第1节 映射与变换.ppt

1映射与变换 重点1 单射 满射 双射 逆映射概念 2 映射复合定义与性质 3 单射和双射的性质 如果存在一个对应 法则f 一 映射定义 通过这个法则f 使得S中的每一个元素a 则称f为 记为 称为a在映射f下的象 都有中一个唯一确定的元素与它对应 设S和是给定的两个非空集合 S到的一个映射 映射简单记为 或 为了强调对应法则也可记为 1 映射定义 设映射 集合S到S自身的映射称为S的一个变换 显然 称为S在映射f下的象集 注意f表示映射的对应规则 区分函数与映射 映射与变换概念之间关系 两个映射相等是指对任意元素 它们的像相等 集合 注释1 前提是定义域相同 例1判断下列S到对应法则是否为映射 例3任意一个在实数集R上的函数都是 即I把S上的每个元素映到它自身 I是一个映射 实数集R到自身的映射 称I为S上的恒等映射或单位变换 的一个特殊情形 例2S是一个集合 定义映射 注意映射乘法中起的作用 见下面的注释 即函数可以看成是映射 记为 2 特殊映射 则称f是S到的一个单射 如果S中不同元素的像也不同 如果f既是单射又是满射 则称f为双射 1 若 即对任意的 均存在 如果 存在 使得 则称f是S到的满射 即 假设有一个映射 对有限集来说 两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同 单射条件 对有限集A及其真子集B A与B之间不可能存在双射 但是对于无限集未必如此 例如 注释2 证明映射是单射和满射的方法只有定义法 其中单射用定义的逆否命题 满射相当于解方程 称gf是映射f和g的复合或乘积 定义新的映射 二 映射的复合与逆映射 设有两个映射 注释2 1 对任意映射 和映射复合定义容易验证 由单位变换 单位变换在映射乘法中起的作用类似1在数的乘法中起的作用 2 映射的复合不满足交换律 见教材例子 定理1 1 映射的复合满足结合律 即若有三个映射 则 证明 下面利用映射相等定证明之 映射相等满足什么条件 首先 gh f和g hf 都是S到的映射 齐次 对任意的 由映射乘法的定义得 对于两个映射 如果 则称f是可逆的映射并且称g是f的逆映射 映射可逆的条件是什么 可逆映射的逆映射唯一吗 函数中的反函数与此有关吗 定理2 2 1 映射可逆的充分必要条 件是f是双射 2 可逆映射的逆映射是唯一的 证明 1 假设f是可逆的 令f的一个逆映射为 则由逆映射的定义知 对任意的 如果 则 单射 对任意的 记 则 满射 假设f是双射 既然f是满射 于是对任意的 存在 使得 并且由f是单射知对应于的a是唯一的 利用f定义新的映射 如果 容易验证 因此 f可逆并且g是f的一个逆映射 2 见教材 由于可逆映射的逆映射是唯一的 于是把可逆映射 f的逆映射记为 从上面的证明知可逆映射与其逆映射之间的关系 注意如果f是函数 则它的逆映射就是反函数 显然 f可逆时 也可逆并且 例1 1 如果f g都是单射 则gf也是单射 则gf也是满射 2 如果f g都是满射 则gf也是双射并且 3 如果f g都是双射 证明 1 假设并且 g是单射 f是单射 假设有两个映射 gf是单射 2 对