出c的长 3 由a b 4 得到a b 4 代入已知的等式中重新结合后 利用完全 平方公式化简 根据两个非负数之和为0 两非负数分别为0求出b与c的 值 进而求出a的值 即可求出a b c的值 解答 解 1 x2 2xy 2y2 2y 1 0 x2 2xy y2 y2 2y 1 0 x y 2 y 1 2 0 x y 0 y 1 0 解得x 1 y 1 x y 2 2 a2 b2 6a 8b 25 0 a2 6a 9 b2 8b 16 0 a 3 2 b 4 2 0 a 3 0 b 4 0 解得a 3 b 4 三角形两边之和 第三边 c a b c 3 4 c 7 又c是正整数 c最大为6 3 a b 4 即a b 4 代入得 b 4 b c2 6c 13 0 整理得 b2 4b 4 c2 6c 9 b 2 2 c 3 2 0 b 2 0 且c 3 0 即b 2 c 3 a 2 则a b c 2 2 3 7 故答案为 7 点评 此题考查了因式分解的应用 以及非负数的性质 熟练掌握完 全平方公式是解本题的关键 21 2012秋 温岭市校级期末 仔细阅读下面例题 解答问题 例题 已知二次三项式x2 4x m有一个因式是 x 3 求另一个因式 以及m的值 解 设另一个因式为 x n 得x2 4x m x 3 x n 则x2 4x m x2 n 3 x 3n n 3 4 m 3n 解得 n 7 m 21 另一个因式为 x 7 m的值为 21 问题 1 若二次三项式x2 5x 6可分解为 x 2 x a 则a 3 2 若二次三项式2x2 bx 5可分解为 2x 1 x 5 则b 9 3 仿照以上方法解答下面问题 已知二次三项式2x2 5x k有一个因 式是 2x 3 求另一个因式以及k的值 分析 1 将 x 2 x a 展开 根据所给出的二次三项式即可 求出a的值 2 2x 1 x 5 展开 可得出一次项的系数 继而即可求出b的 值 3 设另一个因式为 x n 得2x2 5x k 2x 3 x n 2x2 2n 3 x 3n 可知2n 3 5 k 3n 继而求出n和k的值及另一 个因式 解答 解 1 x 2 x a x2 a 2 x 2a x2 5x 6 a 2 5 解得 a 3 2 2x 1 x 5 2x2 9x 5 2x2 bx 5 b 9 3 设另一个因式为 x n 得2x2 5x k 2x 3 x n 2x2 2n 3 x 3n 则2n 3 5 k 3n 解得 n 4 k 12 故另一个因式为 x 4 k的值为12 故答案为 1 3 2分 2 9 2分 3 另一个因式是 x 4 k 12 6分 点评 本题考查因式分解的意义 解题关键是对题中所给解题思路的 理解 同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形 即互逆运 算 二者是一个式子的不同表现形式 22 2012春 郯城县期末 分解因式 1 2x2 x 2 16x2 1 3 6xy2 9x2y y3 4 4 12 x y 9 x y 2 分析 1 直接提取公因式x即可 2 利用平方差公式进行因式分解 3 先提取公因式 y 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分 解 4 把 x y 看作整体 利用完全平方公式分解因式即可 解答 解 1 2x2 x x 2x 1 2 16x2 1 4x 1 4x 1 3 6xy2 9x2y y3 y 9x2 6xy y2 y 3x y 2 4 4 12 x y 9 x y 2 2 3 x y 2 3x 3y 2 2 点评 本题考查了提公因式法与公式法分解因式 是因式分解的常用 方法 难点在 3 提取公因式 y后 需要继续利用完全平方公式进 行二次因式分解 23 2012春 碑林区校级期末 已知a b c是三角形的三边 且满足 a b c 2 3 a2 b2 c2 试确定三角形的形状 分析 将已知等式利用配方法变形 利用非负数的性质解题 解答 解 a b c 2 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 3a2 3b2 3c2 a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b 0 b c 0 c a 0 a b c 故 ABC为等边三角形 点评 本题考查了配方法的运用 非负数的性质 等边三角形的判 断 关键是将已知等式利用配方法变形 利用非负数的性质解题 24 2011秋 北辰区校级期末 分解因式 1 2x4 4x2y2 2y4 2 2a3 4a2b 2ab2 分析 1 原式提取公因式后 利用平方差公式分解即可 2 原式提取公因式 利用完全平方公式分解即可 解答 解 1 2x4 4x2y2 2y4 2 x4 2x2y2 y4 2 x2 y2 2 2 x y 2 x y 2 2 2a3 4a2b 2ab2 2a a2 2ab b2 2a a b 2 点评 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用 提取公因式后利 用公式进行二次分解 注意分解要彻底 25 2011秋 苏州期末 图 是一个长为2m 宽为2n的长方形 沿图 中虚线用剪刀平均分成四块小长方形 然后按图 的形状拼成一个正方 形 1 图 中的阴影部分的面积为 m n 2 2 观察图 请你写出三个代数式 m n 2 m n 2 mn之间的 等量关系是 m n 2 m n 2 4mn 3 若x y 7 xy 10 则 x y 2 9 4 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图 它表示了 m n 2m n 2m2 3mn n2 5 试画出一个几何图形 使它的面积能表示 m n m 3n m2 4mn 3n2 分析 1 可直接用正方形的面积公式得到 2 掌握完全平方公式 并掌握和与差的区别 3 此题可参照第 2 题 4 可利用各部分面积和 长方形面积列出恒等式 5 可参照第 4 题画图 解答 解 1 阴影部分的边长为 m n 阴影部分的面积为 m n 2 2 m n 2 m n 2 4mn 3 x y 2 x y 2 4xy 72 40 9 4 m n 2m n 2m2 3mn n2 5 答案不唯一 例如 点评 本题考查了因式分解的应用 解题关键是认真观察题中给出的 图示 用不同的形式去表示面积 熟练掌握完全平方公式 并能进行变 形 26 2009秋 海淀区期末 已知a b c满足a b 8 ab c2 16 0 求 2a b c的值 分析 本题乍看下无法代数求值 也无法进行因式分解 但是将已知 的两个式子进行适当变形后 即可找到本题的突破口 由a b 8可得 a b 8 将其代入ab c2 16 0得 b2 8b c2 16 0 此时可发现b2 8b 16 正好符合完全平方公式 因此可用非负数的性质求出b c的值 进而可 求得a的值 然后代值运算即可 解答 解 因为a b 8 所以a b 8 1分 又ab c2 16 0 所以 b 8 b c2 16 0 2分 即 b 4 2 c2 0 又 b 4 2 0 c2 0 则b 4 c 0 4分 所以a 4 5分 所以2a b c 4 6分 点评 本题既考查了对因式分解方法的掌握 又考查了非负数的性质 以及代数式求值的方法 27 2010春 北京期末 已知 一个长方体的长 宽 高分别为正整 数a b c 且满足a b c ab bc ac abc 2006 求 这个长方体的体积 分析 我们可先将a b c ab bc ac abc分解因式可变为 a 1 b 1 c 1 1 就得 1 b c 1 a 1 2007 由于a b c 均为正整数 所以 a 1 b 1 c 1 也为正整数 而2007只 可分解为3 3 223 可得 a 1 b 1 c 1 的值分别为3 3 223 所以a b c值为2 2 222 就可求出长方体体积abc了 解答 解 原式可化为 a ab c ac ab abc b 1 1 2006 a 1 b c 1 b ac 1 b 1 b 1 2006 1 b a c ac 1 b 2007 1 b c 1 a ac 2007 1 b c 1 a 1 2007 2007只能分解为3 3 223 a 1 b