高中数学-函数与方程.doc

函数与方程知识要点：1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(xx1)(xx2)；y=a(xx0)2+n。（2）当a0，f(x)在区间p，q上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。若p，则f(p)=m，f(q)=M；若px0，则f()=m，f(q)=M；若x0q，则f(p)=M，f()=m；若q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的两根都大于r 二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。典型例题：题型1：方程的根与函数零点例1（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)练习：函数的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)例2.已知函数f(x)2mx4，若在2,1上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是.练习：若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.练习：设a为常数，试讨论方程的实根的个数。题型2：零点存在性定理例3设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。练习：若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得； D若，有可能不存在实数使得；练习：若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 .练习：已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是 .练习：求证方程在内必有一个实数根.例4已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.练习：(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.有且仅有一个零点;有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.例5. 已知二次函数在区间-1，1内至少存在一个实数c，使f（c）0，求实数p的取值范围练习：已知二次函数f（x）=x2-16x+p+3（1）若函数在区间-1，1上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数q（q0），当xq，10时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q（注：区间a，b（ab）的长度为b-a）练习：已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.【思维总结】1函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质（1）二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数（2）数形结合：二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图