导数学案学生版.doc

3.1导数的概念及运算最新考纲1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)概念方法微思考1根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)f(x0).()(3)(2x)x2x1.()题组二教材改编2若f(x)xex，则f(1) .答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为 答案2xy10解析y，y|x12.所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5若f(x)，则f_.答案解析f(x)，f.6(2017天津)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为 答案1解析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1已知f(x)sin ，则f(x) .答案cos x解析因为ysin sin x，所以y(sin x)cos x.2已知y，则y_.答案解析y.3f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0 .答案1解析f(x)2 019ln xx2 020ln x，由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，x01.4若f(x)x22xf(1)，则f(0) .答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错2(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1 (1)(2018湖北百所重点高中联考)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A1 B1 C2 D2答案A解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，f(1)1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k1.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例2 (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab .答案1解析由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m .答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以22，所以a的取值范围是(，2)1已知函数f(x)cos x，则f()f等于()2(2018衡水调研)设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()3曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10 D3xy104设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是()5已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B.C. D.6(2018广州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae Be C. D7(2018鹰潭模拟)已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为 8.已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_.9若曲线yln x的一条切线是直线yxb，则实数b的值为 10(2018云南红河州检测)已知曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a_.11.已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1，则f(1) ；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为 (用“0，即m即可，故选B.14(2018泰安模拟)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，求ab的值解依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin 020b，得b0.又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.15给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”已知函数f(x)5x4sin xcos x的“拐点”是M(x0，f(x0)，则点M()A在直线y5x上B在直线y5x上C在直线y4x上D在直线y4x上答案B解析由题意，知f(x)54cos xsin x，f(x)4sin xcos x，由f(x0)0，知4sin x0cos x00，所以f(x0)5x0，故点M(x0，f(x0)在直线y5x上16已知函数f(x)x.(1)求曲线f(x)过点(0，3)的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)f(x)1，设切点为(x0，y0)，则曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，切线过(0，3)，3(x0)，解得x02，y0，所求切线方程为y(x2)，即yx3.(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为yn(xm)，即y(xm)，令x0，得y，从而切线与直线x0的交点为，令yx，得yx2m，从而切线与直线yx的交点为(2m,2m)，点P(m，n)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2m|6，为定值3.2导数的应用最新考纲1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)函数的极大值一定大于其极小值()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()题组二教材改编2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数3函数f(x)exx的单调递增区间是_答案(0，)解析由f(x)ex10，解得x0，故其单调递增区间是(0，)4当x0时，ln x，x，ex的大小关系是_答案ln xxex解析构造函数f(x)ln xx，则f(x)1，可得x1为函数f(x)在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)f(1)10，所以ln xx.同理可得xex，故ln xxex.5现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_答案a3解析容积V(a2x)2x,0x，则V2(a2x)(2x)(a2x)2(a2x)(a6x)，由V0得x或x(舍去)，则x为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmaxa3.题组三易错自纠6函数f(x)x3ax2ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是_答案3,0解析f(x)3x22axa0在R上恒成立，即4a212a0，解得3a0，即实数a的取值范围是3,07(2018郑州质检)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_答案4解析f(x)x23xa，且f(x)恰在1,4上单调递减，f(x)x23xa0的解集为1,4，1,4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.8若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.9已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_答案解析f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.故选B.2函数f(x)xexex1的递增区间是()A(，e) B(1，e)C(e，) D(e1，)答案D解析由f(x)xexex1，得f(x)(x1e)ex，令f(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的递增区间是(e1，)3已知函数f(x)xln x，则f(x)的单调递减区间是_答案解析因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a0)试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.当0a0，则x，令f(x)0，则0x1时，令f(x)0，则x0或x，令f(x)0，则x0.综上所述，当0a1时，f(x)在和(0，)上单调递增，在上单调递减 题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2 (1)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23，若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0答案A解析因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时，a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)上单调递增，且g(1)20，所以g(a)0，g(b)0得b(1,2)，又f(1)e10，所以f(b)0.综上可知，g(a)0f(b)(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Abac Bacb Cabc Dcab答案D解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f(x)为R上的偶函数，所以 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D.(3)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x)f(x)(m2 019)f(2)，则实数m的取值范围为()A(0,2 019) B(2 019，)C(2 021，) D(2 019,2 021)答案D解析令h(x)，x(0，)，则h(x).xf(x)f(x)0，h(x)(m2 019)f(2)，m2 0190，即h(m2 019)h(2)m2 0190，解得2 019m0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析当x0时，0，(x)在(0，)上为减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2根据函数单调性求参数例3 (2018石家庄质检)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2 (1)(2018安徽江南十校联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B4，)C(，2 D(0,3答案A解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)x，由f(x)0，解得0x3，由题意知解得12，a2.用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法例 已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性解g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)2(2018济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)3函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()4已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)5已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)17已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf Bff(1)C.ff D.ff8(2018昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_11已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间12(2018信阳高级中学模拟)已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性13定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，令g(x)，g(x)在(0，)上单调递增，又由2f(x)0，即4.xf(x)3f(x)0，0，令h(x)，h(x)在(0，)上单调递减，即8.综上，40在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是.15对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)2x36x24，则ggg_.答案0解析g(x)6x212x，g(x)12x12，由g(x)0，得x1，又g(1)0，函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)g(2x)0，gggg(1)0.16已知函数f(x)ax2(a1)xln x(a0)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)ax(a1)(x0)，当0a1，由f(x)0，解得x或0x1，由f(x)0，解得1x1时，00，解得x1或0x，由f(x)0，解得x1.综上，当0a1时，f(x)在(1，)和上单调递增，在上单调递减第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求已知函数的极值例2(2018泉州质检)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值解f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a，当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值命题点3根据极值(点)求参数例3若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析因为f(x)x2x1，所以f(x)x2ax1.函数f(x)x2x1在区间上有极值点，可化为x2ax10在区间上有解，即ax在区间上有解，设t(x)x，则t(x)1，令t(x)0，得1x4，令t(x)0，得x0，解得x1；由f(x)0，解得x0，得0x1，由f(x)1，f(x)1ln x在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减，f(x)在上的最大值为f(1)1ln 10.又f1eln2e，f(e)1ln e，且ff(e)，f(x)在上的最小值为f2e.f(x)在上的最大值为0，最小值为2e.思维升华 (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪训练2(2017北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上