11-手握利器 玩转连方.doc

附件3：小课题封面格式序号 2014年温州市小学数学小课题评比学 校： 瓯北镇第二小学成员姓名： 周 阳小课题题目：手握“利器” 玩转连方指导教师： 邹 显 微 手握“利器” 玩转连方一、问题的提出数学课上，老师给我们出了一道题目。下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）（见图1），看着大家疑惑的眼光，有的同学在那静静的思考，有的已经迫不及待的拿出纸折起来。突然一个想法在我脑中闪现：这样的六个方块组成的图形到底有多少种，其中又有几种会是正方体的展开图呢？这些展开图会有什么奥秘呢？于是我的好奇心促使我动起手来。 图1二、研究方法：画图猜想动手操作比较三、研究过程会有几种呢？怎么才能把所有的都画出来呢？这时，我想到了以前我们学过鸡兔同笼问题时用到的“化繁为简”的方法。6个正方形的6连方太多了，那我就从少点开始研究吧！研究一、逐步递进，寻觅二连方到六连方组成的图形个数。（1）、2连方、3连方、4连方的研究为了研究方便，我选择了动手画图的方法。基于1个，2个，3个正方形所组成的图形。（图2、3），我快速地画出4个正方形的三个 图2 图3图形（图4），但后来发现落了2个(图5)。好险!差点掉进自己挖的“想当然”的坑里。图4 图5（2） 5连方的研究那么5连方，会不会有更多种呢？为了不遗漏或重复。我尝试中4连方里找到线索。经过大量对比、参考，我意识到这连方中存在的特点。于是，我开始对比2个3连方（图3）和这5个4连方（图5），终于发现了规律。图5前面两个4连方是在第1个1字型的3连方的基础上加上的。图5后面3个4连方也是第2个L型的3连方的基础上加上去的。对！我的5连方一定也要从4连方的基础上变化。于是我先选一个图形，让增加的正方形在原来图形的四周按顺时针或者逆时针的方法旋转。当正方形到了不同的位置就会产生不同的图形。最后把重复的图形去掉，这样应该就不会遗漏或者重复。对照着四连方，终于画出了12种五连方的图形(见图6)。4连方由4连方想到的5连方都与上面的4形状一致。图6（3） 6连方的研究就加了一个方块，居然就多了这么多种的方法。那六连方岂不是有几十种方法呢？带着好奇心，我小心翼翼地开始了6连方的探索。有了5连方的探究方法，6连方一开始画还是比较顺利的。可是到了后来，越来越多的图形，让我很难分辨哪些已经有了，哪些还没有。我在这些图形之间“盘旋”了好一阵子。终于功夫不负有心人，我做出的37种方法，发现了25和33重复了（25去掉）。27跟12重复了（27去掉）。原来6连方共有35种不同的方法。（见图7）五连方由五连方所想到的六连方旋转后出现的图形上面都已有旋转后出现的图形上面都已有图7研究二：动手巧思，寻找能拼成正方体的六连方。面对着我画出来的六连方，到底哪些能拼成正方体？我凭直觉的找出来一些能拼成正方体的六连方，可是到底对不对呢？实践出真理！动手试试吧!这时我想到了平时用的方格纸，我直接在那上面画出来，再折一折吧。真是好主意！我为我的想法沾沾自喜！序号六连方图形剪拼后的图形是否是正方体序号六连方图形剪拼后的图形是否是正方体1否20否2否21否3否22否4否23否5是24否6是25与33重复与33重复与33重复7是26否8是27与12重复与12重复与12重复9否28否10否29否11否30否12否31否13是32是14是33是15否34是16否35否17否36是18否37是19否图8经过实践，终于找到了能拼成正方体的六连方共有11种。(见图9)图9研究三：分类钻研，探索拼成正方体的六连方特点。看着这么多的六连方，我寻思着它们有什么特点呢？我打算给它们分分类。图10我把它们分成了四类：第一类：(见图10第一行)。因为它们都是中间有一列四连方，另外两个正方形各在它们的左右两边移动。我就称它们为141三列形。第二类：(见图10第二行)，因为他们跟前一种很像，只是中间只有一列的三连方。另外的三个正方形一边放两个，一边放一个。我就称它们为132三列形。第三类：(见图10第三行)因为它有一种由两列3连方组成。中间只有一个正方形相连的阶梯形。我就称它为33阶梯形。第四类：(见图10第四行)是把3列2连方组成。两两错开，像阶梯一样。我就称它为222阶梯形。正当我要把这个发现告诉爸爸，爸爸说，那你知道为什么这样子的六连方能拼成正方体吗？于是，这时我拿起了平时经常玩的魔方观察着。正方体有三组对面，每一组相对的面之间是不是有什么特点。啊!看来我又要开始新一轮的探索了，我观察着这11种我拼搭的正方体，找着每一组的相对面。为了更好的观察我索性叫爸爸帮我把图形的颜色画在了电脑上（图11）。图11在边指边画的过程中我发现正方体都有3组对面。前面这6个141三列形：中间的4个方块都是两组对面（分别是红色面和蓝色面），它们拼起来其实也就是正方体的4个侧面。两边的2个正方形（黄色面）则组成另一组对面，这组对面其实就是正方体上底面和下底面。下面的这5种就不一样：但是我发现只要把其中的一个方块或者两个方块旋转90度，就能变成上面的这种141六连方（图12）。图12研究四: 逆向思考，研究不能拼成正方体的六连方特点。观察了能拼成正方体的六连方的特点，我又观察起不能拼成正方体的六连方的特点。有了上次的经验，我还是请爸爸把那些六连方给我弄到了电脑上。并将它们进行了归类。图13经过对图13的仔细观察，我发现： 如果图中出现绿色圈圈的4个直直连方结构的图形不可能是正方体展开图的，因为一个侧面最多4个，多出的一个肯定会与其中的一个面重合。如果图中出现紫色圈圈的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。如果图中出现红色圈圈的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。如果图中出现粉色圈圈两边都3个的的“L”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为L的顶点的这个正方形和两边的正方形都能组成对面。可是一个面只有一个对面，不能出现两个对面。这就矛盾了。四 、研究结论：1、六连方共有35种方法。其中有11种是正方体的展开图。2、判断是正方体展开图的“三保险”方法：一保险：去除肯定不是的6连方在6连方中如果里面有出现下面几种情况一定不能拼成正方体。5个直直的连方田字格的六连方两边都有3个相等的L字形凹字型的六连方二保险：看看是不是属于下面4种类型的。141三列形132三列形222阶梯型33阶梯型三保险：转转看一看当怀疑一个六连方时，我们还可以用旋转90度的方法，看看是否能变成由一个4连方组成的六连方，另外两个在两边的，如果是就一定能拼成正方体。我把让它更好记，我还编成了个口诀。 正方体盒巧展开，三大保险记心怀。中为四，一一移动得六个，中为三，一二行动得三个，三个二，两个三，直接可用不麻烦，一线不过四，绕开“凹” “田”， 避开“L”。真不行来转一转。五、后续研究：1、无盖的正方体展开图会有几种情况？有什么规律？ 2、长方体的张开图会有几种情况？我猜想应该也会有规律可循，到底是怎么样的呢？3、各种不一样的多面体张开图会是怎么样的？又有什么规律？ 六、收获和体会经过几天的探索，我终于把自己提出的问题解决了。我也深深地体验到了数学世界的无穷奥妙。在这探究过程中，我能主动地面对问题，经过自主探索，学会如何综合运用已有的经验去面对复杂的问题，真正经历主动假设、积极探究、努力尝试、及时反思、不断修正等一系列的思考过程。在“做”和“思考”的探究过程中利用手中的这把“利器”，诸如观察、猜测、试验、归纳、推理的方法、化归、优化的思想 使出浑身的解数。不仅发现