二重极限与累次极限的关系.pdf

南昌高专学报2 0 1 0 年第2 期 总第8 7 期 2 0 1 0 年4 月出版 J o u r n a lo fN m c 嗨C o l l e g eN o 2 S u mS 7 A p r 2 0 1 0 重极限与累次极限的关系 王旭琴 吕梁高等专科学校数学系山西吕粱0 3 3 0 0 0 摘要 本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义 并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和 内在联系 关键词 二元函数 二重极限 累次极限 中图分类号 0 1 7 2文献标识码 A文章编号 1 0 0 8 7 3 5 4 1 2 0 1 0 0 2 0 1 5 7 0 2 二元函数的极限是多元函数微积分学的一 个重要内容 对初学者来说 二元函数的两种极 限 二重极限与累次极限之间的关系是他们 学习的难点 为了搞清楚这两种极限之间的关 系 我们首先要紧紧抓住这两种极限的定义 理 解它们的实质性区别 其次要探究和总结两种极 限存在性的内在联系 1 二重极限与累次极限的定义 定义1 设厂为定义在D C R 2 上的二元函数 P o 为D 的一个聚点 A 是一个确定的数 若V 占 0 3 6 0 使得当P 扩 P o 8 I D 时 都有坂P 卅 8 则称当p R 时 厂在D 上收敛 并称A 为 厂当 心时的二重极限 记为拦八P A 当P P o 分别用坐标 x y X o 知 表示时 上式也可记为 y 芦 y o 以为 定义2 对于二元函数八茗 Y 若固定Y Y o 极限艘八茗 P 存在 且竺妒 y A 也存 在 则称A 为f x 在点 知 处先对茗后对Y 的累次极限 记作竺竺以石 A 类似地 可定义f x 在点 X o 处先对Y 后对石的累次极限竺2 八石 4 注 1 二重极限定义中 菇 y y o 蕴涵 着圹屯 和广知的同时性和任意性 同时性是指 两个自变量茗和y 作为D 中一个点 趋向 于固定点 X o 任意性则是指 石 作为D 中 任意一点 不管以何种方式趋向于点 如 函 数f x y 都趋向于唯一固定数值A 这正是二重 极限求解的难点之处 同时反过来考虑 这也为 判断二重极限的不存在提供了方法 即若P 沿两 条不同的曲线趋于P o 时 函数厂的极限不同或不 存在 则此函数厂在点P o 的二重极限不存在 2 由累次极限的定义很容易看出 求累次 极限实质上是求两次一元函数的极限 因此 累 次极限又称二次极限 2 二重极限与累次极限存在性之间的关系 2 1 由定义可知 二重极限与累次极限的本 质不同 二者之间并没有蕴涵关系 并且 两个累 次极限之间也没有蕴涵关系 2 1 1 累次极限存在 二重极限未必存在 例1 设厂 Y 竺趔 求f x Y 在点 2 x y 2 0 0 处的累次极限和二重极限 解 首先f x y 在点 O 0 处的两个累次极 限都存在 分别为 广l i m x l i m 脚 2 广l i m 二笋2 3 一 盅粤 以圳 x l i m 寺 丁1 4 0 x o o 以为 x 毒 了 收稿日期 2 0 0 9 0 l 一0 6 作者简介 王旭琴 1 9 8 1 一 女 山西吕粱人 吕梁高等专科学校数学系助教 首都师范大学在读硕士 主要研究方向 数学 万方数据 1 5 8 南昌高专学报2 0 1 0 年 再求二重极限 令 菇 Y 沿直线y m x 趋于 0 0 有 塑讯 一l i m 訾 争 但这并不能说明八菇 y 在点 0 0 处的极限 是 事实上 当 菇 沿曲线菇可趋于时 o 0 鸯如 岛昙 茹f x y 岛昙2 以石 在点 O 0 处二重极限不存在 2 1 2 两个累次极限都存在且相等 二重极限 未必存在 例2 设以石 y 丢 x o o 求 茗 斗y 0 y 在点 0 O 处的累次极限和二重极限 解以菇 y 在点 0 0 处的两个累次极限都存 在且相等 婴罂 黑一l i m 扒N J x 菇 y D oP o 2 一 一 L 菇 y 2 再求二重极限 令0 沿直线y m x 趋于点 0 O 有 因为上式对不同的m 有不同的极限值 所以 f x y 在点 O 0 处的极限不存在 2 1 3 二重极限存在 累次极限未必存在 2 1 3 1 二重极限存在 两个累次极限都不存在 例3 设八石 y o 呵 s i n 求八菇 在点 O 0 处的二重极限和累次极限 解 卟i 寺l 1 有o I 晒 s i 古 x y I l xI l YI 又 y l i m o o I x yI 0 于是 由 夹逼准则知 x y 髑o o A 茹 y 0 1 3 I 圭t r 一l i m Ds i n 专和产m D s i n 上x y 和都不存 在 所以两个累次极限都不存在 2 1 3 2 二重极限存在 一个累次极限存在 但另一个累次极限不存在 例4 对于八髫 r y s i n 鹪o o m 护 0 即二重极限存在 且翔翔f 伍 纠 一l i r a D 璺y s i n o 但翔翔八z y 不存在 2 1 4 一个累次极限存在 另一个累次极限未 必存在 上例已说明 2 1 5 两个累次极限都存在 二者未必相等 即累次极限的两个极限运算次序不一定可交换 如例1 2 2 作为二元函数的两种极限 二重极限和 累次极限还是有一定的内在联系的 2 2 1 二重极限与某一个累次极限都存在 则 二者必相等 2 2 2 二重极限与两个累次极限都存在 则三 者必相等 2 2 3 两个累次极限都存在但不相等 则二重 极限必不存在 此结论常作为判断二重极限不存 在的方法 这三个结论都可以由下面两个命题很自然 地得出 命题1 设函数f x Y 在区域D l x 一 I a l Y Y oI b 上有定义 如果 1 毛 絮 y o J 八埘 礼 2 对一切满足 o 1 x x l 0 由假设1 B O 使得当 x Y X o Y o l x x 0I 8 I y y 0I 6 时 有 帆为 4l 占 在上式中令 r o 由假设2 有 I P x 一AI 8 当o I x X oI 8 即墨 妒 石 4 命题2 将上述命题1 中的条件2 换为 2 对一切满足的o I y y I b 的y 0 f 毛 p 恒存在 则恶兰八为 羔 p y 也 存在 且等于A 参考文献 l 陈纪修 於崇华 金路 数学分析 下册 第二版 M 北 京 高等教育出版社 2 0 0 4 1 2 l 一1 2 4 2 刘新波主编 数学分析选讲 M 哈尔滨 哈尔滨5 业大 学出版社 2 0 0 9 1 4 1 1 4 2 3 严子谦 尹景学 张然 数学分析中的方法与技巧 M 北 京 高等教育出版社 2 0 0 9 8 7 8 8 南 焘 m 加 K r 净八 m 加瞰 H 五 万方数据 二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限的关系 作者 王旭琴 作者单位 吕梁高等专科学校数学系 山西 吕梁 033000 刊名 南昌高