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博士生课程空间机器人关键技术1空间机器人概述2数学力学基础3冗余自由度机器人4柔性机械臂5欠驱动机器人6机器人灵巧手（一） 空间机器人的概述1.空间机器人在空间技术中的地位从20世纪50年代，以美国和苏联为首的空间技术大国就在空间技术领域展开了激烈的竞赛。i苏联1957年8月3日，前苏联研制的第一枚洲际弹道导弹SS-6首次发射成功。不久，前苏联火箭总设计师柯罗廖夫从美国新闻界得知美国试图在1957-1958年的国际地球物理年里发射一颗人造地球卫星。于是，他立即将SS-6导弹稍加修改，将弹头换上一个结构简单的卫星，抢先将第一颗人造卫星送上了太空。接着，在第一颗人造卫星发射后一个月，即11月3日，又用SS-6导弹作航天运输工具，将装有小狗“莱伊卡”的第二颗人造卫星送入太空的圆形地球轨道。1959年5月，前苏联又将“月球”l号人造卫星送入了月球轨道。ii美国在1958年以前，以“红石”近程导弹和“维金”探空火箭为基础，分别研制成“丘比特”C和“先锋”号等小型运载火箭，用于发射最初的几个有效载荷仅为数千克至十几千克的小卫星。发展到今天，从地面实验室研究到人造卫星、空间站、载人飞船、航天飞机、行星表面探测器，空间技术大国都投入了大量人力、物力和财力。空间技术对于天文学、气象、通信、医学、农业以及微电子等领域都产生了很大的效益。不仅如此，空间技术对于未来国家安全更具有重要的意义。在空间技术发展的过程中空间机器人的作用越来越明显。20世纪60年代前苏联的移动机器人研究所(著名的俄罗斯Rover科技有限公司前身)研制了世界上第一台和第二台月球车Lunohod-1和Lunohod-2。1976年美国发射海盗一号和二号(Rover-1、Rover-2)的登陆舱相继在在火星表面登陆，通过遥操作机械臂进行火星表面土壤取样。随着空间技术研究的日益深入，人类空间活动的日益频繁，需要进行大量的宇航员的舱外活动(EVA)，这对宇航员不仅危险，而且没有大气层的防护，宇宙射线和太空的各种飞行颗粒都会对宇航员造成伤害。建造国际空间站，以及未来的月球和火星基地，工程浩大，只靠宇航员也是非力所能及的。还有空间产业、空间科学实验和探测，这些工作是危险的，但有一定重复性，各航天大国都在研究用空间机器人来代替宇航员的大部分工作。此外许多空间飞行器长期工作在无人值守的状态，这些飞行器上面各种装置的维护和修理依靠发射飞船，把宇航员送上太空的办法既不经济，也不现实。在未来的空间活动中，许多工作仅靠宇航员的舱外作业是无法完成的，必须借助空间机器人来完成空间作业。2空间机器人的任务和分类1)空间建筑与装配。一些大型的安装部件，比如无线电天线，太阳能电池，各个舱段的组装等舱外活动都离不开空间机器人，机器人将承担各种搬运，各构件之间的连接紧固，有毒或危险品的处理等任务。有人预计，在不久将来空间站建造初期，一半以上的工作都将由机器人完成。2)卫星和其他航天器的维护与修理。随着人类在太空活动的不断发展，人类在太空的资产越来越多，其中人造卫星占了绝大多数。如果这些卫星一旦发生故障，丢弃它们再发射新的卫星就很不经济，必须设法修理后使它们重新发挥作用。但是如果派宇航员去修理，又牵涉到舱外活动的问题，而且由于航天器在太空中，是处于强烈宇宙辐射的环境之下，有时人根本无法执行任务，所以只能依靠空间机器人。挑战者号和哥伦比亚号航天飞机的坠毁引起人们对空间飞行安全的关注，采用空间机械臂修复哈勃太空望远镜似乎是一件很自然的事情。安装上新的科学仪器(包括一台视野宽阔的摄象仪和一台摄谱仪)后，哈勃望远镜的观测能力可增强十倍以上。空间机器人所进行的维护和修理工作包括回收失灵卫星，对故障卫星进行就地修理，为空间飞行器补给物资等。3)空间生产和科学实验。宇宙空间为人类提供了地面上无法实现的微重力和高真空环境，利用这一环境可以生产出地面上无法或难以生产出的产品。在太空中还可以进行地面上不能做的科学实验。和空间装配，空间修理不同，空间生产和科学实验主要在舱内环境里进行，操作内容多半是重复性动作，在多数情况下，宇航员可以直接检查和控制。这时候的空间机器人如同工作在地面的工厂里的生产线上一样。因此，可以采用的机器人多是通用型多功能机器人。空间机器人是空间技术研究的重要内容，它是代替宇航员进行空间科学研究和作业的有力工具。空间机器人按照用途可以分为i空间站机器人(包括空间站与航天飞机舱内机器人和空间站与航天飞机舱外机械臂)；ii星载机器人(包括空间自由飞行机器人和空间自由漂浮机器人)；iii外星表面探测机器人。从空间机器人的结构组成来看，可分为单臂和多臂(主要是双臂)空间机器人。(3) 空间机器人的特点空间环境和地面环境差别很大，空间机器人工作在微重力、高真空、超低温、强辐射、弱照明的环境中，因此，空间机器人与地面机器人的要求也必然不相同，有它自身的特点。由于空间机器人在空间微重力的环境下工作，因此当机械臂运动时，会对载体产生反作用力和力矩，从而改变载体的位置和姿态，即空间机器人的机械臂和载体之间存在着运动学和动力学耦合问题。如果不考虑这种力学耦合问题，而依然采用地面固定基座机器人的运动控制技术，空间机器人就无法完成预定的操作任务。所以研究空间机器人，首先要解决的是如何考虑这种因素，建立相互作用的运动学、动力学模型及运动控制算法。另一个关键问题是在地面上模拟微重力条件的地面试验平台，用来验证空间机器人运动特殊性、卫星姿态、捕捉目标路径规划等各种运动控制算法的可行性。由于是高真空，液体无法附着在固体表面，而且极易挥发，无法采用地面上常规的液体润滑和密封技术，而必须考虑固体润滑和磁流体密封。对于舱内空间机器人，要求体积比较小，重量比较轻，抗干扰能力强。其次，要求空间机器人的智能程度高，功能全。空间机器人消耗的能量要尽可能小，工作寿命要尽可能长。由于是工作在太空这一特殊的环境之下，对它的安全性、可靠性和可维修性要求也比较高。从控制的角度看，由于空间的遥操作距离远大于地面，时延成为不可忽略的因素，在地面上成功的控制策略和控制方法对于空间的遥操作往往行不通，必须考虑空间机器人的自主性和智能性，以及控制和通信的智能系统。总之，由于空间活动的成本高昂，空间技术的研究和发展需要强大的经济基础为后盾，这导致空间飞行器的设计需要采取特殊的思路，控制系统需要采用先进的策略和软硬件装备。由于空间活动的未知因素多，必须具备一定的自主工作能力(智能性和灵活性)，同时还必须具有良好的容错能力和可靠性。空间发射成本高，减轻发射重量成为诸多考虑因素的首选因素，这就使空间机器人大多为轻质柔性结构，因此具有较大的变形。微重力和载体不固定，使得空间机器人系统为非完整系统。因此空间机器人的基本特点是：轻质柔性、灵活性、容错性、非完整约束、智能性。此外为了使空间机器人具有容错性，一般都采用冗余自由度的构形、欠驱动方式和柔性结构。这些造成空间机器人系统的高度复杂性和综合性。空间机器人的研究涉及多学科领域，它集成了力学、机械学、控制工程、计算机科学、测试技术和通信技术等多学科领域的最新成就。(4) 空间机器人发展现状加拿大臂(Canadarm)的空间机械臂的正式名称是SRMS(the Shuttle Remote Manipulator System)，长15.2m,重410kg。已制造并交付使用了5套完整机械臂系统。每套臂系统中有2套手动控制器，分别控制3个移动和3个转动等6个自由度。该臂末端速度为600mm/s(空载);有载荷的情况下的速度为60mm/s。已飞向太空执行任务34次。在地面上是用气浮方式模拟太空微重力环境，作二维水平运动来试验、维护的。加拿大为国际空间站提供一个移动服务系统(MSS)及其有关地面设备。作为回报，加拿大将获得国际空间站3%的使用权。移动服务系统包括空间站遥控机械臂系统(SSRMS)、专用机械手(SPDM)两部分。SSRMS长17.6m，重936kg，负荷时移动速度为6mm/s，空载时移动速度为600mm/s，定位精度10mm/()，能搬动重量为19500kg、尺寸为18.3m4.6m的有效载荷。SSRMS可用于空间站的装配与服务、轨道器的对接与分离、有效载荷操作以及协助出舱活动等，在国际空间站的装配和维护中将发挥关键作用。SPDM是一个双臂机器人，每个臂长2m，有7个自由度，能承担目前由舱外活动航天员完成的许多维修和装配任务。从1981年第一次太空飞行，SRMS就表现出高可靠性、高效性和万能性，能够对负载进行准确、精细和复杂的操作。它是由加拿大MDA公司为美国NASA设计和制造的。以后NASA又订制了4台SRMS。加拿大臂能够无缝地实现把卫星放入轨道和回收有故障的卫星。1990年4月24日加拿大臂稳固地将Hubble空间望远镜放入轨道。从1990年4月到2002年3月它在4次太空飞行中协助宇航员完成了18次太空行走，进行了总计129小时的EVA。Canadarm 的非计划性任务包括清除阻塞的废水口的冰块，它们可能对航天飞机返回时收起天线和激活失效卫星重新放入正确轨道造成威胁。在 1998 年12月， Canadarm 在 国际空间站的第一次装配任务中发挥了关键作用, 实现了美国单元与俄国空间站Zarya的对接。Canadarm 将会继续在空间站装配中发挥重大的作用。加拿大臂由肩关节(2个自由度)、肘关节(1个自由度)和腕关节(3个自由度)，整个臂分为上臂和下臂。总质量905磅(410kg)。碳复合材料2数学力学基础(1). 矩阵理论矩阵的四个基本子空间线性方程组可以用矩阵形式写为(1)式中，A为mn系数矩阵，x为n维向量空间Rn的列向量，b为m维向量空间Rm的列向量。如果方程的数目小于未知数的数目，即mn。我们假设A是行满秩的，即A的秩r等于m。由于方程数m小于变量数n，方程组为欠定方程组。由线性代数可知，方程组的解不唯一，在所有的解向量中，有一个解向量是最小范数解。其他的解可以认为是由这个解和线性方程组对应的齐次线性方程组Ax = 0通解之和。齐次线性方程的这些解组成了向量空间Rn中的一个子空间，称为矩阵A的零空间，或者称为A的核。它的维数是n - m。记作N(A)。如果矩阵A的秩r小于m，零空间的维数则为n-r。类似地，齐次线性方程组ATx = 0的全体解组成了向量空间Rm的一个子空间，称为矩阵A的左零空间。它的维数是m - r。记作N(AT)。如果矩阵行满秩，即r = m，N(AT)为零。A的r个线性无关列在m维向量空间中张成一个r维子空间，记作R(A)，称为矩阵A的列空间。A的r个线性无关行在n维向量空间中张成一个r维子空间，它也可以看成是矩阵AT的列空间。定理1任何mn矩阵A，其左零空间N(AT)与列空间R(A)互为向量空间Rm中的正交子空间，并且Rm= R(A)N(AT)，一般称为它们互为正交补空间。定理2任何mn矩阵A，其零空间N(A)与行空间R(AT)互为向量空间Rn中的正交子空间，并且Rn = R(AT)N(A)，一般称为它们互为正交补空间。综如上述内容可知，给出一个mn实矩阵A，与之相联系的有4个重要的子空间：A的列空间：它由矩阵A的线性无关的列生成，用R(A)表示。A的行空间：它由矩阵A的线性无关的行生成，用R(AT)表示。A的零空间：它由满足齐次方程组Ax = 0的全体解组成，用N(A)表示。A的左零空间：它由满足齐次方程组ATx = 0的全体解组成，用N(AT)表示。Rn中的两个子空间R(AT)、N(A)；Rm中的两个子空间R(A)、N(AT)。它们的关系为 Rn = R(AT)N(A)， 且R(AT) = N(A)；Rm = R(A)N(AT)， 且R(A) = N(AT)；(2)这里，上标“”表示是正交补空间。矩阵的广义逆。由对线性方程组Ax = b较完整的讨论，可知它可能无解，或有唯一的一组解，或有无穷多组解。初看起来，无解的矛盾方程组没有任何意义，但是在实际工程问题中，常常会遇到矛盾方程组，或者叫作超定方程组。虽然不能求得Ax = b精确解，但是若能求得x，使最小，也是具有实际意义的，这就是矛盾方程组的最小二乘解。对于欠定方程组，在无穷多组解中常常需要求最小范数解。这两个问题不能用一般的矩阵逆的概念解决，这促使人们把矩阵逆的概念推广到长矩阵和非满秩的方阵，这就是广义逆产生的背景。1955年Penrose建立了下面的命题：对任一个矩阵，存在唯的矩阵G，同时满足下面四个方程：(i)AGA = A；(ii) GAG = G；(iii) (AG)T = AG；(iv)(GA) T= GA。(3)它是在Moore在1922年发表的论文基础上提出的。一般将同时满足上面矩阵方程的矩阵G称为矩阵A的Moore-Penrose逆，或简称为M-P逆，记为A+。它来源于线性方程组求解，目的是：线性方程组Axb对下述问题的解能用矩阵形式给出。(i)相容方程的解；(ii)相容方程的最小范数解；(iii)矛盾方程的最优近似解；(iv)矛盾方程范数最小最优近似解。这里讨论的矩阵均为实矩阵。它确定一个Rn至Rm的线性变换y = Ax。A是mn矩阵，x是n维向量，y是m维向量。前面已讲到，与矩阵A相联系的有四个重要子空间。Rn的两个子空间R(AT)和N(A)；Rm的两个子空间R(A)和N(AT)。它们的关系为Rn = R(AT)N(A)，且R(AT)N(A)； Rm = R(A)N(AT)，且R(A)N(AT)。换言之，R(AT)与N(A)互为Rn中的正交补空间，R(A)与 N(AT) 互为Rm中的正交补空间。关于广义逆，需要用很多时间讲清楚，这里不准备详细介绍。只考虑最理想的情况，即矩阵A是满秩的(行满秩或列满秩)。当m n，矩阵A是只可能列满秩。有必要研究满秩矩阵的单边逆：左逆和右逆。它们是广义逆的特例。定义1设ARmn，若存在GRnm，使得AG = I（或GA = I），则称G为A的右逆（或左逆），记为（或）。可以证明，如果矩阵ARmn行满秩，则必存在下列形式的右逆， (4)如果矩阵ARmn列满秩，则必存在下列形式的左逆， (5)下面的两个定理给出了左逆和右逆的存在条件。定理3 设ARmn，则下列的提法是等价的：1) A是左可逆的；2) A的零空间N(A) = 0，A的行空间R(AT) = Rn；3) m n，Rank(A) = n ，即是列满秩的。定理4 设ARmn，则下列的提法是等价的：1) A是右可逆的；2) A的左零空间N(AT) = 0，A的列空间R(A) = Rm；3) m n，Rank(A) = m ，即是行满秩的。矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解是矩阵理论的基本知识，它对于广义逆的计算和冗余自由度机器人逆运动学的求解都具有重要的应用价值。在线性代数中曾把n阶对称矩阵A分解成如下的乘积形式 A = PDPT (6)其中D为对角矩阵，其对角线元素为A的实特征值，P为正交矩阵，其第j列为与D的第j个对角线元素相应的特征向量(j = 1,2,n)。我们已经看到，这种分解式是研究对称矩阵的有力工具，由它可以推出一系列有用的结论。只有对称矩阵才有这种分解式。对于非对称矩阵,以至一般的长方形矩阵是否可以建立类似的分解式?下面的定理回答了这个问题。定理5 设A为任意mn阶矩阵，其秩数为r，则有m阶正交矩阵P和n阶正交矩阵Q，使得A = PDQT 或 PTAQ=D(7)其中D为如下形式的mn阶矩阵图1刚体的质量参数XYPiOZdmGi它的左上角的子块Dr是r阶对角矩阵l1l2lr0其余几个子块是各自具有适当阶数的零矩阵，我们一律记为Q。l1，l2，lr称为矩阵A奇异值。关于矩阵的其他概念，如向量和矩阵的范数，向量空间的基底与坐标，线性相关与线性无关等不介绍了。(2). 力学基础 刚体的质量参数刚体的质量参数除了刚体的质量m，还包括与刚体质量分布有关的量，即刚体质心G在刚体上的位置和刚体的惯性张量(惯性并矢)。在这里我们由刚体的动能引出刚体惯性张量的概念。如图1所示，刚体坐标系(即连杆坐标系)的原点为Oi，它在参考系中的位置可由其向径确定，刚体上任一元质量dm在刚体上的位置由给定。而它在参考系中的位置由确定。刚体的质心为Gi，质心在刚体上的位置向径是，在参考系中的向径是。质心应满足(8)因此，(9)刚体上元质量dm的动能dT = 。由于，故，其中是刚体的角速度向量。整个刚体的动能应将元质量的动能dT对整个刚体质量进行积分，即，利用矢量数学可得其中积分项是仅与刚体质量分布有关的量，给出如下定义定义2 刚体对点Oi的惯性张量(10)这样刚体的动能为(11)若刚体作定点转动，因为= 0，刚体动能为(11-1)若取质心G为连杆坐标系原点，因为= 0，刚体动能为(11-2)这是一般理论力学教科书中的刚体动能公式。在连杆坐标系中，的分量是个33矩阵，称为刚体在该连杆坐标系中对Oi点的惯性矩阵，记为(12)式中，将它代入(17)式，可得的各元素为(13)刚体动能的矩阵形式为(14)刚体对参考系原点O的角动量和角动量定理质点对参考系原点O的角动量为，同样，刚体上元质量dm对O点的角动量为，将元质量的角动量遍及整个刚体积分，可得刚体的角动量为上式中第3项积分,用惯性张量概念，可化简为(15)若P点不动，即= 0，则(15-1)若取质心G为连杆坐标系原点，即= 0和，则(15-2)下面我们引出一个刚体动力学的重要定理角动量定理，它在刚体力学中的地位相当于质点力学中的动量定理。角动量定理可以叙述为：对惯性参考系原点O的绝对角动量的绝对时间导数等于所有外力对同一点的合力矩，即(16)由此式和角动量的定义可得(这里略去整个推导过程)(17)这就是向量形式的 Euler方程，是作用在刚体i上的所有外力对Oi点的主矩。Euler方程和Newton定律构成了刚体系Newton-Euler力学的基础，是机器人动力学的主要力学工具之一。在刚体连杆坐标系Oixiyizi中，(17)式的分量矩阵形式为(18)式中，。现在考虑几种特殊情况：如果连杆坐标系的原点Oi取刚体的质心Gi，即= 0，则(18-1)连杆坐标系原点加速度为零，或者指向质心，则(18-2)若略去式(18-1)和式(18-2)中的下角标，可以写成统一的公式，在刚体连杆坐标系Oixiyizi中，此式的矩阵分量形式为。如果坐标系Oixiyizi的3个坐标轴为主轴，上式可以进一步简化为(19)在大多数力学专著中，Euler方程都采用式(1.10.28)的形式，读者在使用时需注意其特殊的使用条件。广义坐标和自由度、位形空间q空间描述一个力学系统或机电系统的位形要用到一组坐标，这组坐标称为广义坐标，用q1，q2，qn表示，简称为q坐标。一个系统的重要特性是它的自由度，对于非自由系统，系统的状态会受到某些强加的限制，这些限制称为约束，约束的数学表达式就是约束方程。系统的自由度等于系统的广义坐标数减去这些坐标间的独立约束数。各种坐标都可以用作广义坐标，完全描述一个系统的位形。对于同一个系统，描述其位形不一定要有相同数目的广义坐标，也不一定要求有相同数目的约束。只要广义坐标数减去约束数一样，即等于系统的自由度。例如，对于定点转动的刚体，如果广义坐标采用Euler角，只要3个坐标，没有约束。如果采用Euler参数，有4个坐标，这4个坐标之间存在一个约束，即4个Euler参数的平方和等于1。无论采用Euler角，还是Euler参数，坐标数减去约束数都等于3。一般广义坐标都具有显而易见的几何意义，当所选的广义坐标相互独立而不违背约束时，广义坐标数就是系统自由度数，这就是为什么有时人们把独立的坐标定义为广义坐标的原因。实际上，“广义坐标”本身与“独立坐标”并没有必然联系。很自然地，我们可以把系统的位形看成是这个坐标构成的n维空间中的一个点。这n维空间称为位形空间，简称q空间。这个点是系统的位形点。当系统随时间改变其位形时，系统位形点在q空间中描出一条曲线。如果所有的q坐标是独立的，这条曲线是连续的和不受任何约束的。但是如果存在对q的约束，这些约束是q空间中的一个超曲面，位形点将在这个超曲面上运动。约束的分类对于一个系统，可以用这n个广义坐标来描述其位形，任一时刻系统位形及其速度是该系统在该时刻的状态。假设对有m个约束，约束方程可以一般地表示为，(20)当约束方程中不显含时间t时，称为定常约束，否则称为非定常约束。若约束方程中仅含运动变量，即，(21)或，(22)这样的约束称为几何约束。几何约束的约束方程可以写成微分形式，只要将上式求微分，可以得到微分形式的几何约束方程，(23)或，(24)系统的速度也会受到约束，其约束方程如式(23)或(24)，在此式中仅含运动变量、速度和时间，而不含加速度，这样的约束称为一阶约束。根据约束方程是速度的线性关系式或非线性关系式，可以把它们分为一阶线性约束或一阶非线性约束。在机器人或大多数机械系统中，普遍存在一阶线性约束，只有欠驱动机器人存在二阶线性约束。一阶线性约束可以表示为，(25)式中，Aij和Ai0是坐标qj及时间t的函数，这种约束称为普法夫(Pfaff)约束。如果方程左边不可积分，即不是全微分时，这类约束称为非完整约束(一阶非完整约束)。如果方程左边可积分，即是全微分时，这类约束为完整约束。几何约束都是完整约束，能够表示成普法夫(Pfaff)形式。因此普法夫(Pfaff)约束方程是完整约束和非完整约束的统一形式。具有非完整约束的系统是非完整系统，全部约束为完整约束的系统是完整系统。大多数地面机器人系统是完整系统，非完整的机器人系统的例子是机器人多指灵巧手、轮式移动机器人等。而用于太空的空间机器人多数是非完整系统。图2无质量刚性杆连接的两个质点作为完整系统的一个例子，考虑图1.11.1所示的在x-y平面上运动的两个质点，这两个质点被一个长度为l的无质量的刚性杆连接。对应的约束方程为，这个约束方程只含有坐标，因此是完整约束。在这种情况下，有4个坐标和1个约束方程，因此自由度为3。为了得到独立的广义坐标，可以利用这个约束方程从运动方程中消去一个坐标。这个消去过程常常会遇到代数运算的困难，因此很少采用。我们可以另外寻找独立的广义坐标。例如可以取杆中点的直角坐标x，y和杆与x轴的夹角这3个坐标，它们是独立的。我们已经假设杆长l是不变的，约束方程不显含时间，这样的约束是定常约束。若长度l是时间的函数，这样的约束为非定常约束。在一般意义下，非定常约束是时变约束。现在我们考虑一个非完整约束和系统，一个系统有m个约束，它们形如，(26)但是是不可积分的，式中，Aij和Ai0是坐标qj及时间t的函数。这种约束是非完整约束。由于它们不可积，由(26)不能得到形如(21)或(22)的约束方程，这样也就无法消去不独立的变量，也就无法找到一组独立的广义坐标。因此，非完整系统总是要求比自由度更多的广义坐标数来描述其位形。图3无质量刚性杆连接的两个刀口支撑的质点作为非完整系统的例子，我们再次考虑图2所示的用无质量的刚性杆连接的两个质点，不同的地方在于在两个质点上各附加一个刀口支撑(图3)，这种支撑只允许质点沿垂至于杆的方向运动，因此杆中心的速度必须垂直于杆的方向，这导致下列约束方程或者(27)这个式子左边不是恰当微分(全微分)，即没有一个函数f(x, y, )存在，能使(27)式左边成为 进一步说，方程(27)也不能被任何整数因子相乘，得到恰当微分，因此是不可积的。由数学分析理论可知微分方程可积的充要条件是(28)式中ax，ay，a是x，y和的函数。应用这个准则检查方程(27)，我们可知它是不可积的。用无质量杆连接的两个质点组成的系统可以说明完整系统和非完整系统的重要区别。对于在平面上运动的两个质点组成的系统(图2)，自由度是4，对应于4个独立坐标的位形空间是4维的。加上一个刚性杆约束，使系统的自由度减少为3，系统只有3个独立坐标，对应的位形空间是3维的。在位形空间中的任何位形点都是可达的。现在考虑非完整约束的影响，在各质点上附加的刀口约束，使质点只能沿垂直于刚性杆的方向运动。系统的自由度减少为2，但是所需要的最少的广义坐标数仍然为3。从位形空间的角度来看，3维的位形空间中的任一位形点都可以由任何其他位形点到达。非完整约束的作用在于限制了在位形空间任一点允许运动的方向，但是这并不能减少位形空间的的维数。 虚功和虚功原理在分析力学中虚功是一个重要的概念，它与用能量方法推导系统的运动方程直接相关，并且是研究系统稳定性的一个重要概念。因为虚功的概念与虚位移的概念密切相关，所以我们首先研究虚位移的本质。为了引出虚位移的概念，我们考虑一个由N个质点组成的系统，其位形由系统在惯性系中的3N个直角坐标x1，x2，x3N给定，这些坐标可能受有一些约束。在任一给定时刻，设诸坐标产生无限小的位移x1，x2，x3N，它们是一些虚拟和假想的位移，因为我们假定这些位移不是发生在一个时间过程中，并且不一定要与这些约束相一致系统位形的这一微小改变x叫做虚位移。通常情况下，一个虚位移服从瞬时约束，即假定所有的动约束(时变约束)在虚位移过程中部停滞下来。例设这个系统受到m个完整约束，(j = 1, 2, , m)(29)取fj的全微分，可得，(j = 1, 2, , m)(30)一个服从这些约束的虚位移的各个x由下面k个方程关联，即，(j = 1, 2, , k)(31)这里我们用x代替了在方程(30)中的dx，并且略去dt项，因为在虚位移期间时间约束保持“固定”。类似的，假设系统受到m个非完整约束，约束方程为，(j = 1, 2, , m)(32)各x由下列m个方程相关联，即，(j = 1, 2, , m)(33)这就出现一个问题，虚位移能否是实位移，实位移是由一组dx描述的，并且是在时间增量dt内发生的。换句话说，在什么条件下，各x可以用相应的dx替代？比较方程式(30)和(31)表明任何完整约束同时必须是时不变的，即条件，(j = 1, 2, , k)(34)必须适用。同样地，任何非完整约束必须满足条件，(j = 1, 2, , m)(35)至此，对虚位移的讨论所采用的是直角坐标。现在来考察一个系统，其位形是由最少数目的广义坐标给定的。这样，任何约束都可以是非完整的，并且可以表示为，(j = 1, 2, , m)(1.11.17)或者以另一种形式表示为，(j = 1, 2, , m)(1.11.18)其中各个a都是q和t的函数。任何与约束相容的虚位移必须符合条件，(j = 1, 2, , m)(1.11.19)现在我们在讨论虚功的概念。让我们再回到由N个质点组成的系统，其位形由系统在直角坐标系中的3N个直角坐标x1，x2，x3N给定。假定力的分量F1，F2，F3N作用在对应坐标的正向。这些力在虚位移x上的虚功W为 (1.11.20)虚功表达式的另一种形式为 (1.11.21)其中Fi是作月于第i个质点上的力，ri是该质点的位置向量，由向量表达式可以看出，虚功与所采用任何特定的坐标系无关，当然，这是假定运动是相对于惯性参考系来度量的。在虚功的表达式中，重要的是要认识到在虚位移过程中假定各力都保持不变，即使是实际的力由于无限小位移而发生急剧变化时亦如此。力随位置而发生突变是可能的，比如在某些非线性系统中就是这样。值得注意的另一点是，虚功表达式被定义为对虚位移是线性的，换言之，虚功类似于一次变分。现在来考察有约束系统，我们把作用于第i个质点的合力分为主动力Fi和约束力Ri，约束力的虚功为(1.11.22)经常存在的多数约束隶属于所谓无功约束。可以这样来定义无功约束：无功约束是这样的双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的虚功为零。可以看出，对于只受有无功约束的系统，虚功Wc等于零，即(1.11.23)式中的虚位移ri与瞬时约束相一致。无功约束的例子有(1)质点间相互的刚性连接，(2)在无摩擦表面上的滑动，和(3)无滑动的滚动接触，即纯滚动。下面详细地来考察第一个例子。首先假定两质点由无质量的刚杆相连，如图1.11.1所示，按照牛顿第三定律刚杆作用于质点ml和m2上的力是大小相等、方向相反而且共线的。因而R2 = R2er = -R1(1.11.24)式中，er是沿着刚性杆方向的单位向量。进一步讲，由于杆是刚性的，二质点的位移在杆的方向的分量必定相等，或err1 = err2(1.11.25)因此约束力的虚功为零。对于在无摩擦表面上的滑动的物体，和无滑动的滚动接触的园盘，也可得到相同的结论。除非作出相反的说明，在以后凡是讨论约束时我们对约束力一词应解释为无功约束力。在诸如有摩擦的滑动约束情况，切向摩擦力归并到主动力Fi一类，而法向分量则按通常的方式作为无功约束力来处理。单面约束不归入无功约束一类，因为可以找到这样一组许可的虚位移，单面约束力在这组虚位移中的虚功不是零。在讨论虚功原理时，将进一步对此加以分析。虚功原理 虚功概念的重要应用之一是在力学系统的静平衡研究方面，假设所考察的是具有N个质点的平稳系统，如果该系统处于静平衡，则对于每个质点，有Fi + Ri = 0(1.11.26)因此，所有的力在与约束相一致的任意虚位移中所作的功是零，即(1.11.27)如果我们假定所有的约束力是无功的，而且ri是与约束相一致的可逆虚位移，于是(1.11.28)由式(1.11.27)和(1.11.28)可得到如下的结果：(1.11.29)这就证明了下述结论：如果受有无功约束的质点系处于静平衡，则对于与约束相一致的任意虚位移，主动力的虚功等于零。现在假定，同一个质点系初始是静止的，但并非处于平衡。于是，在一个或更多的质点上必有净力作用，并且根据牛顿运动定律，质点将开始沿净力的方向运动。由于任何运动必定同约束(假定是固定的)相一致，我们总可以沿每点实际运动的方向选取一组虚位移。在此情形虚功是正的，亦即(1.11.30)反向的诸r将导致对于该系统的负功。但是，不论是什么情形，如果系统不是处于平衡，总可以找到一组与约束相一致的虚位移，它将使得主动力的虚功不是零。这些结果可以概括为虚功原理：对于受有无功约束而初始处于静止的平稳系统，其静平衡的必要和充分条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的虚功为零。达朗伯原理 再来考察只有N个质点的系统，并就每个质点写出如下形式的方程：(i = 1, 2, , N)(1.11.31)和以前一样，式中Fi和Ri分别是施加在第i个质点上的主动力和约束力。项具有力的量纲，叫做作用于第i个质点的惯性力，其中mi是常质量，而是相对于惯性参考考系的加速度。与惯性力不同，习惯地把Fi和Ri叫做真实力或实际力。因此，式(1.11.31)表明，作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和等于零。这一结果称为达朗伯原理。在每个质点上全部力的和等于零这样一个要求，类似于静平衡的必要条件。由于虚功原理运用于处在静平衡的系统，因而可以将该原理应用于这个包括惯性力在内的力系。全部力在任意虚位移中所作的总功是(1.11.32)这个方程即达朗伯原理的拉格朗日形式，它是经典动力学的最重要方程之一。由于在虚功原理的上述应用中包括惯性力在内，该原理的正确性就和对静平衡系统一样，被推广到动力学系统。要注意，方程(1.11.32)中不包括往往是末知的诸约束力，而仅仅要求主动力Fi和诸r与瞬时约束相一致，则该方程既适用于平稳系统，也同样适用于非平稳系统。1.11.5广义力 在上面关于虚功的讨论中已经考察了主动力(或是与它们等效的各正交分量)在某一虚位移中所做的功。例如，若给定作用于具有N个质点的系统上的一组力F1，F2，F3N则这些力的虚功为(1.11.33)现在假定，3N个直角坐标x1，x2，x3N经由变换式x1 = x1(q1，q2，qn，t)x2 = x2(q1，q2，qn，t)(1.11.34)x3N = x3N (q1，q2，qn，t)与n个广义坐标q1，q2，qn相关。如果将此式微分，井令t = 0 (由于我们考虑的是虚位移)，我们得到(j= 1, 2, , 3N)(1.11.35)一般地说，式中的系数是各q和t的函数，将这些xj的表达式代入式(33)，得到(1.11.36)我们用下式来定义广义力Qi，(i = 1，2，n)(1.11.37)然后把式(37)代入式(36)，改变求和次序，得到(1.11.38)比较一下虚功表达式(1.11.33)和(1.11.38)，我们可以看出它们在数学形式是相同的。前面我们已经把各F定义为一般的力分量，它们沿各x正向作用于对应的各x。由式(1.11.33)可见，Fj也等于所有其它x都为零时在每单位xj位移中的虚功。类似地，我们可以把广义力Qi看成作用于系统的所有F在每单位qi位移中所做的虚功，但假定其它的q都是零。这里我们通常假定虚位移足够小，对系统几何形状的影响微不足道，且在虚位移过程中各力都保持不变。广义力的量纲取决于对应的广义坐标的量纲，但是无论如何，Qiqi必定具有功或能的量纲。所以，若qi代表线位移，则对应的Qi是一般的力。另一种情况，如果qi是角度，则对应的Qi是力矩。在有些情况，广义坐标可能用一种变异形式表示，在此变异形式中平动和转动都会在系统的不同部分出现。在此情形，如果取qi为一无量纲化的比，则对应的Qi具有能量的量钢。通常选取广义坐标的方式是使这些坐标都是独立的。然而，若有约束存在，那么在所要求的虚位移中仅有一个q不等于零时，就要不计这些约束。这并不意味可以不计其约束力，因为在这些约束条件下各力R也和F一样对广义力有所贡献。例如，在非完整系统情形就有广义约束力出现，因为不可能选出独立的广义坐标，这些广义约束力通常表示为拉格朗日乘子的形式。在论述虚功原理时，广义力的概念是非常有用的。假定所考虑的是无初始运动的完整系统，它受有定常的无功约束。如果系统的位形是用独立的广义坐标来表示，则系统处于静平衡的必要与充分条件是主动力产生的全部Q都等于零。这诱使人们寻找广义惯性力的表达式，并在虚功原理中利用它们来导出动力学普遍方程，亦将运动微分方程以广义坐标和广义力表示。这是一个可以用来导出拉格朗日方程的有效途径。1.11.6能量和动量势能 考虑一个质点，它的位置由直角坐标(x，y，z)给定，假设作用于该质点的合力F具有以下分量：(1.11.39)式中的势能函数V(x，y，z)只是位置的单值函数，也就是说，它不是速度和时间的函数。满足此条件的力众所周知为保守力。现在来考虑力F在无穷小位移dr中所作的功。有dW = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz(1.11.40)将式(39)代入，可得dW = (1.11.41)由此可见，dW 是恰当微分。下面来考察当该质点沿某路径由点A运动到点B时力F所作的功W。可得(1.11.42)由于势能仅是位置的函数，因而可作出下述结论：对质点所作的功依赖于初始和终了位置，但与联接这两点的特定路径无关如果A和B两点重合，可进一步得到下面的结论：沿任何封闭路径所作的功是零。因此，对于任何保守力F，有(1.11.43)功和动能 关于功和动能，以及动能定理，我们假定读者已经比较熟悉，所以不在赘述。需要指出的是，力F可能是由任何来源所引起的。它不一定是保守的。此外，保持与质点速度相垂直的力分量都不作功，因而在应用动能原理时可以略去不计。广义动量 考虑位形由n个广义坐标描述的系统，我们定义拉格朗日函数L(q，t) = T V(1.11.44)与广义坐标qi相应的广义动量pi由下式定义：(1.11.45)它一般是诸q，和t的函数。但要指出，在大多数情况下，拉格朗日函数是的二次式。因此，pi是的线性函数。在一般情况下，势能与无关，因此(1.11.46)1.11.7拉格朗日方程阐述经典动力学的题目一般有两种方法。这两种方法通常叫做矢量动力学和分析动力学。矢量动力学基于直接应用牛顿运动定律。它侧重于与系统各部分相关的力和运动，以及各部分之间的相互作用。另一方面，分析动力学则更关注的是把系统作为一个整体来考虑，并且使用诸如动能和势能这类表述性的标量函数。对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程，而无须明显地解出作用于系统各部分的约束力。此外，还可以从变分原理中获得新的认识，而这些原理对于透彻地了解动力学是如此重要。 我们从拉格朗日方程的推导和应用着手，把重点放在动力学的分析方法方面。以后还会看到，这种方法对于系统求解更复杂和更困难的经典动力学问题是非常有用的。由分析动力学可知，系统的动能为T = T2 + T1 + T0(1.11.47)其中T2是各的齐次二次函数，T1是各的齐次一次函数，T0则包括其余的各项，这些项都是各q和t的函数。更明显地写出来，T2的形式为(1.11.48)其中，(1.11.49)而(1.11.50)其中，(1.11.51)最后，(1.11.52)由式(1.11.49)、(1.11.51)和(1.11.52)可知，系数mij，ai以及T0都是各q和t的函数。现在详细地对T2加以考察。由式(1.11.47)、(1.11.48)和(1.11.49)可以看出，T2是在所有偏导数xk/t都为零的情况下的总动能，亦即，当所有的约束和参考系都保持固定时系统的总动能。因此，若假定有一个或更多个q不变的情况，意指系统中有一个或更多个质点在运动，并且反之亦如此；则可得出结论：T2必定是各的正定二次函数。T2的正定性限制了mij的取值。如果我们定义一个对称的nn广义惯性矩阵m，其元素为mij，T2的正定性要求m正定。由式(1.11.51)和(1.11.52)可知，仅在非定常系统情形下，T1和T0才不为零。对于定常系统，其动能T= T2是各q的齐次二次函数。在此情形，由式(1.11.49)可见，惯性系数mij都是诸q的函数，而不是时间的函数。由于T1对各是线性的，显然，它可以是正的或是负的。另一方面，T0是正的或是零。作为推导拉格朗日方程的出发点，我们来考虑具有N个质点的系统，将达朗伯原理表达式写成如下形式(1.11.53)式中，Fk是对应于xk的主动力分量，即除去无功约束力意外，作用于给定质点的全部实在的力。由式(1.11.33)可知，(k = 1, , 3N)(1.11.54)利用这组公式，可以把虚位移xk用各q表示为(1.11.55)于是由式(1.11.53)和(1.11.55)得到(1.11.56)又由式(1.11.54)对时间二次求导，得(1.11.57)故，。注意到求导的顺序可以改变，便得到(1.11.58)我们可以把广义动量pi写成以下形式(1.11.59)所以，(1.11.60)再考虑到广义力Qi为(1.11.61)可以得到(1.11.62)至此，除去要求各q必须与瞬时约束相一致以外，再没有对其作任何其它限制。为了略去约束力的虚功，这个限制是必要的。现在我们做出另外一些假定，即系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标描述。如果各q都是独立的，则式(1.11.62)中每个qi的系数必须是零。因此，(i = 1，2，n)(1.11.63)这就是众所周知的拉格朗日方程的主要形式。1.1 凯恩(Kane)方法分析动力学的经典研究，已经给出了质点系的动力学方程。如上一节所述的拉各朗日方程以及Gibbs - Appell方程等。这些方程中有一些不仅在形式上异常简单，而且在动力学的理论研究上有重大的意义，但是，在解决动力学的实用问题中，特别是在用计算机编程和分析复杂力学系统的动力学和稳定性问题时，完全沿用上述经典方法的计算程序有时显得不便。对于建立动力学方程来说，经典方法虽然有理论上统一的好处，但在计算上可能是多作了一些事；