概率论第一章习题详解.docx

第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A、B、C均表示事件，表示不可能事件1、 （ 否 ） 解：,只有当2、 （ 否 ） 解：3、 （ 是 ） 解：4、若 （ 否 ） 解： A B 显然 5、若 （ 是 ）6、若 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。 （ 是 ）8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件： 互逆事件：二、填空题1、一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 .2、化简事件. 解： 3、设A，B，C为三事件，用A，B，C表示下列事件：（1） A不发生，B与C都发生可表示为 ；（2） A与B都不发生，而C发生可表示为 ；（3） A发生，但B与C可能发生也可能不发生可表示为 ；（4） A，B，C都发生或都不发生可表示为 ；（5） A，B，C中至少有一个发生可表示为 ；（6） A，B，C中至多有一个发生可表示为 ；（7） A，B，C中恰有一个发生可表示为 ；（8） A，B，C中至少有两个发生可表示为 ；（9） A，B，C中至多有两个发生可表示为 ；（10） A，B，C中恰有两个发生可表示为 .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A表示“恰有一弹击中飞机”，B表示“至少有一弹击中飞机”，C表示“两弹都击中飞机”，D表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A、A与D是互不相容的 B、A与C是相容的C、B与C是相容的 D、B与D是相互对立的事件2、下列关系中能导出“A发生则B与C同时发生”的有（ A ）A、 B、 C、 D、 解： A发生则B与C同时发生四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解：1、 2、 3、 4、五、在分别标有1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张。设事件A表示“抽得一张标号不大于4的卡片”；事件B表示“抽得一张标号为偶数的卡片”；事件C表示“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本结果表示如下事件： 解：六、在计算机系的学生中任选一名学生，设事件A表示“被选学生是女生”，事件B表示“被选学生是一年级学生”，事件C表示“被选学生是运动员”。 1、叙述事件的意义； 2、什么时候； 3、什么时候？ 解：1、该生是一年级女生，且不是运动员； 2、计算机系的运动员都是一年级女生； 3、计算机系的一年级学生都是男生，而其他年级都是女生时。习题二 随机事件的概率、古典概型与几何概型一、 判断题1、概率为零的事件一定是不可能事件 （ 否 ） 解：如2、 （ 否 ） 解：3、 （ 是 ） 解：,4、 ( 是 ) 解：5、若,则 （ 是 ） 解：若，则6、若，（1）则事件A和B不相容； （ 否 ） 解：由1可得（2）则或. （ 否 ） 解：A，B可为不相容事件二、 填空题1、 设事件A，B互不相容，则0，0.7解：A，B互不相容 2、已知，则0.7，0.3， 0.2， 0.5 . 解： 3、若，则0.7，0.8， 0.3. 解： 三、 选择题1、设事件A，B互不相容，则（ C ）A、 B、 C、 D、解：2、设当事件A和B同时出现时事件C也随之出现，则（ B ）A、 B、C、 D、解：四、 设A，B是两事件，且1、 在什么条件下取到最大值，最大值是多少？2、 在什么条件下取得最小值，最小值是多少？解： 1、 即，为最大值2、 而当时， 五、设A，B，C是三事件，且,求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：A，B，C至少有一个发生的概率为 六、 设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：1、 只有1件次品；2、 最多1件次品；3、 至少1件次品。解：1、事件A表示只有1件次品： 2、事件B表示最多一件次品：3、事件C表示至少1件次品：习题三 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、判断题1、设S表示样本空间，则 （ 否 ） 解： ，应为2、 （ 否 ） 解：，应为3、若，则 （ 是 ） 解：4、若，则 （ 否 ） 解： ，5、若，,则 （ 是 ） 解：6、若 （ 否 ） 解：W B 如图：设 A C 则 而二、 填空题1、 已知， .解： (1) (2) 2、 已知 .解： 3、 已知0.75 .解：于是4、 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为0.75 .解：设事件A表示甲击中目标，B表示乙击中目标，C表示目标被击中，则 目标被甲击中的概率为：三、一电子器件工厂从过去经验得知，一位新工人参加培训后能完成生产定额的概率为0.86，而不参加培训只能完成生产定额的概率为0.35，假如该厂中有80%的工人参加过培训，（1）一位新工人完成生产定额的概率为多少？（2）若一位新工人已完成生产定额，他参加过培训的概率是多少？ 解：设A表示工人经过培训，B表示工人完成生产定额，则构成完备事件组（1） 由全概率公式可得： （2） 由贝叶斯公式可得：四、某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率为5%，一位顾客随机的取出一个电灯泡，求它是合格品的概率。解：设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C表示产品为合格，则A，B构成了完备事件组，由全概率公式可得： 五、有三只盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔，乙盒中装有4支红芯圆珠笔，2支蓝芯圆珠笔，丙盒中装有3支红芯圆珠笔，3支蓝芯圆珠笔，今从中任取一支，设三只盒子取物的机会相同。1、 求它是红芯圆珠笔的概率；2、 若已知取的是红芯圆珠笔，问它取自甲、乙和丙哪个盒子的可能性大？解：1、设A表示笔取自甲盒，B表示笔取自乙盒，C表示笔取自丙盒，D表示取得是红芯圆珠笔，则A，B，C构成了完备事件组，由全概率公式可得2、 红芯圆珠笔取自乙盒的可能性最大六、求证下列各题成立1、2、设证明：1、 2、 习题四 事件的独立性一、判断题1、概率为零的事件与任何事件都是独立的。 （ 是 ） 解：2、设，若A与B为对立事件，则A与B相互独立。 （ 否 ） 解：若A与B为对立事件，则3、设，若A与B相互独立，则A与B相容。 （ 是 ） 解：若A与B相互独立，则，即A与B相容4、A，B，C相互独立的充分必要条件是它们两两相互独立。 （ 否 ） 解：只是必要条件，充分条件见书上：P30的定义35、从一大批产品中“不返回”地抽取，则可以认为各次抽取间产生的事件是独立的。 解：尽管是“不返回”的抽取，但由于是一大批产品，即基数很大，所以抽取后的次品率不变，因此是独立的. （ 是 ）二、填空题1、设事件A与B相互独立，已知0.2 ， 0.7 . 解：由A与B相互独立则： 即： 1、 2、 2、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则 . 解：由 而 由A，B独立可知也独立，即 可得三、 选择题1、 设，则下列结论正确的是（ C ）.A、A与B互不相容 B、C、A与B互相独立 D、解： A与B互相独立 2、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件：； ；，则（ C ）. A、相互独立 B、相互独立 C、两两独立 D、两两独立 解：显然，则 即C对 ，即A错，即B、D错四、 设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球，现独立地分别在两只盒子中各取一只球：1、 求至少有一只蓝球的概率；2、 求有一只蓝球一只白球的概率；3、 已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率.解：1、设A表示至少取到一只蓝球，表示从第一个盒子取到蓝球，表示从第二个盒子取到蓝球，显然与独立，则： 2、设B表示取到一只蓝球一只白球，表示从第一个盒子取到白球, 表示从第二个盒子取到白球，显然与，与相互独立，即： 3、五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，今各投3次，求：1、两人投中次数相等的概率；2、甲比乙投中次数多的概率. 解：由3重贝努里概型可得：甲： 0中的概率： 1中的概率： 2中的概率： 3中的概率： 乙： 0中的概率： 1中的概率： 2中的概率： 3中的概率： 1、两人投中次数相等的概率为： 2、甲比乙投中次数多的概率为：六、证明下列各题1、已知，证明相互独立；2、设A，B，C三事件相互独立，试证：皆与C相互独立. 证明：1、 即 ，于是： ，即相互独立. 2、由A，B，C三事件相互独立，可得：（1） ， 即与C独立. （2） 即与C独立. （3） 即与C独立.第一章 复习题一、 填空题1、 已知0.7 .解：由，有 2、 设随机事件A与B互不相容，已知则 ， .解：由A与B互不相容可得 ,于是有：1、 2、 3、设两两相互独立的三事件A，B，C满足条件：,且已知 . 解：设，则： 4、 某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品，从这批产品中任取一半来检查，则次品不多于1个的概率为0.181 .解：设A表示次品不多于1个，则：5、 假设1000件产品中有200件是不合格的产品，依次作不放回抽取两件产品，则第二次抽到不合格品的概率是 0.2 .解：设A表示第一次抽到不合格品，B表示第二次抽到不合格品，显然与为完备事件组，且，则由全概率公式有： 二、 选择题1、设, ,是三事件，与事件互斥的事件是（ D ）A、 B、 C、 D、解：做图显然可得.2、设与不相容，,则下列结论肯定正确的是 ( B ) A、不相容 B、 C、 D、解：3、已知,则( A )A、0.6 B、0.5 C、0.4 D、0.3解：4、设,则 ( C )A、与互不相容 B、与相互对立C、与相互独立 D、与互不独立解：由及，可得： 与相互独立 5、设事件和满足,则 ( C )A、是必然事件 B、包含事件C、 D、 解：三、设,试将下列4个数： 按由小到大的顺序用不等号连接起来，并分别对每个不等号指明何时成为等号。 解： （1），当时， （2），当时， （3），当时， 四、计算下列各题1、一箱子中盛有20个红球，10个黑球，设所有的球都是可区分的，连续地从中取球且取出后不放回去，直到取到黑球为止，试求取得的红球数恰好是的概率。 解：设A表示刚好取到个红球，则在前次取的都是红球，第次才取到黑球，于是有： 2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意的拨号。求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A表示拨号不超过3次接通所需电话，B表示已知最后一个数字是奇数，拨号不超过3次接通所需电话，则： 3、一口袋中有6个球，对其中球的颜色有三种看法：袋中有四只红球和两只白球；袋中有三只红球和三只白球；袋中有两只红球和四只白球；对这三种看法的某人认为其发生的可能性分别为： 某人从口袋中任取一球，得到了白球。此时他应该如何修正自己的看法呢？。解：为完备事件组，设B表示取到白球，由贝叶斯公式有： 4、一试验可以独立重复进行，每次试验的成功率为p，直到第10次试验才取得4次成功的概率为多少？ 解：此概率为：5、甲乙丙三人独立地向一飞机射击，设甲，乙，丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7，又设恰有1人，2人，3人击中飞机后飞机坠毁的概率分别为0.2，0.6，1 。现在三人向飞机各射击一次，求飞机坠毁的概率。 解：设表示有击中飞机，则构成完备事件组，B表示飞机坠毁，由全概率公式得： 五、证明下列各题： 1、; 2、设3、若,则.证明：1、 2、 3、由 即： 第一章 自测题一、填空题1、设且A与B互不相容，则 0.4 . 解：由A与B互不相容，可知,于是： 2、设 0.3 . 解：由，则： 3、10件产品中有3件次品，从中随机抽出2件，至少抽到1件次品的概率是 . 解：至少抽到1件次品的概率是： 4、投掷一枚骰子，则出现的点数小于4的概率为 . 解：出现的点数小于4的概率为： 5、一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜一个。假设他知道正确答案的概率为，乱猜选对答案的概率为。如果已知他选对了，则他知道正确答案的概率为 .解：设A表示知道正确答案，B表示选对，则由全概率公式可得：，由贝叶斯公式：二、选择题 1、若,则 （ D ） A、 B、 C、 D、 解： 2、设 （ D ） A、 B、 C、 D、 解： 3、设, 是三个相互独立的随机事件，且则下列四对事件中，不相互独立的是 （ A ） A、 B、 B、 D、 解：由于A，B，C是三个相互独立的随机事件，故其中任意两个事件的和、差、交、并、补与另一个事件或其补是相互独立的，故选A. 4、若 （ C ） A、0.16 B、0.18 C、0.21 D、0.23 解： 5、甲乙二人独立对同一目标各射击一次，命中率分别0.6和0.5 ，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率 （ A ）A、 B、 C、 D、解：设A表示甲击中，B表示乙击中，C表示目标被击中，则： （显然A，B独立由贝叶斯公式有：三、计算下列各题1、已知,若满足条件：（1） 与互不相容（2）（3）试分别求出的值.解：（1）； （2） （3）2、已知,试求.解： 于是： （注意到）3、两封信随机投降标号为1，2，3，4的四个邮筒，问第2号邮筒恰好投入一封信的概率是多少. 解：第2号邮筒恰好投入一封信的概率为： 或 4、袋中有3个红球和2个白球 （1）第一次从袋中任取一球，随即放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率；（2）第一次从袋中任取一球，不放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率。 解：（1）两次都是红球的概率为：； （2）两次都是红球的概率为：5、城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已销售2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求： （1）该顾客购到正品的概率； （2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少. 解：设A表示顾客购到正品，表示已销售的2台中有台次品（1） 由全概率公式得： （2） 由贝叶斯公式得：6、设某人射击命中率为 。在10次射击中，求他至少命中一次的概率. 解：设A表示他至少命中一次，则：四、证明下列各题1、设证明;2、已知事件与本身相互独立，证明： 证明：1、 而 即： 又 而 即： 2、由与本身相互独立，有： 即：第一章 考研训练题一、填空题1、已知则事件A,B,C全不发生的概率为 .解： 注：2、设是任意两个随机事件，则 0 . 解：由图可得.3、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 . 解：设A表示两件中至少有一件不合格，B表示两件都不合格，则，于是：4、随机地向半圆 （ 为正常数 ）内投掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于 的概率为解：如图所示：所求点应落在内，由题意可知所求概率应为与半圆的面积之比，而的面积=三角形AOC面积+扇形ABC面积 因此，所求概率为：5、一射手对同一目标独立地进行四次射击，如果至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 . 解：设P(A)表示该射手的命中率，则6、袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.4 . 解：设A表示第一人取得黄球，B表示第二人取得黄球，则由全概率公式： 7、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子取出1球，这个球为白球的概率等于 ；已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 . 解：设表示该球取自第个箱子，B表示该球为白球，由全概率公式： （1） （2）由贝叶斯公式：二、选择题1、对于任意二事件A, ，有（ B ） A、若,则, 一定独立 B、若,则, 有可能独立 C、若,则, 一定独立 D、若,则, 一定不独立 解：由独立性的定义显然可得.2、设,则必有（ C ） A、 B、 C、 D、解：由，且：有：3、已知且 , 则下列选项成立的是（ A ）A、 B、C、 D、解：由 4、设当事件A与B同时发生时，事件C必然