直线方程计算(有详解).doc

直线方程训练一解答题（共30小题）1（2014宁波模拟）过点P（2，3）且与直线2x+y1=0垂直的直线方程是_2（1977北京）求过两直线x+y7=0和3xy1=0的交点且过（1，1）点的直线方程3（1977北京）一条直线过点（1，3），并且与直线2x+y5=0平行，求这条直线的方程4ABC中，已知点A（3，1）和点B（10，5），B的平分线所在直线方程为x4y+10=0，求BC边所在直线的方程5设过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，O为坐标原点，且AOB的面积，求直线l的斜率k的取值范围6已知直线l的倾斜角为120，并且直线l过点（3，2），求直线l的方程7求过点P（0，1）的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x+y8=0和l2：x3y+10=0间的线段被点P平分8已知直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，求直线l与坐标轴的交点坐标9求过点A（1，1）、点B（3，1）的直线方程10一条直线经过点A（2，3），并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍，求这条直线的方程11已知点m是直线l：xy+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m旋转30，求所得到的直线l的方程12如图，在ABC中，已知A（5，2）、B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求这个三角形三边所在直线的方程13已知A（3，3），B（4，2），C（0，2）（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上（包括端点）移动，求直线AD的斜率的变化范围14一条直线过点A（3，2），且横截距与纵截距绝对值相等，求该直线的方程15求经过点（4，3）且在坐标轴上截距相等的直线方程16是否存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，并说明理由17一直线与两坐标围成的三角形的面积为4，且斜率为2，求该直线方程18已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为9和9（1）写出直线l的方程；（2）在l上求一点P，使P到点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之和最小，并求这最小值19求与直线4x3y+5=0垂直，且与坐标轴围成三角形的面积为24的直线方程20已知直线l过点P（6，3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程21已知点A（3，4），求满足下列条件的直线方程l，经过点A且在两坐标轴上截距相等22已知直线l方程为y=2x2（1）求直线l分别与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）若点C（2，2），求ABC的面积23已知直线Ax+By+C=0的斜率为5，且A3B+3C=0，求此直线的一般式方程24已知直线l：5ax5ya+3=0（1）证明：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）若直线l不经过第二象限，求a的范围25已知x，y满足直线l：x+2y=6（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x（1，3时，求k=的取值范围26根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：（1）斜率为，并且经过点A（5，3）；（2）过点B（3，0），且垂直于x轴27如果直线l经过点（3，4）且点（3，2）到直线l的距离最大，求这条直线的方程28已知两直线l1：axby+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足直线l1与l2平行且直线l2过点（1，1）时a、b的值29当k为何值时，直线3x（k+2）y+k+5=0与直线kx+（2k3）y+2=0：（1）相交；（2）垂直；（3）平行；（4）重合30已知直线l1：（m+1）x（ma）y+2=0，直线l2：3x+my1=0，且l1l2，求实数m的值参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2014宁波模拟）过点P（2，3）且与直线2x+y1=0垂直的直线方程是x2y+4=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：与直线l：2x+y1=0垂直的直线的斜率k=，由此能求出过点P（2，3）且与直线l：2x+y1=0垂直的直线方程解答：解：与直线l：2x+y1=0垂直的直线的斜率k=，过点P（2，3）与直线l：2x+y1=0垂直的直线方程为：y3=（x2），整理，得x2y+4=0故答案为：x2y+4=0点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2（1977北京）求过两直线x+y7=0和3xy1=0的交点且过（1，1）点的直线方程考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：计算题分析：求出两直线x+y7=0和3xy1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式解答：解：由x+y7=0和3xy1=0联立方程组并解得：x=2，y=5直线过点（2，5）和（1，1）所求的直线方程为，即：4xy3=0点评：本题考查用两点式求直线方程3（1977北京）一条直线过点（1，3），并且与直线2x+y5=0平行，求这条直线的方程考点：直线的一般式方程与直线的平行关系菁优网版权所有专题：计算题分析：先求与直线2x+y5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，3），用点斜式求直线方程解答：解：直线2x+y5=0的斜率k=2，所求直线斜率k=2故过点（1，3）且与已知直线平行的直线为y+3=2（x1），即2x+y+1=0点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题4ABC中，已知点A（3，1）和点B（10，5），B的平分线所在直线方程为x4y+10=0，求BC边所在直线的方程考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由题意可得关于直线x4y+10=0的对称点A（x，y）在直线BC上，求A的坐标可得直线BC的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可解答：解：设A关于直线x4y+10=0的对称点A（x，y）则可得4+10=0，且=1，解得x=1，y=7，即A（1，7）由对称性知A在BC边所在直线上，直线BC的斜率k=故直线BC的点斜式方程为：y5=（x10）化为一般式可得：2x+9y65=0点评：本题考查直线的方程的求解，涉及对称点的求解，属基础题5设过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，O为坐标原点，且AOB的面积，求直线l的斜率k的取值范围考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：先设直线的斜率为k，得到直线方程，分别求出OA，OB的长，再表示出面积，得到关于k的不等式，解得即可解答：解：设直线的斜率为k，因为直线与x轴y轴正半轴分别相交，所以k0，因为经过点P（2，1），则直线I的方程为y1=k（x2）整理得：kxy+12k=0，当x=0时，y=|OB|=12k0，当y=0时，x=|OA|=20，所以SAOB=|0B|0A|=（12k）（2）因为AOB的面积大于，所以（12k）（2）9，4k2+14k+10，解得k，或k0，故直线l的斜率k的取值范围（，）（，0），点评：本题主要考查了直线方程和，基本不等式的解法，属于基础题6已知直线l的倾斜角为120，并且直线l过点（3，2），求直线l的方程考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由直线的倾斜角求出斜率，用点斜式写出直线方程即可解答：解：直线l的倾斜角为120，直线的斜率为k=tan120=，又直线l过点（3，2），直线l的方程为y+2=（x+3），即x+y+2+3=0点评：本题考查了求直线方程的问题，由直线的倾斜角可以得斜率，由斜率与一点可以写出直线方程，是基础题7求过点P（0，1）的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x+y8=0和l2：x3y+10=0间的线段被点P平分考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：根据题意，设出直线l1上的一点P1，求出P1关于点P的对称点P2；由P2在直线l2上，求出点P1，即得所求的直线方程解答：解：根据题意，直线l1：2x+y8=0可化为y=2x+8；设直线l1上的一点P1（x1，2x1+8），则P1关于点P的对称点是P2（x1，2（2x1+8）；P2在直线l2：x3y+10=0上，即x13（2x16）+10=0，解得x1=4，y1=0；所求的直线方程是+y=1，即x+4y4=0点评：本题考查了求直线方程的问题，解题时应根据题意，挖掘解题条件，利用对称关系，求出所求直线上的另一点，是易错题8已知直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，求直线l与坐标轴的交点坐标考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由于直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，利用点斜式即可得到可得直线l的方程分别令x=0，y=0，即可得到直线l与坐标轴的交点坐标解答：解：直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，直线l的方程为：y3=2（x+1），化为2xy+5=0令x=0，得到y=5；令y=0，得到x=因此直线l与坐标轴的交点坐标分别为（0，5），点评：本题考查了直线的点斜式方程及直线与坐标轴的交点坐标，属于基础题9求过点A（1，1）、点B（3，1）的直线方程考点：直线的两点式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：求出斜率，利用点斜式即可得出解答：解：kAB=1直线的方程为，化为+y1=0点评：本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题10一条直线经过点A（2，3），并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍，求这条直线的方程考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由题意易得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可解答：解：直线y=x的斜率为，所求直线的斜率为，直线的点斜式方程为y+3=（x2），化为一般式可得2xy43=0点评：本题考查直线的点斜式方程，属基础题11已知点m是直线l：xy+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m旋转30，求所得到的直线l的方程考点：直线的点斜式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：求出直线l与x轴的交点M的坐标，然后分l顺时针和逆时针旋转求出直线l的倾斜角，再进一步分析斜率的情况，斜率不存在时直接写出直线方程，斜率存在时由直线方程的点斜式求得直线方程解答：解：在方程xy+3=0中，取y=0，得x=M（），直线xy+3=0的斜率为，则其倾斜角为60，直线l绕点M旋转30，若是逆时针，则直线l的倾斜角为90，直线l的方程为x=；若是顺时针，则直线l的倾斜角为30，直线l的斜率为，直线l的方程为y0=（x+），即x点评：本题考查了直线方程的点斜式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题12如图，在ABC中，已知A（5，2）、B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求这个三角形三边所在直线的方程考点：直线的两点式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：设出M，N，C的坐标，由中点坐标公式求得C点坐标，然后直接利用直线方程的两点式求得三角形ABC三边所在直线的方程解答：解：设：M（0，a），N（b，0），C（m，n），A（5，2）、B（7，3），又M是AC的中点，5+m=0，m=5，N是BC的中点，3+n=0，n=3C点坐标为（5，3），由直线方程的两点式得AB边所在直线方程为：，整理得：5x2y29=0；AC边所在直线方程为：，整理得：x10y25=0；BC边所在直线方程为：，整理得：x2y1=0点评：本题考查直线方程的两点式，考查中点坐标公式的应用，是基础题13已知A（3，3），B（4，2），C（0，2）（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上（包括端点）移动，求直线AD的斜率的变化范围考点：直线的两点式方程；直线的斜率菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（1）根据两点坐标求出直线l的斜率即可；（2）画出图形，根据图形得出直线CD的斜率k满足kABkkAC；求出kCA，kCB即可解答：解：直线AB的斜率为：，直线AC的斜率为：；（2）点D在线段BC上（包括端点）移动，又，点评：此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，直线的斜率的问题，解题时应画出图形，结合图形，得出结论，从而解答问题14一条直线过点A（3，2），且横截距与纵截距绝对值相等，求该直线的方程考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：分类讨论：当直线l过原点时满足条件，即可得直线l的方程当直线l的截距不为0时，可设直线l的方程为再利用已知可得解得即可解答：解：当直线l过原点时满足条件，k=，此时可得直线l的方程为：当直线l的截距不为0时，可设直线l的方程为把点A（3，2）代入可得：又|a|=|b|，联立解得或可知直线l的方程分别为：x+y=1，xy=5综上可知：直线l的方程为：，x+y=1，xy=5点评：本题考查了直线的截距式方程、分类讨论思想方法，属于基础题15求经过点（4，3）且在坐标轴上截距相等的直线方程考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：分直线过原点和不过原点设出直线方程，然后把点（4，3）代入直线方程，求出斜率后直线方程可求解答：解：当直线过原点时，设方程为y=kx，因为直线过点（4，3），则3=4k，所以k=，则直线方程为y=x，即3x+4y=0；当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=a，则43=a，所以a=1直线方程为x+y1=0故答案为：3x+4y=0或x+y1=0点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题16是否存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，并说明理由考点：直线的截距式方程；三角形的面积公式菁优网版权所有专题：直线与圆分析：假设存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，设直线l的方程为：，则由于=5，化为|ab|=10联立解得即可解答：解：假设存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，设直线l的方程为：，则即=5，化为|ab|=10联立，或直线l的方程为：或点评：本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题17一直线与两坐标围成的三角形的面积为4，且斜率为2，求该直线方程考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：设直线方程为y=2x+b，分别求出与坐标轴的交点，利用三角形的面积即可求出b解答：解：直线的斜率为2，设直线方程为y=2x+b，（b0）当x=0时，y=b，当y=0时，x=则三角形的面积S=，即b2=16，b=4，即该直线方程为y=2x4点评：本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础18已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为9和9（1）写出直线l的方程；（2）在l上求一点P，使P到点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之和最小，并求这最小值考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：计算题；作图题；直线与圆分析：（1）由截距式方程写出直线方程化简即可；（2）设（a，b）是点F1（3，0）关于直线xy+9=0的对称点，则|F2|即是使P到点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之和最小时的最小值求解即可解答：解：（1）由截距式方程可得，+=1，则直线l的方程为：xy+9=0；（2）作图如右图，设（a，b）是点F1（3，0）关于直线xy+9=0的对称点，则，解得，a=9，b=6；直线F2的方程为x+2y3=0，则由解得，P（5，4），即此时P到点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之和最小，最小值为|F2|=6点评：本题考查了直线的方程的求法及距离的问题，属于基础题19求与直线4x3y+5=0垂直，且与坐标轴围成三角形的面积为24的直线方程考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：设与直线4x3y+5=0垂直的直线为3x+4y+m=0，求出与两个坐标轴的交点分别为（0，），再利用三角形的面积计算公式即可得出解答：解：设与直线4x3y+5=0垂直的直线为3x+4y+m=0，与两个坐标轴的交点分别为（0，），=24，解得m=24要求的直线为：3x+4y24=0点评：本题考查了相互垂直的两条直线斜率之间的关系、三角形的面积计算公式，属于基础题20已知直线l过点P（6，3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：根据直线截距关系，利用待定系数法即可得到结论解答：解：若直线经过原点，则设直线方程为y=kx，直线l过点P（6，3），3k=6，解得k=2，此时方程为y=2x，若直线不经过原点，则设方程为，将点P（6，3）代入，得，此时直线方程为，即x+3y3=0，故求得直线方程是y=2x或x+3y3=0点评：本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题21已知点A（3，4），求满足下列条件的直线方程l，经过点A且在两坐标轴上截距相等考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：当过O（0，0）时，+=1，x+y=a，运用点（3，4）求解即可解答：解：当过O（0，0）时，两坐标轴上截距为0，k=，直线方程l：y=x，+=1，x+y=a，过点A（3，4），3+4=a，a=7，直线方程l：x+y=7，综上：直线方程l：x+y=7或y=x点评：本题考查了直线的方程的形式，注意截距式的限制条件，属于容易题22已知直线l方程为y=2x2（1）求直线l分别与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）若点C（2，2），求ABC的面积考点：直线的截距式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（1）直线l方程为y=2x2直线l与x轴的交点A的坐标为（1，0），与y轴的交点B的坐标为（0，2）；（2）设点C（2，2）到直线l：y=2x2的距离为d，利用两点间的距离公式与点到直线间的距离公式可求得|AB|与d，从而可得ABC的面积解答：解：（1）直线l方程为y=2x2，当y=0时，x=1，即直线l与x轴的交点A的坐标为（1，0）；当x=0时，y=2，直线l与y轴的交点B的坐标为（0，2）；（2）设点C（2，2）到直线l：y=2x2的距离为d，则d=，又|AB|=，SABC=|AB|d=4点评：本题考查直线的截距式方程，考查两点间的距离公式与点到直线间的距离公式、三角形面积公式的综合应用，属于中档题23已知直线Ax+By+C=0的斜率为5，且A3B+3C=0，求此直线的一般式方程考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由已知中直线Ax+By+C=0的斜率为5，可得A=5B，不仿令B=3，进而结合A3B+3C=0，求出A，C的值，可得直线的一般式方程解答：解：直线Ax+By+C=0的斜率=5，A=5B，令B=3，则A=15，又A3B+3C=0，解得：C=8，故直线的一般式方程为15x3y8=0点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程，其中正确理解直线一般式的斜率为，是解答的关键24已知直线l：5ax5ya+3=0（1）证明：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）若直线l不经过第二象限，求a的范围考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：数形结合；直线与圆分析：（1）只需证明不论a为何值，直线l总过第一象限的点即可；（2）根据题意，画出图形，结合图形，即可求出直线l不经过第二象限时a的取值范围解答：解：（1）证明：直线l为5ax5ya+3=0，即a（5x1）+（5y+3）=0；，解得；不论a为何值，直线l总过第一象限的点（，），即直线l过第一象限；（2）根据题意，画出图形，如图所示，；直线l不经过第二象限，a+30，即a3；l的斜率a满足a3；a的取值范围是a|a3点评：本题考查了直线方程的应用问题，解题时应用直线恒过定点的问题，数形结合思想求直线的斜率取值范围等知识，是基础题25已知x，y满足直线l：x+2y=6（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x（1，3时，求k=的取值范围考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（1）根据点的对称即可求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）根据斜率的几何意义即可，求k=的取值范围解答：解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故P（，）（2）当x（1，3时，k=的几何意义为到点C（1，1）的斜率的取值范围由图象可得A（3，），则AC的斜率k=，则k点评：本题主要考查点关于直线的对称以及直线斜率的求解，比较基础26根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：（1）斜率为，并且经过点A（5，3）；（2）过点B（3，0），且垂直于x轴考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（1）易得直线的点斜式方程，化为一般式可得；（2）可得直线无斜率，方程为x=3，化为一般式可得解答：解：（1）直线的斜率为，并且经过点A（5，3），直线的点斜式方程为y3=（x5），化为一般式可得xy+35=0；（2）直线过点B（3，0），且垂直于x轴，直线无斜率，即方程为x=3，化为一般式可得x+3=0点评：本题考查直线的一般式方程，属基础题27如果直线l经过点（3，4）且点（3，2）到直线l的距离最大，求这条直线的方程考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：可知当直线l与点（3，4）和点（3，2）的连线垂直时点（3，2）到直线l的距离最大，易得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可解答：解：当直线l与点（3，4）和点（3，2）的连线垂直时点（3，2）到直线l的距离最大，由斜率公式可得点（3，4）和点（3，2）的连线的斜率为=，直线l的斜率为3，l的方程为y4=3（x3），化为一般式可得3x+y13=0点评：本题考查直线的一般式方程，涉及垂直关系，属基础题28已知两直线l1：axby+4=0，l