高考数学一轮复习 第八章 平面几何 . 椭圆练习 理创新.pdf

1 第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 8 58 5 椭圆练习椭圆练习 理理 A A 组 基础达标练 1 2016 韶关调研 已知椭圆与双曲线x 2 4 y 2 12 1 的焦点相同 且椭圆上任意一点到两 焦点的距离之和为 10 那么椭圆的离心率等于 A 3 5 B 4 5 C 5 4 D 3 4 答案B 解析由双曲线方程求出焦距c 2 4 12 16 c 4 2c 8 e c a 2c 2a 8 10 4 5 故选 B 2 2015 广州二模 设F1 F2分别是椭圆C x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 的左 右焦点 点 P在 椭圆C上 线段PF1的中点在y轴上 若 PF1F2 30 则椭圆的离心率为 A 1 6 B 1 3 C 3 6 D 3 3 答案D 解析如右图所示 PF1的中点为M O为中点 OM綊 1 2PF 2 PF1F2 30 设 F1F2 2c PF1 4c 3 PF 2 2c 3 e c a 2c 2a 2c 6c 3 3 3 故选 D 3 P是椭圆x 2 5 y 2 4 1 上的一点 F1和F2是焦点 若 F1PF2 30 则 F1PF2的面积为 A 16 3 3 B 4 2 3 C 16 2 3 D 16 2 答案B 解析由题意知c 1 PF1 PF2 2 5 F1F2 2 在 F1PF2中有 PF1 2 PF 2 2 2 PF 1 PF2 cos30 F1F2 2 PF1 PF2 2 2 3 PF 1 PF2 4 PF1 PF2 16 2 3 F1PF2的面积为S 1 2 PF 1 PF2 sin30 4 2 3 故选 B 4 2016 广东四校联考 已知椭圆的方程为 2x 2 3y2 m m 0 则此椭圆的离心率为 A 1 3 B 3 3 C 2 2 D 1 2 答案B 解析由题意得椭圆的标准方程为 x 2 m 2 y 2 m 3 1 a 2 m 2 b 2 m 3 c 2 a2 b2 m 6 e 2 c 2 a 2 1 3 e 3 3 5 过点A 3 2 且与椭圆x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点的椭圆的方程为 A x 2 15 y 2 10 1 B x 2 25 y 2 20 1 C x 2 10 y 2 15 1 D x 2 20 y 2 15 1 答案A 解析由题意可得c 2 9 4 5 又已知椭圆的焦点在x轴 故所求椭圆方程可设为 x 2 5 y 2 1 0 代入点 A的坐 标得 9 5 4 1 解得 10 或 2 舍去 故所求的椭圆方程为 x 2 15 y 2 10 1 6 2016 广安月考 若点O和点F分别是椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点 点P为椭圆 上的任意一点 则OP FP 的最大值为 A 2B 3 C 6D 8 3 答案C 解析由椭圆x 2 4 y 2 3 1 可得点F 1 0 点O 0 0 设P x y 2 x 2 则OP FP x y x 1 y x 2 x y2 x2 x 3 1 x 2 4 1 4x 2 x 3 1 4 x 2 2 2 当且仅当 x 2 时 OP FP 取得最大值 6 7 2015 长春调研 已知F1 F2是椭圆x 2 4 y 2 3 1 的两个焦点 过点F2作x轴的垂线交 椭圆于A B两点 则 F1AB的周长为 答案8 解析由已知得 F1AB的周长为 AF1 AF2 BF1 BF2 4a 8 8 设e是椭圆x 2 4 y 2 k 1 的离心率 且e 1 2 1 则实数k的取值是 答案k 16 3 或 0 kk时 e c a 4 k 2 1 2 1 即1 2 4 k 2 1 1 4 k 4 即 0 k 3 当 4 k时 e c a k 4 k 1 2 1 即1 4 k 4 k 1 1 4 1 4 k 4 k 0 k 16 3 9 设AB是椭圆 的长轴 点C在 上 且 CBA 4 若AB 4 BC 2 则 的两个 焦点之间的距离为 答案 4 3 6 解析如图所示 以AB的中点O为坐标原点 建立如图所示的坐标系 设椭圆方程为x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 4 D在AB上 且CD AB AB 4 BC 2 CBA 4 CD 1 DB 1 C 1 1 2a 4 a 2 把C 1 1 代入椭圆的标准方程得 1 a 2 1 b 2 1 1 b 2 1 1 a 2 3 4 b 2 4 3 c 2 8 3 c 2 6 3 2c 4 3 6 10 2014 课标全国卷 设F1 F2分别是椭圆C x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 的左 右焦点 M 是C上一点且MF2与x轴垂直 直线MF1与C的另一个交点为N 1 若直线MN的斜率为3 4 求 C的离心率 2 若直线MN在y轴上的截距为 2 且 MN 5 F1N 求a b 解 1 根据c a 2 b2及题设知 M c b 2 a 若直线MN的斜率为3 4 即 tan MF 1F2 b 2 a 2c b 2 2ac 3 4 得 2b 2 3ac 将b 2 a2 c2代入 2b2 3ac 解得c a 1 2 2 舍去 故C的离心率为1 2 2 由题意知 原点O为F1F2的中点 MF2 y轴 所以直线MF1与y轴的交点D 0 2 是线 段MF1的中点 故b 2 a 4 即b 2 4a 由 MN 5 F1N 得 DF1 2 F1N 设N x1 y1 由题意知y1b 0 的左右焦点分别为F1 F2 若椭圆 C上恰 好有 6 个不同的点P 使得 F1F2P为等腰三角形 则椭圆C的离心率的取值范围是 A 1 3 2 3B 1 2 1 C 2 3 1D 1 3 1 2 1 2 1 答案D 解析当点P位于椭圆的两个短轴端点时 F1F2P为等腰三角形 此时有 2 个 若点P不在短轴的端点时 要使 F1F2P为等腰三角形 则有PF1 F1F2 2c或PF2 F1F2 2c 不妨设PF1 F1F2 2c 此时PF2 2a 2c 所以有PF1 F1F2 PF2 即 2c 2c 2a 2c 所以 3c a 即c a 1 3 又当点 P不在短轴上 所以PF1 BF1 即 2c a 所以c a 1 2 所以椭圆的离心率 满足1 3 e0 由 4 a a 2 4 解得 a 3 2 所以该圆的标准方程为 x 3 2 2 y2 25 4 5 2015 陕西高考 已知椭圆E x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 的半焦距为 c 原点O到经过两点 c 0 0 b 的直线的距离为 1 2c 1 求椭圆E的离心率 2 如图 AB是圆M x 2 2 y 1 2 5 2的一条直径 若椭圆 E经过A B两点 求椭 圆E的方程 解 1 过点 c 0 0 b 的直线方程为bx cy bc 0 则原点O到该直线的距离d bc b 2 c2 bc a 7 由d 1 2c 得 a 2b 2a 2 c2 解得离心率c a 3 2 2 解法一 由 1 知 椭圆E的方程为 x 2 4y2 4b2 依题意 圆心M 2 1 是线段AB的中点 且 AB 10 易知 AB与x轴不垂直 设其方程为y k x 2 1 代入 得 1 4k 2 x2 8k 2k 1 x 4 2k 1 2 4b2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 8k 2k 1 1 4k 2 x1x2 4 2k 1 2 4b2 1 4k 2 由x1 x2 4 得 8k 2k 1 1 4k 2 4 解得k 1 2 从而 x1x2 8 2b 2 于是 AB 1 1 2 2 x 1 x2 5 2 x1 x2 2 4x 1x2 10 b 2 2 由 AB 10 得 10b 2 2 10 解得b 2 3 故椭圆E的方程为 x 2 12 y 2 3 1 解法二 由 1 知 椭圆E的方程为 x 2 4y2 4b2 依题意 点A B关于圆心M 2 1 对称 且 AB 10 设A x1 y1 B x2 y2 则 x 2 1 4y 2 1 4b 2 x 2 2 4y 2 2 4b 2 两式相减并结合x1 x2 4 y1 y2 2 得 4 x1 x2 8 y1 y2 0 易知AB与x轴不垂直 则x1 x2 所以AB的斜率kAB y 1