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精品文档浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章 二次根式（林海老师整理）知识点一： 二次根式的概念二次根式的定义：形如（a0）的代数式叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。知识点八: 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。知识点九: 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式二次根式的乘法：二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式强调：二次根式具有双重非负性。（4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便二次根式运算结果应尽可能化简另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数例如不能写成（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与； 与；与； 与说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化（6）分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。(1)形如： 或 (2)形如： 或 7.关于具有双重根号的二次根式。如：,二.重点和难点：重点：二次根式的运算。难点：1.混合运算以及应用。 2.二次根式的内移和外移。 3.二次根式的大小比较。【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外即：（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小考点题型：1分式概念（选择、填空）（34分）2利用分式性质进行约分、通分（选择、填空）（810分）3分式的运算（选择、填空、解答）4分式的化简、求值（选择、填空、解答）（3-10分）5二次根式的概念和性质（选择、填空）（4分）6二次根式的化简与求值（选择、填空、解答）（3-8分） 第二章 一元二次方程（蒲玲爱老师整理） 一、教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容 二、教学重点 1一元二次方程及其它有关的概念 2用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程 3利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题三、教学难点 1一元二次方程配方法、十字相乘法解题 2用公式法解一元二次方程时的讨论 3建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别四、教学关键 1分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型 2用配方法解一元二次方程的步骤 3解一元二次方程公式法的推导五、知识点：1. 定义：形如 的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。例：若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）A Bm=2 Cm= 2 D2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。例：按要求解方程（1）用配方法解方程：x2 4x+1=0 （2）用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=03.一元二次方程根的判别式：= .0,方程有两个不相等的实数根；=0 ，方程有两个相等的实数根；M C. M D. 大小关系不能确定 4. 韦达定理： 例1：（8分）设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值。例2：若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 _5. 可化为一元二次方程的分式方程。（分式方程要验根）例：；6、一元二次方程应用题（最大值、最小值问题）例：.某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润。7、一元二次方程和二次函数之间的关系 例1. 当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点，有一个交点，无交点。 例2. 已知二次函数与x轴有两个交点，求m的取值范围。8、一元二次方程应用题 例1.如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OCAB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？六、易错点分析：易错点一：（概念）1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有- ax2+bx+c = 0 x2+ 3x -5=0 2x2-x-3 = 0 x2-2+x3 = 02) 注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。 如：已知关于x的方程（m-n）x2 + mx+n=0，(m0),你认为：当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？ 当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？3) 没有化成一般形式，混淆a、b、c.易错点二：（解法）（1） 因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3.(2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。 如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=4,c=2.(3) 丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3.易错点三（一元二次方程应用题） 审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；解方程后未经检验就盲目作答。检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材P114：探究3问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。 第三章 频数及其分布（徐旺红老师整理）3、1频数与频率教学目标：1、理解频数的概念，会求频数2、了解极差的概念、会计算极差。3、了解极差、组距、组数之间的关系，会将数据分组。4、会列频数分布表。2、理解样本容量、频数、频率之间的相互关系。会计算频率。3、了解频数、频率的一些简单实际应用。4、通过收集、分析数据的过程，初步作出合理的决策，提高学生处理问题、决策问题的能力。教学重点：本节教学的重点是频数的概念。教学难点：将数据分组过程比较复杂，往往要考虑多方面的因素，是本节教学的一个难点。1、频率的概念：一般地，每一组频数与数据总数(或实验总次数)的比，叫做这一组数据(或事件)的频率。由此可知：(1) (2) 频数=频率数据总数 (3)3、2频数分布直方图教学目标1、了解频数分布直方图的概念2、会读频数分布直方图。3、会画频数分布直方图。教学重点：本节教学的重点是频数分布直方图。教学难点：画频数分布直方图过程比较复杂，是本节教学的一个难点。由引例归纳出频数分布直方图概念：一般地，用来表示频数分布的基本统计图叫做频数分布直方图。33频数分布折线图一、教学目标1、了解频数分布折线图的概念2、会读频数分布折线图3、会画频数分布折线图4、初步感知实际生活中许多数据的分布都呈现出“中间高，两边低” （正态分布）的特点。二、重点难点本节教学的重点是频数分布折线图画频数分布折线图的过程比较复杂，是本节教学的难点。频数分布折线图是反映频数分布的另一种形式的统计图。画频数分布折线图的主要步骤是：（1）计算极差，确定组距、组数，并将数据分组；（2）列出频数分布表，并确定组中值；（3）根据组中值所在的组的频数在坐标系中描点，依次用线段把经们连成折线，画频数分布折线图，并不一定要先画出频数分布直方图。（4）画频数分布折线图时，在两侧各加一个虚设的附加组，这两个组都是零频数，所以不会对统计量造成影响，它的作用是使折线与横轴组成封闭折线，给进一步的研究带来方便。频数折线分布的优点频数分布折线图与频数分布直方图相比，它的优点有：A、能更直观地反映分布的波动情况；B、在一个坐标系内可以画多个频数分布折线，方便将它们作比较；C、给进一步的研究带来方便。第三章 频数及其分布教学目标：1、理解频数、频率的概念。2、了解频数分布的意义和作用。3、了解极差的概念、会计算极差。4、会将数据分组，求出每组频数、频率，并列出频数分布表。3、了解极差、组距、组数之间的关系，会将数据分组；4、会列频数分布表。5、会画频数分布直方图，频数分布折线图。6、会利用频数分布解决简单的实际问题。教学重难点：重点：本节教学的重点是频数的概念。难点：绘制频数分布直方图并进行分析。难点：将数据分组过程比较复杂，往往要考虑多方面的因素，是本节教学的一个难点。教学过程：一、 本章知识归纳：1、 频数及频率的概念（1） 频数：一组数据中，每个数据出现的次数叫做该数据的频数。频数的和等于总数。 （2） 频率：一组数据中每个数据出现的次数与总次数的比值叫做频率。频率的和等于12、 极差：一组数据的最大值与最小值的差叫做极差。3、 频数分布表：反映数据分布的统计表叫做频数分布表，也称频数表。4、 频数分布表的绘制步骤; (1) 确定最大值和最小值。(2) 确定组数和组界(3) 划记(4) 绘制频数分布表5、 频数分布直方图(1)频数分布直方图的组成:横轴；纵轴；条形图。频数分布直方图：横半轴表示组别，纵半轴表示频数，用宽相等的长方形表示不同的频数分布情况，这样的图形称为频数分布直方图。(2)频数分布直方图的绘制：列出频数分布表画出频数分布直方图。在绘制频数分布直方图的时候，如果左端点的数与0相差甚远，则横半轴靠近原点处应画成折线。6、 频数分布折线图顺次连结频数分布直方图是每个长方形上面一条边的中点，就得到所求的频数分布折线图。4.组中值：在每一组中左右两个端点所表示的数的平均数即为该组的组中值。求平均数时，要用组中值。5.组距：在每一组中，右端点表示的数减去左端点表示的数，所得的差，即为组距。在同一个频数分布直方图中，组距必须相等。本章主要内容是频数和频率，频数分布，频数的应用。二.重点和难点：典例1为了解某中学男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得到的数据整理后，画出频数分布直方图（如图20-15），图中从左到右依次为第1、2、3、4、5组（1）求抽取了多少名男生测量身高（2）身高在哪个范围内的男生人数最多？（答出是第几个小组即可）（3）若该中学有300名男生，请估计身高为170cm及170cm以上的人数要点2绘制频数分布直方图1.绘制频数分布直方图的步骤：（1）确定统计量的范围，计算出最大值与最小值的差，也即极差；（2）决定组数和组距，合理分组；（3）确定分点；（4）列频数分布表；（5）绘制频数分布直方图频数分布直方图以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；各小长方形面积之和为1。2.频数折线图：如果将每个小长方形上面一条边的中点顺次连接起来，就可以得到频数折线图。说明：（1）分组的组数一般没有严格的界定，可以根据实际情况进行合理分组。（2）组距是指每个小组的两个端点之间的距离。在实践中，通常要求各组的组距相等。（3）确定分点的方法有很多种。为了保证相邻两组数据不交叉，通常会把最小值减少一点作为最左端的分点，最大值加大一点作为最右端的分点。典例3：为了解中学生身体发育情况，对某中学同年龄的60名女生的身高进行了测量，结果如下：（单位：CM）167 154 159 166 169 159 156 166 162 158 159 156 166 160 164 160 157 156 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 162 159 154 165 166 157 151 146 151 158 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 162 159 157 159 149 164 168 159 153画频数分布表和频数分布直方图。第四章 命题和证明 （钟代芹老师整理）一、知识点：1.定义：对概念特征性质进行的正确描述叫做定义。注意：定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。2.命题：形如“如果那么”格式的语句称为命题。命题可分为真命题和假命题两种。真命题：正确的命题叫做真命题。假命题：错误的命题叫做假命题。逆命题：将一个命题称为原命题，把它的条件和结论交换所得命题称为原命题的逆命题。逆命题和原命题互为逆命题，即是互逆命题。3.公理：大家公认的不需要证明的真命题叫做公理。4.定理：通过证明了的真命题叫做定理。定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。5.互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆定理。6.证明方法：综合法：从条件一步一步推到结论的证明方法。反证法：先假设结论不成立，然后推出一个与题目的条件相矛盾或者与某个公理、定理相矛盾的结果，说明假设不成立，则命题成立。 举反例：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。典型例题精讲精练：例1 在下列横线上，填写适当的概念：（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的 ；（2）能够完全重合的两个图形叫做 ；（3）两组对边分别平行的四边形叫做 ；例2 叙述概念的定义（1）数轴； （2）等腰三角形例3.下列句子中不是命题的是( )A 明天可能下雨 B 台湾是中国不可分割的部分C 直角都相等 D 中国是2008年奥运会的举办国 例4.下列命题中的真命题是（ ）A 锐角大于它的余角 B 锐角大于它的补角C 钝角大于它的补角 D 锐角与钝角等于平角例5.把下列命题改写成“如果-，那么-”的形式，并指出条件与结论。1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线例6.说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。（1）直角三角形的两锐角互余； （2）全等三角形的对应角相等。例 7. （1）同位角相等，则两直线 ；（2） 平面内两条不重合的直线的位置关系是 ；（3） 四边形是平行四边形。例8.在 ABC中，A 、B 、C是它的三个内角。求证：在A 、B、 C中不可能有两个直角。二.重点和难点：重点：认识几何证明的必要性和掌握证明的一般步骤与格式。难点：如何才能做到证明过程条理清楚、有条不紊。第五 六章有关四边形各个知识点精细化（侯勇军老师整理）一.知识点：1、正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法同学们要在理解的基础上熟记定义（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”2、熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：=底高=ah；平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形3学会平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形5几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：（1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（2）菱形：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（3）正方形：（1）边：四条边都相等；（2）角：四角相等；（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补；（3）对角线：对角线相等；（4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形6、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形 有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形；对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 同一底两个底角相等的梯形；对角线相等的梯形7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等