大学物理通用矢量知识.pdf

数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 1 0 1 0 1 矢量矢量 其中只用其中只用数值数值即可表示的量叫即可表示的量叫标量标量 这里数值的含义包括这里数值的含义包括大小大小和和正负正负 物理学中常会遇到两类不同性质的物物理学中常会遇到两类不同性质的物 理量 理量 标量标量 Scalar 和和矢量矢量 Vector 比如时间 路程 质量 能量 电量比如时间 路程 质量 能量 电量 等就是这样的量 等就是这样的量 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 2 力 速度 加速度 电场强度等都是力 速度 加速度 电场强度等都是 这样的量 这样的量 而既有而既有大小大小 正负正负 还有 还有方向方向 且且其其 加法加法遵从遵从平行四边形平行四边形法则或法则或三角形三角形法则法则 的量叫做的量叫做矢量矢量 矢 端 矢 尾 单位长度 图0 1 矢量的图示 矢量可以用矢量可以用有方向的几何线有方向的几何线 段段表示 表示 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 3 Ar 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 4 r 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 5 即矢量即矢量 用从用从矢尾矢尾到到矢端矢端的一条的一条有向有向 线段线段来表示 来表示 箭头箭头表示矢量的表示矢量的方向方向 线 线 段的段的长度长度表示矢量的表示矢量的大小大小 A 矢量的矢量的模模 即模为即模为1 1的矢量的矢量 1A 单位矢量单位矢量 即模为即模为0 0的矢量的矢量 0A 零矢量零矢量 零矢量的方向可以认为是零矢量的方向可以认为是任意任意的 记的 记 作作 0 矢量矢量 的大小即的大小即 A AA 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 6 与矢量与矢量 同方向同方向的的单位矢量单位矢量记作记作 AA e 在直角坐标系在直角坐标系O xyx中 记中 记x y z三个三个 方向的单位矢量为方向的单位矢量为 ijk 矢量具有大小与方向两个矢量具有大小与方向两个 要素 只有当要素 只有当同类同类的两个矢的两个矢 量量大小相等大小相等且且方向相同方向相同时 时 两个矢量才相等 记为两个矢量才相等 记为 而标量 而标量 和矢量由于和矢量由于不同类不同类 故不能相比较 也 故不能相比较 也 不能相加减 不能相加减 AB xy z 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 7 据此 将一个矢量平移后 其大小和据此 将一个矢量平移后 其大小和 方向都保持不变 所以平移后的矢量与方向都保持不变 所以平移后的矢量与 原矢量相等 仍是原矢量原矢量相等 仍是原矢量 那么 在考 那么 在考 察矢量之间的察矢量之间的关系关系或对它们进行或对它们进行运算运算时 时 根据需要可对他们进行根据需要可对他们进行平移平移 A A 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 8 0 2 0 2 矢量的加减法矢量的加减法 1 矢量加法矢量加法 Vector Addition 矢量的加减法遵从矢量的加减法遵从平行四边形法则平行四边形法则或或三角三角 形法则形法则 如果矢量如果矢量 和和 相加 和为相加 和为 记为 记为 ABC ABC 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 9 设矢量设矢量 的夹角为的夹角为 与与 的夹角的夹角 为为 ABC A 22 2cosCABAB 夹角夹角 为为 sin arctan cos B AB 则则 的大小为的大小为 C 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 10 三角形法则三角形法则 可见三角形法则是平行四边形法则的可见三角形法则是平行四边形法则的简化简化 即把矢量即把矢量 平移 让其平移 让其矢尾矢尾与与 的的矢端矢端相相 连 那么从连 那么从 的矢尾指向的矢尾指向 的矢端的矢量即的矢端的矢量即 为合矢量为合矢量 此即矢量相加的 此即矢量相加的三角形法则三角形法则 BA AB C 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 11 多边形法则多边形法则 当当多个多个矢量相加时 可用平行四边形法则矢量相加时 可用平行四边形法则 逐次逐次进行 也可将三角形法推广为进行 也可将三角形法推广为多边形多边形法法 则进行 则进行 A B N C 即令即令 等诸矢等诸矢 量依次首尾相接 那么 从量依次首尾相接 那么 从 第一个矢量的矢尾第一个矢量的矢尾指向指向最后最后 一个矢量的矢端一个矢量的矢端的矢量即为的矢量即为 和矢量和矢量 BAC 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 12 矢量的加法满足矢量的加法满足交换律交换律和和结合律结合律 即有 即有 ABBA ABCABC 2 矢量减法矢量减法 Vector Subtraction BCA 如果矢量如果矢量 和和 的和为的和为 即 即 则则 可称作可称作 与与 的的矢量差矢量差 记作 记作 ABCABC BCA 矢量的减法是加法的矢量的减法是加法的逆运算逆运算 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 13 由于由于 与与 的方向相反 故有的方向相反 故有 A A BCACA 即矢量的减法可转换成加法来进行计算 即矢量的减法可转换成加法来进行计算 即即 等于从等于从 的矢端指向的矢端指向 的矢端的矢量 的矢端的矢量 BAC 故在三角形法则中 从故在三角形法则中 从减矢量减矢量矢端指向矢端指向被被 减矢量减矢量矢端的矢量 即为这两个矢量之差 矢端的矢量 即为这两个矢量之差 A A C BB 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 14 0 3 0 3 矢量的数乘矢量的数乘 矢量矢量 与一个实数与一个实数 的乘积叫做矢量的的乘积叫做矢量的数乘数乘 结果仍是一个矢量 记作结果仍是一个矢量 记作 模为 模为 A mA mAm A m 若若 则 则 与与 同向 否则反相或等同向 否则反相或等 于零 矢量的数乘有如下性质 于零 矢量的数乘有如下性质 0m mAA 满足满足分配律分配律 ABAB AAA 满足满足交换律交换律 AAA 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 15 那么 如果用那么 如果用 表示与表示与 同方向的单位同方向的单位 矢量 则矢量 则 可表示为可表示为 AA e A 0 4 0 4 矢量的正交分解矢量的正交分解 由矢量的加法知道 两个以上的矢量可以由矢量的加法知道 两个以上的矢量可以 相加合成相加合成为一个矢量 所以 一个矢量也可为一个矢量 所以 一个矢量也可 以以分解分解为两个或两个以上的为两个或两个以上的分矢量分矢量 但一个矢量分解为两个矢量时 结果并不但一个矢量分解为两个矢量时 结果并不 唯一 而是有无穷多种分解方法 唯一 而是有无穷多种分解方法 A AAe 5ir 3jr 2kr 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 16 矢量的分解 A 但如果但如果限定限定了两个分矢量的方向 则分解了两个分矢量的方向 则分解 是是唯一唯一的 的 唯一的分解 A 我们常将矢量沿我们常将矢量沿相互垂直相互垂直的方向进行分解 的方向进行分解 这种分解当然也是唯一的 这种情况下分矢这种分解当然也是唯一的 这种情况下分矢 量相互垂直 量相互垂直 正交正交 称为 称为正交分解正交分解 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 17 1 矢量在直角坐标系中的正交分解 矢量在直角坐标系中的正交分解 在直角坐标系中 在直角坐标系中 x y z三个方向的单位三个方向的单位 矢量分别为矢量分别为 ijk x y z A x A y A 自矢量自矢量 的矢端向的矢端向z轴作轴作 垂线 垂足为垂线 垂足为 A z A z A 又自又自 的矢端向的矢端向O xy平平 面作垂线 垂足为面作垂线 垂足为 A A A 再自再自 向向x轴和轴和y轴作垂轴作垂 线 垂足分别为线 垂足分别为 和和 A x A y AO 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 18 则则 称为称为 矢量矢量 在在x y z轴上的轴上的投投 影影或或分量分量 注意不是分矢量 注意不是分矢量 这样 这样 在在x y z方向的方向的分矢量分矢量分别为分别为 z A x A y A A A x A i z A k y A j 则矢量则矢量 的大小为的大小为 A 222 xyz AAAAA 设设 与与x y z轴的夹角轴的夹角 分别为分别为 称为 称为方向方向 角角 则方向余弦为 则方向余弦为 A cos x A A cos y A A cos z A A A 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 19 且有且有 于是用 于是用 x y z三个方向的分矢量表示三个方向的分矢量表示 时有时有 222 coscoscos1 A xyz AA iA jA k 上式称为上式称为 在直角坐标系中的在直角坐标系中的正交分解式正交分解式 利用正交分解式可利用正交分解式可进行进行矢量的矢量的加减运算加减运算 计算 计算 时 把时 把对应方向的分矢量对应方向的分矢量相加减 所得结果即相加减 所得结果即 为所求矢量的对应分量 为所求矢量的对应分量 A xyz AA iA jA k xyz BB iB jB k 即若即若 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 20 则则 xxyyzz ABAB iABjAB k 0 5 0 5 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积 矢量除了数乘之外 还有矢量除了数乘之外 还有标积标积和和矢积矢积两种两种 相乘方式 相乘方式 1 矢量的标积 矢量的标积 点积 点积 我们定义矢量我们定义矢量 和和 的标积为的标积为 AB A B 标积的结果是一个标量 等于标积的结果是一个标量 等于 和和 的模与的模与 夹角余弦的乘积 即有夹角余弦的乘积 即有 AB 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 21 cos A BA BA B cos ABA B cosAB 即即 cos A BAB 0 因标积的运算符号为 因标积的运算符号为 所以标积通 所以标积通 常称为常称为点积点积 在直角坐标系中则有在直角坐标系中则有 1 i ijjk k 0 ijj kk i 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 22 xyzx A iA jikAAAi 在直角坐标系中在直角坐标系中 则 则 xyz AA iA jA k y A jA z A kA 0A 若若 那么 若 那么 若 则 则 0B 0A B AB 矢量的标积还可用矢量的正交分解式来计矢量的标积还可用矢量的正交分解式来计 算 即若算 即若 xyz AA iA jA k xyz BB iB jB k 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 23 而在任何坐标系中 总有而在任何坐标系中 总有 2 A AA 则可得则可得 xyzxyz xxyyzz A BA iA jA kB iB jB k A BA BA B 即标积等于即标积等于对应分量相乘积的和对应分量相乘积的和 矢量的标积满足矢量的标积满足交换律交换律 分配律分配律和和结合律结合律 即有即有 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 24 A BB A ABCA CB C A BABAB 交换律交换律 分配律分配律 结合律结合律 2 矢量的矢积 矢量的矢积 叉积 叉积 矢量矢量 和和 的矢积为一矢量 记作的矢积为一矢量 记作 AB A B 的大小为的大小为 Csin 0 CAB C 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 25 其中其中 为为 与与 的夹角 而的夹角 而 的方向按的方向按右右 手螺旋法则手螺旋法则确定 确定 ABC A C 即右手四指按小于即右手四指按小于 的方向从的方向从 转向转向 时 时 伸直的拇指所指的方向即为伸直的拇指所指的方向即为 的方向 矢积的方向 矢积 用 用 表示 故通常又叫 表示 故通常又叫叉乘叉乘 也读作 也读作 叉乘 叉乘 AB C B x y z 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 B lI d F d 有限长载流导线所受的有限长载流导线所受的 安培力安培力 BlIFF ll dd BlIF dd 安培定律安培定律 sinddlBIF 意义意义 磁场对电流元作用的力的大小为磁场对电流元作用的力的大小为 的方向垂直于的方向垂直于 和和 所组成的平面所组成的平面 且与且与 同向同向 lI dB F d BlI d lI d B F d 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 27 根据定义我们可以得到如下结论 根据定义我们可以得到如下结论 1 0AA 2 若若 则 则 0 0AB 0 ABA B 3 A BBA 不满足交换律 不满足交换律 4 ABA BAB 为实数 为实数 5 CABCACB 分配律 分配律 ijk jki kij 6 在直角坐标系中有在直角坐标系中有 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 28 j ik kji ikj 用正交分解式计算时有用正交分解式计算时有 xyzxyz A BA iA jA kB iB jB k xxxyxz A B i iA B ijA B ik yxyyyz A B j iA B jjA B jk zxzyzz A B kiA B kjA B kk yzzyzxxz xyyx A BA B iA BA Bj A BA B k 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 29 xyz xyz ijk AAA BBB 而混和积而混和积 xyzzyyzxxz zxyyx AB CA B CB CA B CB C A B CB C xyz xyz xyz AAA BBB CCC 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 30 AB C 在数值上等于以在数值上等于以 三矢量三矢量 为棱的平行六面体的体积 并且我们还有为棱的平行六面体的体积 并且我们还有 ABC 7 AB CBCACA B 8 AB CB A CC A B 9 AB CACB CBA B CA 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 31 0 6 0 6 矢量的导数矢量的导数 1 矢量函数 矢量函数 在物理学中有许多矢量是随在物理学中有许多矢量是随时间时间或或空间空间位位 置的变化而置的变化而变化变化的 包括大小和方向都可能的 包括大小和方向都可能 发生变化 如速度 力 电场强度等都是这发生变化 如速度 力 电场强度等都是这 样 样 AA t 如果对于标量变量如果对于标量变量 t 的的每一个值每一个值 都相应 都相应 的存在变矢量的存在变矢量 的一个的一个确定值确定值与之对应 则与之对应 则 称矢量称矢量 是标量变量是标量变量 t的的矢量函数矢量函数 记为 记为 A A 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 32 在直角坐标系中 矢量函数表示为在直角坐标系中 矢量函数表示为 xyz A tA t iA t jA t k 其中的其中的 分别是分别是t 的标量函数 的标量函数 t通通 常指时间 常指时间 x A y A z A 2 矢量的导数 矢量的导数 A t x y O z l 如图如图 为矢量为矢量 的的矢矢 端端随随 t而变化的轨迹 在而变化的轨迹 在 t 时刻对应的矢量为时刻对应的矢量为 lA A t 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 33 A tt A A t x y O z 经过时间经过时间 后 矢量后 矢量 变为变为 t A t A tt 在在 内 矢量函数有一内 矢量函数有一 个增量个增量 t A 即有即有 AA ttA t 我们把比值我们把比值 A t 称为矢量称为矢量 在在 内的内的平均变化率平均变化率 t A A ttA t t 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 34 矢量函数的平均变化率也是一个矢量 其矢量函数的平均变化率也是一个矢量 其 方向方向与矢量增量与矢量增量 的方向相同 的方向相同 A 若当若当 即 即 时 比值时 比值 的极限存在 则称这一的极限存在 则称这一极限极限为矢量函数为矢量函数 在在 时刻的时刻的导数导数 记作 记作 At 0t ttt A t t d A dt 矢量函数的导数仍为一矢量 其矢量函数的导数仍为一矢量 其方向方向为为 时时 的方向 的方向 0t A 0 lim t A t 0 1 lim t A t 数学知识 矢量数学知识 矢量 大学物理通用矢量知识大学物理通用矢量知识 大学物理大学物理 35 如下图所示 当如下图所示 当 时 时 与与 的大小趋于接近 故而此时的大小趋于接近 故而此时 的方向将趋的方向将趋 于于 的的矢端曲线的切线方向矢端曲线的切线方向 并指向 并指向 增增 加的一侧 加的一侧 A t0t A tt A A tt 由上图可以看到矢量导数有一个由上图可以看到矢量导数有一个重要重要特征 特征 那就是当矢