非牛顿流体的流动

高等流体力学,8 非牛顿流体的流动,水、空气和润滑油等是化学结构比较简单的低分子流体，其运动遵循牛顿内摩擦定律，即剪切应力与流速梯度 成线性关系，如下式所示：,(1),这一类流体称为牛顿流体。上式中的是在任意给定温度、压强条件下牛顿流体流动的特征性比例常数，此比例常数即所谓流体粘度(动力粘性系数)。,8 非牛顿流体的流动,非牛顿流体的流动涉及国民经济的许多部门，如化工、轻工、食品、石油、水利、建筑、冶金等等。,(2),含蜡原油、泥浆、油漆、高分子熔体和溶液、生物流体(动物关节液、血液、植物粘液等)、乳浊液及悬浮液等具有复杂内部结构的流体，其流动一般不服从牛顿内摩擦定律，因而称为非牛顿流体。只有牛顿流体才具有一种可以严格地称之为粘度的概念，所有非牛顿流体都需要两个或两个以上参数来描述其粘稠特性。但为了方便起见，引入表观粘度(或称视粘度)来近似描述非牛顿流体的粘稠特性。,8 非牛顿流体的流动,8 非牛顿流体的流动,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程 8.2 非牛顿流体的结构流8.3 塑性流体的流动规律8.4 幂律流体的流动规律8.5 卡森流体在圆管中的结构流 8.6 管流研究的特性参数法 8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.1.1 非牛顿流体的分类 非牛顿流体力学的研究对象主要是流体，它要研究的是流体的流动与变形，因此，非牛顿流体力学就是研究流体流变学的科学，也可称为流体流变学。 (1) 材料的分类 因为非牛顿流体力学研究的流体，有的既具有固体的性质(弹性)，又有流体的性质(粘性)， 所以我们先从流变学观点对材料进行分类。,i 超硬刚体 这是一种绝对刚体，也称欧几里得刚体。刚体的粘度无限大，在任何外力下不发生形变。ii 弹性体 在外力作用下发生形变，外力解除后，形变完全恢复。 按变形和回复时间又可分为三种： (a)理想弹性体:形变和回复瞬时完成，遵守胡克定律， 即应力与应变成线性关系。 (b)非胡克弹性体:形变和回复瞬时完成，但不遵守胡克定律。 (c)高弹体:形变和回复都需要一定的时间(松弛时间)。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,iii 超流动体 超流动体也称帕斯卡液体，其粘度无限小，任何微小的力都能引起大的流动。例如：液态氦 流体 任何微小的外力都能引起永久变形(不可逆流动)。 塑性体 应力达到一临界值时，这种物体才发生流动，且其形变完全不可逆。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程, 塑弹体 这种物体在外力作用下既有塑性流动，又有弹性变形，形变不能完全回复。且以弹性形变为主，塑性流动为副。 粘弹体 在外力作用下既有粘性流动，又有弹性形变，形变缓慢，不遵守胡克定律，外力解除后留下永久变形。这种物体以粘性流动为主，以弹性形变为副。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(2) 流体的分类 i 按照剪切应力与变形率之间的关系，可将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。 牛顿流体是均匀单一的流体，而非牛顿流体一般是由液相、固相组成的混合体。 ii 按照有无粘性的特点，可将流体分成粘性流体和理想流体。 粘性流体又可分为纯粘性流体和既具有粘性又具有弹性的粘弹性流体两大类,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(a) 纯粘性流体在撤除剪切应力后，它们在受剪切应力作用期间的任何形变都不会回复； (b) 而粘弹性流体在撤除剪切应力后，它们在受剪切应力作用期间所产生的形变会完全或部分地得到回复。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,表1 粘性流体的分类,本构方程是描述物质对所受力的力学响应的方程，也称为流变方程。 描述流体剪切应力和流速梯度之间关系的方程，称为流体的本构方程，它只决定于流体本身的性质，是研究流动问题的前提条件，对流动问题的解具有实质性的影响。 由于影响非牛顿流体性质的因素比较复杂，通常采用实验方法建立剪切应力与流速梯度之间的关系曲线，称为流变曲线。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.1.2 与时间无关的纯粘性非牛顿流体 (1) 塑性流体 这一类型的流体有泥浆、油漆、稀润滑脂和牙膏等。在某种程度上，这种流体是一种极端情况或理想情况，它需要有一定的剪切应力才开始流动，而当超过起动应力之后，剪切应力与流速梯度呈线性关系。原因是这类流体的结构性较强，加力后不能立即改变其牢固的网状结构，所加的力必须足以破坏其结构性，使其产生剪切变形，流体才会开始流动。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,图中为开始发生流动时需要克服的切应力，称为极限静切应力。0为直线段延长线与横轴的交点处的虚拟切应力，是为计算方便而采用的，称为极限动切应力。而1是曲线段与直线段交点所对应的切应力，称为极限切应力上限值。极限静切应力亦称屈服值(或屈服应力)。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(2) 假塑性流体 这种流体在很小的剪切应力作用下即开始运动，随着剪切速率的增加，其表观粘度下降，即所谓剪切变稀特性。其流变曲线如图1中的曲线所示。 有些物料很象塑性流体的特性，表现出屈服应力，但流动起始后，剪切应力与其流速梯度之间的关系却是非线性的，其流变曲线凸向剪切应力轴，如图1中的曲线所示。表现出这一特性的流体称为屈服-假塑性流体。 另一种不太常见的情况是曲线凹向剪切应力轴，称为屈服-膨胀性流体。许多泥土-水以及类似的悬浮液，尤其是中等浓度时，属于屈服-假塑性流体。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(3) 膨胀性流体 膨胀性流体与假塑性流体相比很少遇见，表面活性剂溶液及固体含量较高的悬浮液(如淀粉糊、石灰浆、适当比例的水和砂子混合物等)，属于膨胀性流体。膨胀性流体在一个无限小的剪切应力作用下就能开始流动，其剪切应力随剪切速率的增长率(表观粘度)是随剪切速率的增加而增加的，即它属于剪切增稠型流体。其流变曲线如图1中的曲线所示。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.1.3 与时间有关的非牛顿流体(1) 触变性流体和震凝性流体 非时变性非牛顿流体的结构随剪切作用而改变，但其结构的调整是在瞬时完成的，因而其表观粘度只随剪切速率而改变。有些流体的表观粘度不仅是剪切速率的函数，而且还与其受剪切作用的时间有关。 这类物质体系的结构对剪切作用十分敏感，其结构的调整却相当缓慢。由于流体的力学性质受系统结构变化的影响，因此，在结构调整的时段内，流变性质也随时间而变化，直到新的平衡结构形成为止。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,该物质系统中的结构在不断地形成，同时也在不断地遭受破坏。所谓平衡结构是指结构的形成速度与其被破坏的速度相等，也就是一种动平衡状态。 与时间有关的纯粘性非牛顿流体包括触变性流体和震凝性流体。 A 触变性流体在恒定的剪切速率下其表观粘度(或剪切应力)随剪切时间而变小，经过一段时间t0后，形成平衡结构，表观粘度才趋近于常数。如图2所示。 B 震凝性流体与触变性相反，在恒定的剪切速率下表观粘度随时间而增大，一般也在一定时间后达到结构上的动平衡状态。如图3所示。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(2) 粘弹性流体 粘弹性流体可认为是纯粘性流体和达到其屈服应力之前能完全恢复其形变的纯弹性固体之间的物质。粘弹性流体既具有部分弹性恢复效应，又具有与时间无关及与时间有关的两大类非牛顿流体的粘性效应，它是最一般的流体。 豆荚植物胶、田菁粉及某些浓度下的聚丙烯酰胺水溶液属于粘弹性流体。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(3) 粘弹性流体的一些奇特物理力学现象i 韦森堡(Weissenberg)效应 当将一支快速旋转的圆棒插入牛顿流体时，在圆棒周围会形成一个凹形液面。若将此旋转着的圆棒插入粘弹性流体，则流体有沿着旋转圆棒向上爬的趋向, 韦森堡于1944年在英国帝国理工学院公开演示了这一有趣的实验，因此，这一现象被称为韦森堡效应，俗称爬杆效应。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,i 韦森堡(Weissenberg)效应,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,ii 挤出胀大和弹性回复效应(Barus效应) 粘度相当的牛顿流体和粘弹性流体，当它们分别从大容器中通过直径为D的细圆管流出时，牛顿流体形成射流收缩，而粘弹性流体的流束直径De比圆管内径要大，这一现象称为挤出胀大效应或Barus效应。当突然停止挤出，并剪断挤出物，挤出物会发生回缩，称为弹性回复效应。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,ii 挤出胀大和弹性回复效应(Barus效应),8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,iii 无管虹吸现象 无管虹吸现象是粘弹性流体具有高拉伸粘度的作用结果。在牛顿流体的虹吸实验中，当虹吸管提离液面，虹吸就停止了。而有些粘弹性流体很容易表演无管虹吸实验，即使把虹吸管提得很高，液体还能从杯中吸起。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,iii 无管虹吸现象,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程, 湍流减阻现象(Toms效应) Toms在1948年发现高分子聚合物稀溶液的湍流摩擦阻力比纯溶剂的阻力明显减小，这个异常现象称为湍流减阻现象或Toms效应。由于Toms效应可降低流体机械和流体输送过程的能量消耗，因而已成为近代流体力学的一个热门研究课题。 如在水中加入50mg/L的聚乙烯氧化物，其结果使湍流条件下的摩阻降低30%；在消防水中添加少量聚乙烯氧化物，可使消防车龙头喷出水的扬程提高一倍以上。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.1.4 常用的流变方程 不同类型的非牛顿流体具有不同的流变方程，即使是同一种流体，在不同温度、压强条件下，其流变关系也不相同。 由于非牛顿流体结构上的复杂性，很难获得具有普遍适用性的通用流变模式，因此通常采用实验手段来获得某一种类非牛顿流体的流变关系。 不同的研究者提出了不同的流变方程，这些方程都有其特定的适用条件。下面介绍几种常用的流变方程，它们只适用于与时间无关的纯粘性非牛顿流体。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(1) 宾汉(Bingham)方程 根据塑性流体的流变曲线，可以写出如下关系式:,式中： 为极限动切应力， 称为结构粘度(或称塑性粘度)。上式称为宾汉方程，符合宾汉方程的流体称为宾汉流体，塑性流体也称为宾汉流体。,(3),宾汉流体的表观粘度为：,由此可以看出，宾汉流体的表观粘度是随流速梯度而变化的。,(4),8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(2) 幂律方程 这是工程上应用最为广泛的一种流变模式，它适用于假塑性流体和膨胀性流体。其形式为:,式中：K为稠度系数，取决于流体的性质，其国际单位为Pasn；n为流性指数，无量纲，其值的大小表征了该流体偏离牛顿流体的程度。对假塑性流体：n1；对于膨胀性流体：n1；对于牛顿流体：n1。,(5),满足幂律方程的流体也称为幂律流体。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,幂律流体的表观粘度为：,(6),具有屈服应力的幂律方程适用于屈服假塑性流体和屈服膨胀性流体，其流变方程为,(7),这是具有普遍适用性的流变模式，它也适用于塑性流体，此时K ，n1。若 0，K，n1，则上式变为描述牛顿流体的本构方程。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,(3) 卡森(Casson)方程 这一方程由卡森于1959年提出，当仅有低、中剪速下的资料可以利用时，卡森方程能较精确地反映出高剪速下的表观粘度。,卡森方程的形式为：,(8),式中： 为表观粘度； 为极限高剪切速率下的粘度，称卡森粘度； 为动剪切应力，称为卡森屈服应力。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,符合卡森方程的非牛顿流体称为卡森流体，卡森流体的流变曲线可以在平方根坐标系上表示，如下图所示：它是以 为横坐标、 为纵坐标绘出的一条直线。该直线的斜率为 (称卡森C值)，截距为 。,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.1 非牛顿流体的分类及其流变方程,8.2 非牛顿流体的结构流,类似于牛顿流体的流动特征，非牛顿流体的流动也可以按照质量守恒、受力平衡和能量守恒规律，引入不同的本构关系，推导出相应的连续性方程、运动方程和能量方程。非牛顿流体也具有层流和湍流两种流动状态。8.2.1 塑性流体管流受力分析 以塑性流体在圆管中的流动为例，当作用在流体上的外力小于或等于极限静切应力时，流体处于静平衡状态；当作用在流体上的外力超过极限静切应力时，流体开始流动，即处于动平衡状态。 静平衡状态一般指流体在压力、重力和阻力作用下的平衡。,如图8所示倾斜管路中的塑性流体，当管路倾角大到一定程度时，作用在流体上的压力、重力和极限静切应力造成的阻力达到极限平衡状态，倾角再增大流体就会流动。,8.2 非牛顿流体的结构流,根据图8可建立如下力平衡关系,式中：p1、p2液柱两端的压强； d 液柱直径； L 液柱长度； 管路倾角； 极限静切应力； G 液柱受到的重力， (为流体密度)。,8.2 非牛顿流体的结构流,将上式整理，可得,或,若管路为水平放置，即=0，sin=0，则,式中：R管子半径。,(10),(9),8.2 非牛顿流体的结构流,根据上述分析，可利用图9所示的U形管，自其右端加入塑性流体，来测定塑性流体的极限静切应力。,在U形管中的流体在极限状态下具有如下力平衡关系:,8.2 非牛顿流体的结构流,式中：h U形管右端加入塑性流体的极限高度;,L U形管内液柱总长(可忽略管子曲度，按中心 线计)。,于是,或,(11),由此可以看出，在连通器中的两液面高差与塑性流体性质、连通器形状及尺寸均有关，这一现象与牛顿流体的特点完全不同。,8.2 非牛顿流体的结构流,8.2.2 结构流 当作用在流体上的外力超过极限静切应力造成的阻力时，塑性流体便开始流动。为了简便起见，取水平管路中的流体分析，其极限静切应力满足式(10)。今将流体开始流动时外界所施加的压差计为，以极限动切应力0代替极限静切应力，这样便于采用宾汉方程处理问题。,于是有,或,(12),(12a),8.2 非牛顿流体的结构流,在极限状态下，半径为R处(管壁)的流体推动力超过了由于极限动切应力所产生的阻力，故仅在管壁处的塑性流体产生形变(开始流动)，而半径小于R处的流体仍然处于相对静止状态。若不增大压差，则半径R以内的流体仍紧聚在一起，此种流态称为塞流，如图10所示。塞流中各流层速度相同，没有流速梯度。,当水平管路两端的压差大于时，管壁附近的各流层依次开始流动，使得管路中心的流体以相同的速度，象圆柱体一样向前运动，这部分流体称为流核，流核内部的流层间没有相对运动，具有流核的流体流动称为结构流。流核以外的部分各流层间速度不同，具有流速梯度，称为流速梯度区。,8.2 非牛顿流体的结构流,随着管路两端压差的增大，流速梯度区逐渐扩大，而流核逐渐变小直至消失，形成与牛顿流体类似的层流。如果压差继续增加，则管路中的塑性流体将转化为湍流流动状态。由塞流直到形成湍流前的整个区域都称为结构流，如图11所示。由此可见，塞流和层流是结构流的两个极端情况。,8.2 非牛顿流体的结构流,8.2 非牛顿流体的结构流,具有屈服应力的非牛顿流体，都可以分为结构流和湍流两种流动状态。对于不具屈服应力的非牛顿流体，其流态则仍划分为层流和湍流两种状态。划分结构流和湍流或层流和湍流的标准，一般仍用雷诺数，但雷诺数的表达式与牛顿流体时有所不同，这将在后面讨论。 类似于牛顿流体的层流，对于非牛顿流体的结构流或层流，可以完全从理论分析得出流速分布、阻力分布、流量、平均流速以及沿程水头损失等的表达式。而对于湍流则必须依靠实验进行。,8.2 非牛顿流体的结构流,8.3 塑性流体的流动规律,塑性流体在圆管中的定常流动可以划分为结构流和湍流两种流动状态。本节根据流体受力平衡的关系，分析塑性流体结构流的阻力、流速分布以及流量和压降的关系，进而找出判别塑性流体流态的雷诺数和计算沿程水头损失的表达式。,在一定的压差作用下，塑性流体沿水平圆管作定常结构流，如图12所示。设管子半径为R，流核半径为r0，取流速梯度区任意半径r的一段液柱进行受力分析。半径r处的流速为u，内摩擦应力为，液柱两端的压差为pp1-p2，其受力平衡关系为,8.3 塑性流体的流动规律,8.3.1 结构流状态下圆管内的流量和压降,即,(13),该式表明，在流速梯度内，单位面积上的摩擦阻力与半径成线性关系。,当rr0，即在流核表面上，可得到极限动切应力的表达式,(14),据此可确定流核半径,(15),8.3 塑性流体的流动规律,由此可以看出，流核半径与所施加的压差成反比，即压差愈大，流核半径愈小，而压差达到一定程度后，流核必将消失。上述结果还表达出了极限动切应力0与压差的关系。,将宾汉方程,中的和0分别代之以式(13)和式(14)，则,或,8.3 塑性流体的流动规律,积分上式，从管壁到流速梯度区的任意点处(Rr)，流速从0变化到u，则,即,(16),此乃宾汉流体作结构流时流速梯度区的流速分布公式。,当rr0时，可得到流核流速，即,8.3 塑性流体的流动规律,管路中的总液流量由两部分组成，即流核部分的流量Q0和流速梯度区中的流量Q1，总流量QQ0+Q1 。现分别计算如下：,8.3 塑性流体的流动规律,(17a),总流量为,即,上式表达了塑性流体在结构流状态下的管路特性，即流量Q与压降p之间的函数关系。,当结构流的流核较小时，r04 R4，则可忽略式(18)中的高次项，得,(18),(19),(17b),8.3 塑性流体的流动规律,8.3.2 结构流的断面平均流速和水力坡降,由式(19)得到塑性流体圆管结构流的断面平均流速,考虑到流核半径表达式(15)，并用管路直径D取代半径R，上式可写成,对于水平放置的圆形直管，其水力坡降为,8.3 塑性流体的流动规律,(20),即,此水力坡降表达式中的第一项是牛顿流体作层流运动时由粘性阻力引起的水力坡降，第二项则可视为在结构流状态下塑性流体由于具有网状结构而引起的水力坡降。如流体不具有网状结构，即 ，则上式就是牛顿流体层流流动时的水力坡降。,8.3.3 判别塑性流体流态的综合雷诺数,注意到塑性流体结构流与牛顿流体层流之间的类似性，将圆管内塑性流体结构流的水力坡降表达式(21)与牛顿流体层流时的水力坡降表达式,(21),8.3 塑性流体的流动规律,进行对比，并参照牛顿流体层流时的沿程水力摩阻系数表达式，64/Re，便可得出判别塑性流体流动状态的综合雷诺数。,将式(21)写成,其中：,(22),(23),8.3 塑性流体的流动规律,式中：仍为沿程水力摩阻系数；Re综称为综合雷诺数，是判别塑性流体结构流和湍流的标准。图13给出了随Re综变,化的实验结果，它表明了以Re综判别塑性流体的流动状态是正确的。Re综的临界值为,(24),当Re综2000时，流动为结构流；当Re综2000时，流动为湍流。,塑性流体综合雷诺数表达式(23)与牛顿流体的雷诺数 D/相比，其中多了粘度修正项0D/(6pV)，它是屈服应力,0与6倍平均粘性应力pV/D 的比值。,8.3 塑性流体的流动规律,8.3 塑性流体的流动规律,8.3.4 水头损失的计算,对非牛顿流体流动的水头损失，也可用牛顿流体流动的水头损失公式来计算。,沿程水头损失仍然采用达西公式的形式,(25),结构流时的沿程水力摩阻系数,湍流时的沿程水力摩阻系数，根据现场资料和实验分析，人们曾提出若干不同的经验公式，其中常用的为:,8.3 塑性流体的流动规律,(26),上述沿程水力摩阻系数也可由图13查得。,局部水头损失可采用下式计算,(27),或,(28),8.3 塑性流体的流动规律,其中的局部阻力系数及当量长度L当，在结构流时为变数，一般随雷诺数的减小而增大；在湍流时则近乎常数。关于这方面的经验及数据不太多，通常需自行实验确定。因实验条件的差异，所得的结果会有较大出入，因而需要查阅相关的资料。在进行粗略估算时，可取牛顿流体的实验资料，在此基础上加大一定的百分数。 在钻井工程和采油工程中，经常会遇到环形空间中的塑性流体流动问题。下面考虑环形空间内的沿程水头损失，此项计算可采用引入当量直径D当的办法。,8.3 塑性流体的流动规律,式中：V 环形空间中流体的平均流速； D当 环形空间断面的当量直径， D当= D外+ D内； D外 外管内径； D内 内管外径。,(29),8.3 塑性流体的流动规律,根据宾汉流体在环形空间作结构流的理论分析和数学推导，此时的综合雷诺数为,(30),实验表明，Re综环的临界值仍可采用2000，而沿程水力摩阻系数为,结构流,湍流,当Re综环较小时，取高值；当Re综环较大时，取低值。,8.3 塑性流体的流动规律,8.4 幂律流体的流动规律,用幂律方程可以描述假塑性流体和膨胀性流体的流变特性。对管路中的流动，幂律方程可写成:,流变指数n1时，适用于假塑性流体；n1时，上式适用于膨胀性流体。,对于具有屈服应力的假塑性流体或膨胀性流体，由于其存在结构流流态，因而可按塑性流体的分析方法进行研究。本节只讨论不具有屈服应力的幂律流体。,(32),8.4.1 层流状态下圆管内的流量和压降 由于幂律流体不具结构性，其在圆管内的阻力分布与牛顿流体完全相同。对于水平圆管内的定常流动，其切应力在全管内都满足:,8.4 幂律流体的流动规律,将此式代入式(32)，即:,或,此乃幂律流体圆管层流时的流速分布公式。,积分上式，从管壁到轴心处 (Rr)，流速从0变化到u，则:,(33),8.4 幂律流体的流动规律,即,管路中的流量:,(34),上式表达了幂律流体在层流状态下的管路特性，即流量Q与压降p之间的函数关系。,8.4 幂律流体的流动规律,或,最大流速在管轴心处，将r=0代入式(33)，得：,或,(35),8.4 幂律流体的流动规律,8.4.2 断面平均流速 由式(34)可求得幂律流体圆管层流断面平均流速:,(36),8.4 幂律流体的流动规律,(37),将式(33)与式(35)相除，可得到无因次速度分布：,8.4 幂律流体的流动规律,流变指数n值不同，可以得到不同类型幂律流体的无因次速度分布。图14是几种不同n值的幂律流体无因次速度分布曲线。n值愈小，流速分布愈均匀；n值愈大，流速分布愈不均匀。当n1时，为假塑性流体的流速分布(如n=1/3)；n=0为假塑性流体的极限情况，此时u=V，可以看作是理想流体的柱塞运动；n=1为牛顿流体的抛物线速度分布；当n1时，为膨胀性流体的流速分布(如n=3)；n=为膨胀性流体的极限情况，此时的流速分布极不均匀，管中心的最大流速达到平均流速的3倍。,(38),8.4 幂律流体的流动规律,8.4.3 幂律流体层流流动的沿程水头损失 及雷诺数 由幂律流体圆管层流断面平均流速的表达式(35)，可得到如下压降关系式:,对于水平放置的圆形直管，其沿程水头损失为：,8.4 幂律流体的流动规律,其中:,(40),式(40)就是判别幂律流体流动状态的雷诺数，实验证明，该雷诺数的临界值仍为2000。当Re2000时，流动为层流；当Re2000时，幂律流体处于湍流状态。,8.4 幂律流体的流动规律,参照牛顿流体层流流动的沿程水头损失，有：,(39),8.4.4 局部水头损失 幂律流体从小直径圆管突然扩大到大直径圆管的流动过程，其压降可按下式计算:,8.4 幂律流体的流动规律,(41),对于管路中其它种类局部阻力引起的压降，尚无可靠和统一的计算公式，必须通过实验来确定。,式中： 流体密度； Q 流体体积流量； A1、A2 分别为小管及大管的断面面积； n 幂律流体的流变指数；,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,卡森流体的流变方程含有屈服应力项，因而其在圆管中的定常流动也划分为结构流和湍流两种流态。 本节重点分析卡森流体结构流的流速分布以及流量和压降的关系，进而找出判别卡森流体流态的雷诺数和计算结构流沿程水头损失的表达式。,8.5.1 结构流状态下圆管内卡森流体的 流量和压降 根据流体受力平衡关系，可以得到结构流流核以外的流速梯度区具有以下的切应力分布关系:,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,考虑到表观粘度的定义式(2)，将卡森流体的流变方程改造成:,(42),将此式代入切应力分布关系式，得:,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,或,积分上式，从管壁到流速梯度区的任意点处(Rr)，流速从0变化到u，得:,(43),8.5 卡森流体在圆管中的结构流,引入流核表面卡森切应力与流核半径的关系:,式(43)可表示为:,(44),式(43)和(44)都是卡森流体作结构流时流速梯度区的流速分布公式。,当r = r0时，可得到流核流速u0，即:,(45),管路中的总液流量由两部分组成，即流核部分的流量Q0和流速梯度区中的流量Q1，总流量Q=Q0+Q1。现分别计算如下：,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,总流量：,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,或,(46),此乃卡森流体在结构流状态下的管路特性，即流量Q与压降p之间的函数关系。,当结构流的流核较小时，r04R4，则可忽略式(46)中的高次项，得：,(47),8.5.2 结构流的断面平均流速、沿程水头损失 及流态判别的雷诺数,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,由式(47)得到塑性流体圆管结构流的断面平均流速:,(48),考虑到流核半径表达式,用管路直径D取代半径R，式(48)可写成：,8.5 卡森流体在圆管中的结构流,(49),8.5 卡森流体在圆管中的结构流,(50),对于水平放置的圆形直管，其沿程水头损失为：,即:,其中,(51),8.5 卡森流体在圆管中的结构流,类似于牛顿流体层流运动的沿程水力摩阻系数表达式，上述Re综就是用以判别卡森流体结构流和湍流的综合雷诺数。,8.6 管流研究的特性参数法,流体在管路中的流动是日常生活和工业领域十分普遍的现象。利用流体在管路中的流动特性，可以研究许多非牛顿流体的流变性质，进而获得非牛顿流体的流变参数。,8.6.1 管路流动的特性参数与流动方程 任何一种与时间无关的流体(包括牛顿流体)，如在圆形管路中作充分发展的定常层流，其切应力分布关系都可表示为:,(52),壁面切应力为:,8.6 管流研究的特性参数法,(53),(54),(55),对于牛顿流体，利用哈根泊谡叶方程和平均流速表达式,得到:,(56),将式(56)代入式(53)，得:,(57),8.6 管流研究的特性参数法,由牛顿切应力公式，得管壁切应力:,(58),式中: 是流体在管壁处的流速梯度。,对比式(57)和式(58)，得:,(59),8V/D就称为管路流动的特性参数。在以下的推导中可以看到，任何一种与时间无关的流体，其在管流中任一点处的流速梯度都可以表示成8V/D的函数。,设管路横断面上距中心r处的液流速度为u，则管路总流量:,8.6 管流研究的特性参数法,采用分部积分方法，则有:,由于 ，故:,8.6 管流研究的特性参数法,在管壁处(r = D/2)，u = 0，上式可写成:,两边乘以 ，得:,(60),另外，由式(52)和式(53)可得:,8.6 管流研究的特性参数法,由于各种流体的流速梯度与切应力之间都有一定的函数关系(即流变方程)，故可将流速梯度表示为:,且,(62),(61),(63),将式(61)、(62)和(63)代入式(60)中，整理后得:,(64),8.6 管流研究的特性参数法,由此可知，无论是哪一类与时间无关的流体，其在管流中任一点处的流速梯度和切应力都与管流特性参数8V/D有一定的函数关系。 由于式(64)右端项的积分结果是w的函数，所以8V/D也与管壁切应力w有一定的函数关系，即:,(65),式(60)和式(64)都称为管路的流动方程。,8.6 管流研究的特性参数法,已知某种流体的流变方程，通过测定管路流量，算出特性参数值8V/D，可由式(64)解出管壁切应力w，代入流变方程可得到管壁处的流速梯度。将w代入式(53)由可获得管路流动中的压力降:,(66),8.6.2 管壁切应力与管流特性参数的关系,8.6 管流研究的特性参数法,考虑到式(65)，式(64)可写成,将上式对w求导，并使用积分上限导数定理，得,消去w2，得,或写成,(67),8.6 管流研究的特性参数法,所以式(67)可写成,(68),因为,又因为,将上述两式代入式(68)，得,(69),这是管壁流速梯度与管壁切应力和管流特性参数之间的关系。,;,;,8.6 管流研究的特性参数法,n称为流动特性指数，它是管壁切应力与管流特性参数在对数坐标上绘出的曲线上任一点处的斜率，可由实验数据来作出。 将式(70)代入式(69)，得:,(70),取,上式是与时间无关的流体在管路流动中的管壁流速梯度计算式。,(71),8.6 管流研究的特性参数法,若流动特性指数n不随w或8V/D变化，即在对数坐标上w与8V/D成线性关系，则积分式(70)，得:,(72),积分常数K的几何意义：在对数坐标上w8V/D直线在w坐标轴上的截距。,即:,在管壁处流动的流体，其表观粘度为:,(73),8.6.3 幂律流体流变参数的确定,8.6 管流研究的特性参数法,考虑幂律流体流变方程在管流中的形式,管壁切应力与管壁流速梯度之间也应满足上式,由于K、n是幂律流体的物性参数，其值为确定的常数，因此在对数坐标上切应力与流速梯度之间是线性关系，该直线的斜率为:,(74),由上式可知，如果n不随切应力变化 (dn/d lnw=0，n=常数)，即w与8V/D的关系在对数坐标上为直线，则n = n。,8.6 管流研究的特性参数法,将式(71)代入上式，整理得,(75),或,由式(73)得到幂律流体的表观粘度:,8.6 管流研究的特性参数法,考虑n = n，并将式(71)、式(72)代入式(74)，整理得,(76),(77),必须注意，以上结论严格来说只适用于n = n的情况，实际应用时可取n的平均值，再化为n值用于计算，获得近似的结果。,8.6 管流研究的特性参数法,1958年，梅茨纳与里德及平井英二等发现，计算非牛顿流体沿程水头损失的摩阻系数是n的函数，并根据实验数据，作出如图15所示的结果。图中横坐标为幂律流体管流雷诺数，由式(40)表达；纵坐标为 /4。,8.6.4 幂律流体湍流时的沿程水头损失,8.6 管流研究的特性参数法,8.6 管流研究的特性参数法,其后，多吉对光滑管建议用类似伯拉休斯形式的摩阻系数公式，取:,(78),式中：a、b是n的函数，对应不同n值的a和b值见表1。,表1 不同n下的a和b值,8.6 管流研究的特性参数法,多吉和梅茨纳又仿照卡门公式，导出如下半经验公式,(79),其实验范围为0.698n0.813，5480Re42800。,1961年克拉佩在同样的基础上结合实验又得出如下的半经验公式,上式的适用范围为：0.7n0.8，Re1500。,(80),8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,细管法和旋转法是测定非牛顿流体流变参数的两种常用方法。本节主要分析这两种方法的基本原理，重点讨论非牛顿流体表观粘度、塑性流体0和p以及幂律流体K和n的测定。,8.7.1 细管法测定塑性流体的流变参数 上一节内容已经介绍了利用管流特性测定幂律流体的流变参数。利用塑性流体在管路中的结构流特性，也能测定塑性流体的流变参数。,图16表示了毛细管粘度计的工作原理。毛细管实验段长度为L，半径为R，实验段压差为p=p1-p2。当塑性流体在管路中流动时，测定不同压差p下对应的流量Q，然后绘制流量Q与压差p的关系曲线，如图17所示。,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,塑性流体在毛细管中处于结构流状态，图中显示出当流量较小时，Q与p成曲线关系；当流量较大时，Q与p成直线关系。,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,根据幂律流体结构流的Q与p关系,考虑到流核半径,(81),Qp关系可写成,分别将Q1、p1及Q2、p2代入上式，并将两式相减后，得,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,整理上式可得塑性流体的结构粘度为,确定结构粘度后，可通过式(81)求出极限动切应力:,(82),应当指出，塑性流体流变参数的细管法测定原理基于其在圆管中的结构流流动规律，因此，必须注意实验过程是否符合结构流条件，这可通过计算综合雷诺数来判断。,(83),8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,(1) 旋转粘度计基本结构 最常见的旋转粘度计采用同轴圆筒式的结构，它由两个同轴心不同直径的垂直圆筒构成，两圆筒的环形空间充满着被测定的流体。这种粘度计有两种设计形式：,8.7.2 旋转法测定流变参数 旋转粘度计常用来测定牛顿流体的粘度或非牛顿流体的表观粘度，也可用于测定非牛顿流体的其它流变参数，如塑性流体的0和p以及幂律流体的K和n等。, 用电动机驱动外筒以等角速度 旋转。紧贴外筒的液层与外筒具有相同的角速度，位于它里面的液层由于流体粘性的影响而被依次带动，并产生旋转运动。,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,环空中作圆周运动的液体层之间存在相对运动，愈靠近内筒的液层其角速度愈小，紧贴内筒的液层其角速度为零。待运动稳定后，各液层的旋转角速度将保持不变。在内筒表面上，由于牛顿流体的粘性或非牛顿流体的流变性而引起切应力，因此，就对内筒产生了扭转力矩。内筒是用弹性金属丝悬挂着的，根据金属丝的扭转角度可以确定其所受的扭转力矩，进而求得被测流体的流变性参数。, 外圆筒固定，内圆筒借助于重物，并通过滑轮，以等旋转力矩进行旋转。此时，只要测量内圆筒的旋转角速度，便可求得被测流体的流变性参数。,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,(2) 旋转粘度计的流变性测量原理 以上述第种设计形式的旋转粘度计为例，分析其流变参数的测量原理。 粘度计内外圆筒的环形空间具有一定的间隙，其中充满着被测定的液体。设外圆筒以等角速度旋转，内圆筒用弹性金属丝悬挂着，可以通过测定扭角，按下式计算旋转力矩M。,(84),式中：C 金属丝常数，相当于金属丝扭转1时的旋转力 矩； 金属丝的扭转角度。,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,设内圆筒外半径为r1，外圆筒内半径为r2，内圆筒高度为h。在环空流体中任意半径r处，取一无限薄的液层，其厚度为dr，此薄层内壁的角速度为，外壁的角速度为+d，如图18所示。根据力矩平衡原理可知，半径r处圆柱面上的剪切力矩M与切应力之间，存在如下关系：,故,(85),流动稳定时，各液层处的剪切力矩相等，即M为常数。,8.7 非牛顿流体流变性参数的测定,(86),利用广义牛顿内摩擦定律，近似考虑非牛顿流体的切应力。对于旋转流动而言，其柱坐标下的切应力为：,将圆周速度公式u