泊松分布

第8章泊松过程 1 泊松分布的定义2 泊松分布的性质3 非齐次泊松过程4 复合泊松分布 泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位 它们都属于所谓的独立增量过程 一 独立增量过程 independentincrementprocess X t X s 0 s t为随机过程在 s t 的增量 如果对 n个增量X t1 X t0 X t2 X t1 X tn X tn 1 相互 给定二阶矩过程 X t t 0 我们称随机变量 任意选定的正整数n和任意选定的0 t0 t1 t2 tn 独立 则称 X t t 0 为独立增量过程 直观地说 它具有 在互不重叠的区间上 状态 的增量是相互独立的 这一特征 的分布所确定 于时间差t s 0 s t 而不依赖于t和s本身 事实上 令h s即知 当增量具有平稳性时 称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的 X s h 与X t X s 具有相同的分布 则称增量具有 特别 若对任意的实数h和0 s h t h X t h 对于独立增量过程 可以证明 在X 0 0的条件下 它的有限维分布函数可以由增量X t X s 0 s t 平稳性 这时 增量X t X s 的分布函数实际上只依赖 在X 0 0和方差函数为已知的条件下 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为 1 泊松过程举例 Poissonprocess 现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画 泊松过程是随机建模的重要基石 也是学习随机过程 理论的重要直观背景 著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流 二次大战时伦敦空袭的弹着点 电话总机所 接到的呼唤次数 交通流中的事故数 某地区地震发生 的次数 细胞中染色体的交换等等 这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型 我们所关心的是随机 事件的数目 而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示 这类过程有如下两个特性 一是时间和空间 上的均匀性 二是未来的变化与过去的变化没有关系 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型 1 计数过程 设 为一随机过程 如果N t 是取非负整数值的随机变量 且满足s t时 N s N t 则称 为计数过程 countingprocess 若用N t 表示电话交换台在时间 0 t 中接到 电话呼叫的累计次数 则 N t t 0 就是一计数过程 对电话呼叫次数进行累计的计数过程 这也就是计数 计数对象不仅仅是来到的电话呼叫 也可以是到 某商店的顾客数 到某机场降落的飞机数 某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数 一次足球赛 的进球数 某医院出生的婴儿数等等 总之 对某种 过程名称的由来 对0 s t N t N s 就表示在 s t 中 发生的电话呼叫次数 定义1称随机过程 N t t 0 为计数过程 若N t 表示到时刻t为止已发生的 事件A 的总数 且N t 满足下列条件 1 N t 0 2 N t 取正整数 3 若s t 则N s N t 4 当s t N t N s 等于区间 s t 中发生的 事件A 的次数 若t10 事件A发生的次数N t s N t 仅与时间差s有关 而与t无关 则计数过程N t 是平稳独立增量过程 随机事件的来到数都可以得到一个计数过程 而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程 计数过程的一个典型的样本函数如图 S2 S3 S4 S5 第一个信号到达 S1 S6 第二个信号到达 第三个信号到达 N t t 0 电话呼叫模型 将增量 它表示时间间隔 t0 t 内出现的质点数 在 t0 t 内 出现k个质点 即 N t0 t k 是一随机事件 其概率 记为Pk t0 t P N t0 t k k 0 1 2 2 泊松计数过程过程 N t t 0 称为强度为 的 泊松过程 如果满足条件 2 N 0 0 1 在不相重叠的区间上的增量具有独立性 3 对于充分小的 其中常数 0 称为过程N t 的强度 亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比 4 对于充分小的 在泊松过程中 相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度为 的泊松流 定义2如果取非负整数值的计数过程 N t t 0 满足 1 N 0 0 2 具有独立增量 3 对任意0 s t N t N s 服从参数为 t s 泊松分布 则称 N t t 0 为参数 或平均率 强度 为 的 齐次 泊松过程 泊松过程的第二种定义方式 注 由条件 3 知 泊松过程是平稳增量过程且E X t t 由于 E X t t表示单位时间内事件A发生的平均个数 故称 为此过程的速率或强度 定义3如果取非负整数值得计数过程 N t t 0 满足下列条件 泊松过程的第一种定义方式 1 N 0 0 2 具有独立增量 3 P N h 1 h 0 h 4 P N h 2 0 h 则称 N t t 0 为参数 或平均率 强度 为 的 齐次 泊松过程 例1考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X t 表示电话交换台在 0 t 内收到的呼唤次数 则 X t t 0 满足定义3的条件 故 X t t 0 是一个泊松过程 例2考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记X t 为在时间 0 t 内到达售票窗口的旅客数 则 X t t 0 为一泊松过程 定理 泊松过程的定义2与定义3是等价的 证明 2 3 条件a 与1 相同 条件b 可由2 和3 直接得到 P N h 1 P N h N 0 1 h 1 h o h h o h 即c 即d 3 2 条件1 与a 相同 条件2 由b 直接得到 只要证明 N t t 0 服从参数为 t泊松分布 设pk t P N t k 利用归纳法证明 1 k 0 p0 t h P N t h 0 P N t 0 N t h N t 0 P N t 0 P N t h N t 0 p0 t 1 h o h 因为 解得 p0 t e t 2 k 1 pk t h P N t h k pk t 1 h o h pk 1 t h o h o h k 1时 解得 p1 t te t 所以k 1时结论成立 解 得 结论成立 由归纳法知 对一切k 0 1 2 结论成立 得证 再由平稳独立增量性质 对一切0 s t 得出3 假设k 1时结论成立 例 设病人以每分钟2人的速率到达某诊所 病人流 为泊松流 求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率 解 设 N t t 0 是病人到达数的泊松过程 则 2 故 即Poisson过程是满足增量独立性增量平稳性增量普通性的计数过程 平稳性 在时间区间 t t t 内到达k个的概率与t无关 只与 t有关 记为pk t 无后效性 不相交的时间区间内到达数互相独立 普通性 在足够短的时间内到达多于一个的概率可以忽略 有限性 任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1 由泊松分布知 特别地 令t0 0 由于假设N 0 0 故可推知 即泊松过程的强度 常数 等于 泊松过程的均值函数和方差函数分别为 单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值 2泊松过程的基本性质 1 对任意t 0 N t t P N t k 2泊松分布的一维特征函数 3协方差函数和相关函数协方差函数B s t min s t 相关函数R s t min s t 2st 证明 R s t E X s X t E X s X t X s X s s t E X s E X t X s E X2 s s t s s s 2 s 2stB s t R s t m s m t s 2st s t s一般地 B s t min s t R s t min s t 2st 定理1 设 N t t 0 是强度为 的泊松过程 则有 例1 泊松过程在排队论中的应用 在随机服务系统中的排队现象的研究中 经常用到泊松过程的模型 例如 到达电话总机的呼叫数目 到达某服务设施 商店 车站 购票处等 的顾客数 都可以用泊松过程来描述 以某火车站售票处为例 设从早上8 00开始 此售票处连续售票 乘客以10人 小时的平均速率到达 则从9 00 10 00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少 从10 00 11 00没有人来购票的概率是多少 解 我们用一个泊松过程来考虑 设8 00为0时刻则9 00为1时刻则参数 10 故 例2 事故的发生次数及保险公司接到的索赔数 若以N t 表示某公路交叉口 矿山 工厂等场所在 0 t 时间内发生不幸事故的数目 则泊松过程就是 N t t 0 的一种很好近似 因而保险公司受到的赔偿请求的次数 设一次事故就导致一次索赔 过程的模型 我们考虑一种最简单情况 设保险公司每次赔付都是1 接到的索赔要求是平均4次 月 则一年中它要付出的金额平均为多少 解 设一年开始为0时刻 一月末为1 2月末为2 则年末为12 均值 为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程 来反映呢 其根据是稀有事件原理 我们在概率论的 学习中已经知道 贝努里试验中 每次试验成功的概率 很小而试验的次数很多时 二项分布会逼近泊松分布 这一想法很自然地推广到随机过程 比如上面提到的 事故发生的例子 在很短的时间内发生事故的概率是 于贝努里试验以及二项分布逼近泊松分布时的假定 这就是泊松过程定义所描述的直观意义 很小的 但假如考虑很多个这样很短的时间的连接 事故的发生将会有一个大致稳定的速率 这很类似 3到达时间间隔与等待时间分布设 N t t 0 是泊松过程 令X t 表示t时刻事件A发生 顾客 出现的次数 W1 W2 分别表示第一次 第二次 事件A发生的时间 Tn n 1 表示从第 n 1 次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔 0W1W2W3Wn 1Wn T1T2T3Tn Tk Wk Wk 1 Wk T1 T2 Tk k 1 2 n 0 0 说明 对于任意n 1 2 事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为 其概率密度为 定理2设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 Tn n 1 2 为时间间隔序列 则Tn n 1 2 是相互独立同分布的随机变量 且都服从参数为 的指数分布 重要定理 证 首先注意到事件 T1 t 发生当且仅当泊松过程在区间 0 t 内没有事件发生 T1表示第一个到达 因而P T1 t P X t 0 e t 即 所以T1是服从参数为 的指数分布 利用泊松过程的独立 平稳增量性质 有P T2 t T1 s P 在 s s t 内没有事件发生 T1 s P 在 s s t 内没有事件发生 P X t s X s 0 P X t X 0 0 e t所以T2也是服从参数为 的指数分布 对于任意n 0和t s1 s2 sn 1 0 有P Tn t T1 s1 Tn 1 sn 1 P X t s1 sn 1 X s1 s2 sn 1 0 P X t X 0 0 e t所以对任一Tn n 0 其分布是参数为 的指数分布 定理3设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 Wn n 1 2 为等待时间序列 则Wn n 即概率密度为 下面用Wn表示第n个顾客的到达时间 则Wn X1 X2 Xn n 1称Wn为直到第n个顾客出现的等待时间 证明 因事件 Wn t 等价于事件 N t n 在 0 t 内事件至少出现n次 所以Wn的分布函数为 于是Wn的概率密度 当t 0时 f t 0 故 上式又称为爱尔兰分布 它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度 例3 一理发师在t 0时开门营业 设顾客按强度为 的泊松过程到达 若每个顾客理发需要a分钟 a是正 常数 求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的 概率及到达后等待时间S的平均值 解 设第一个顾客的到达时间为W1 第二个顾客的 到达时间为W2 令X2 W2 W1 则第二个顾客到达 后不需等待等价于X2 a 由定理2知X2服从参数为 的指数分布 故 等待时间 4到达时间的条件分布 假设在时间 0 t 内事件A已经发生一次 我们需要确定这一事件到达时间W1的分布 由于泊松过程是一个平稳独立增量过程 因此我们认为W1落在 0 t 区域的小时间段是服从均匀分布的 事实上 对s t有P W1 s N t 1 即分布函数为 分布密度函数为 一名服务员 且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20 分钟的指数分布 则到中午12 00为止平均有多少人已经离开 例4 设从早上8 00开始有无穷多的人排队等候服务 设只有 解 由所设条件可知 离去的人数N t 是强度 3的泊松过程 这里以小时为单位 设8 00为零时刻 则 其均值为 即到12 00为止 离去的人平均是12名 已有9个人接受服务的概率是多少 而有9个人接受过服务的概率是 3非齐次泊松过程 定义4如果计数过程 N t t 0 满足下列条件 1 N 0 0 2 N t t 0 是独立增量过程 3 P N t t N t 1 t t 0 t 4 P N t t N t 2 0 t 则称 N t t 0 为参数 或平均率 强度 为 t 的非齐次泊松过程 特别 当 t 时 即为齐次泊松过程 注1 定义中增量仅具有相互独立性 不具有增量平稳性质 所以称为非平稳 或非齐次 此处的强度与时间t有关 意味着这个计数过程一定与时间起点有关系 或者说在等长的时间间隔里 由于时间的起点不同 计数过程的概率特性也有所不同 因此这种计数过程不再具有增量平稳性 注2 在定义中令 且增加计数过程的增量平稳性 则可以退化为标准泊松过程 平稳泊松过程 定理5 若过程 N t t 0 是非齐次泊松过程 则在时间间距 t0 t0 t 内事件A出现k次的概率为 式中 m t 称为非平稳泊松过程的强度 N t 表示 0 t 内到达的数量 则m t 表示 0 t 内平均到达数量 取t 0得到 例某镇有一小商店 每日8 00开始营业