matlab实例讲解及基础知识必备.ppt

1 第八章MATLAB的数值计算功能 第二节简单的数学运算 第三节MATLAB数值计算基础 第四节MATLAB数值分析与多项式计算 第一节变量命名与保存 3 1 1变量及其赋值 1 1 1变量 3 MATLAB严格区分大小写字母 因此 A和a是不同的变量 变量由变量名表示 变量的命名应遵循如下规则 1 变量名必须以字母开头 由字母 数字和下划线混合组成 不允许使用空格 标点符号 2 变量名的字符长度不应超过31个 对于6 x版本 4 关键字 如if while等 不能作为变量名 Sin是变量名 而sin是正弦函数名 4 eps 容差变量 定义为1 0到最近浮点数的距离 在pc机上 2 52pi 圆周率 的近似值3 1415926inf或Inf 表示正无穷大 定义为1 0NaN 非数 它产生于0 0 0 等运算i j 虚数单位ans 对于未赋值运算结果 自动赋给ans 永久变量 如果用户给永久变量赋值 原始默认值丢失 直至清除变量或重启Matlab 5 1 1 2 MATLAB的语句 1 百分号 注释符 与其它程序语言一样 为了方便其他人及日后自己对程序的阅读 增加程序的可读性 需要在MATLAB文件中加入注释 注释行必须以 号开始 执行文件时 号后面的语句不予执行 2 逗号和分号 在赋值语句中 逗号 空格 用在同一行中各元素之间 分号用在行与行之间 多条语句放在一行 用逗号分开表示要求显示结果 由分号分开表示不要求显示结果 6 3 续行标志 当一条语句或矩阵太长 一行不能显示时 可用续行标志 另起一行继续完成该条语句的书写 4 中断键 在命令的执行过程中 可以随时按下CTRL C键中断MATLAB的运行 7 1 1 3矩阵及其元素的赋值 矩阵是MATLAB进行数据处理的基本单元 MATLAB的大部分运算都是在矩阵的意义上进行的 MATLAB中的变量或常量都代表矩阵 标量应看作是1 1阶的矩阵 矩阵运算也是MATLAB最重要的运算 矩阵的创建可以通过以下几种形式 1 直接列出元素 2 通过语句和函数产生 3 从外部文件装入 4 在M中文件建立 8 1 直接输入矩阵 例如输入语句a 123 456 789 a 123456789 创建矩阵的基本原则 1 矩阵的所有元素必须放在方括号 内 2 矩阵元素之间必须用逗号 或空格隔开 3 矩阵行与行之间用分号 或回车符隔开 4 矩阵元素可以是数字或表达式 9 eye n 单位矩阵 n n阶的方阵 zeros m n 元素全为零的m n阶矩阵 ones m n 元素全为1的m n矩阵 rand m n 元素为在 0 1 上均匀分布的m n随机矩阵 randn m n 元素为正态分布的m n随机矩阵 magic n 魔方矩阵 其特点是元素由1到n2的自然数组成 每行 每列及两对角线上的元素之和均等于 n3 n 2 几种特殊矩阵的产生 2 由函数创建矩阵 10 3 从外部数据文件调入矩阵 例如 目录C ProgramFiles MATLAB R2007b work matlab training下有生物医学信号的文本文件bio signal txt 在命令窗口输入 load load C ProgramFiles MATLAB R2007b work matlab training bio signal txt 从磁盘读入 mat文件 或读入排列成矩阵的 txt文件 11 importdata 例如 目录C ProgramFiles MATLAB R2006a work temp下有生物医学信号的文本文件bio signal txt 在命令窗口输入 importdata C ProgramFiles MATLAB R2006a work temp bio signal txt 其他方法 fopen fread textscan fscan fclose 从文件中读入数据 能自动分析文件的格式 应用广泛 12 数据存储save savefilenameabc把a b c三个变量保存在文件名为filename mat的文件中 savefilename把全部内存变量保存为filename mat文件 savefilenameabc append把a b c三个变量添加到文件名为myfile mat的文件中 13 clear 删除工作空间内的所有变量N 1000 x rand 1 N 产生一个随机向量y 5 saverand dataxy 把xy存入文件rand data mat中saverand data txt txtx asciiclear 删除工作空间内的所有变量load rand data mat 把文件rand data mat中的变量载入工作空间 示例 第二节简单的数学运算 一 常用的数学运算符二 Matlab语言规则三 常用操作命令和键盘技巧四 常量和变量五 函数 一 常用的数学运算符 1 Matlab的数学运算定义在复数域上 4 5j 2ians 4 0000 7 0000i 复数的输入 z1 3 4 i z2 5 6 j 复数单位 加法 减法 乘法 右除 乘方 幂运算 一个数在matlab中被看成1 1矩阵 对标量而言 这二者的作用没有区别 但对矩阵来说 左除 和 右除 将产生不同的结果 左除 在运算式中 MATLAB通常不需要考虑空格 2 Matlab的数学运算符是定义在矩阵上的 3 4 3 4 与复数相关的一些函数 上机练习 求复数Z的实部 虚部 模和相角 Example1 2 上机练习 x 0 98 2 0 3 pi Example1 1 二 Matlab语言规则 Matlab区分大小写 命令和函数全是小写 一行可以输入几个命令 用分号 或逗号 隔开 若命令后无标点符号 则显示命令的结果 若命令后为分号 则禁止显示结果 续行符 三个点 如果语句很长 可用续行符将一个语句写成多行 续行符前要留一个空格 注释符 其后面的内容为注释 对Matlab的计算不产生任何影响 冒号 在数组中应用较多 指定运算优先级 用于构成单元数组 三 常用操作命令和键盘技巧 ctrl P 调用上一行ctrl n 调用下一行ctrl b 光标左移一个字符ctrl f 光标右移一个字符ctrl 光标左移一个单词ctrl 光标右移一个单词ctrl a home光标置于当前行开头ctrl e end光标置于当前行结尾ctrl u Esc清除当前输入行BackSpace退格键 删除光标前字符ctrl k 删除到行尾ctrl c 中断正在执行的命令 四 常量和变量1 常量常量 已经被预定了某个特定值的特定的变量 常量可任意调用 ans 用于结果的缺省变量名pi 圆周率i或j 表示虚数单位beep 使计算机发出 嘟嘟 声eps 浮点数相对误差inf 无穷大数 如1 0NaN 不定量 如0 0 example1 i 1i 1 Matlab并不要求对所使用的变量进行事先声明 也不需要指定变量类型 Matlab会自动根据所赋予变量的值或对变量所进行的操作来确定变量的类型 2 变量 变量是任何程序设计语言的基本元素之一 在赋值过程中 如果变量已经存在 Matlab会用新值代替旧值 并以新的变量类型代替旧的变量类型 赋值 变量 表达式 或数 MATLAB变量的命名规则 2 变量名区分大小写 3 变量名长度不超过31位 64 1 变量名必须以字母打头 之后可以是任意字母 数字或下划线 变量名中不允许使用标点符号和空格 4 不能含中文 包括文件名 例 6x y r op为非法变量 ui y y9oi都是合法变量 五 函数 1 标量函数 三角 指数 对数 取整 fix 等基本函数 作用于标量或矩阵 数组 的每一元素 要想得到基本初等函数的列表 命令窗口输入 helpelfunelementaryfunction 常用标量函数 2 向量函数 max min sum length 作用于矩阵的每一列向量 或行向量 3 矩阵函数 构造矩阵 zeros ones eye rand diag triu tril 矩阵计算 size det rank inv eig trace norm 第二节MATLAB数值计算基础 一 矩阵的构造 三 矩阵的四则运算 二 对矩阵的操作 四 矩阵的特征参数运算和分解运算 五 矩阵元素之间的关系运算 六 矩阵元素之间的逻辑运算 一 矩阵的构造 1 向量的构造 1 逐个输入法 x 行向量 数据元素之间均用空格 或逗号 隔开 列向量 数据元素之间均用分号隔开 例 x1 23sqrt 3 5 向量是1 N N 1 的特殊矩阵 称为N维向量 是一种特殊的矩阵 注 行向量和列向量之间的转换 例 x2 2 3 sqrt 3 5 a 冒号生成法 x first increment last 表示包含由首元素开始 步长为increment 到末元素结束的组成的行向量 2 等差元素向量的生成 v2 0 0 1 pi 步距为负 不能生成向量 得出空矩阵v2 Emptymatrix 1 by 0 v3 0 piv3 0123 v4 pi 1 0 逆序排列构成新向量v4 3 14162 14161 14160 1416 例 v1 0 pi 4 piv1 00 78541 57082 35623 1416 b 函数法 a linspase first last n 创建均匀间隔的行向量a n为元素总数 a linspace 2 2 5 a 2 1012 1 逐个输入法 例 表示矩阵 B 1 9i2 8i3 7j 4 6j5 5i6 4i 7 3i8 2j1i B 1 0000 9 0000i2 0000 8 0000i3 0000 7 0000i4 0000 6 0000i5 0000 5 0000i6 0000 4 0000i7 0000 3 0000i8 0000 2 0000i0 1 0000i 2 矩阵的构造 B 1 9i 2 8i 3 7j4 6j 5 5i 6 4i7 3i 8 2j 1i 2 特殊矩阵的函数生成 一些常用的特殊矩阵单位矩阵 eye m n eye m 零矩阵 zeros m n zeros m 一矩阵 ones m n ones m 对角矩阵 对角元素向量V a1 a2 an A diag V 均匀分布随机矩阵 rand m n 产生一个m n的均匀分部的随机矩阵 练习 example2 二 对矩阵的操作 1 对矩阵元素的操作 基本语句格式B A n m n m分别为矩阵的行号和列号 1 提取矩阵A的第n行第m列的元素 b A n m 2 提取矩阵A的第n行的所有元素 b A n 3 提取矩阵A的第m列的所有元素 b A m 4 将矩阵A的第n行的所有元素删除 A n 5 将矩阵A的第m列的所有元素删除 A m 6 将矩阵A的矩阵元改写成n行m列矩阵 Reshape A n m example5 对矩阵元素的操作 7 x x 8 取矩阵A的第i1 i2行 第j1 j2列构成新矩阵 A i1 i2 j1 j2 9 将矩阵A和B拼接成新矩阵 AB A B v5 0 0 4 pi pi v5 00 40000 80001 20001 60002 00002 40002 80003 1416 n x 2 3 3 4 例 A 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 0 A 1234345656787890 B1 A 1 2 end 提取全部奇数行 所有列 B1 12345678 A 行 列 B2 A 3 2 1 2 3 4 提取3 2 1行 2 3 4列构成子矩阵 A 1234345656787890B2 678456234 B3 A end 1 1 将A矩阵左右翻转 即最后一列排在最前面 B3 4321654387650987 练习1a magic 5 b a 3 4 提取矩阵a的第n行第m列的元素c a 3 提取矩阵a的第3行的所有元素d a 4 提取矩阵a的第4列的所有元素a 2 将矩阵a的第2行的所有元素删除a 2 将矩阵a的第2列的所有元素删除 练习2a magic 5 a a m a 1 3 3 5 取矩阵A的第1 3行 第3 5列构成新矩阵 练习3矩阵的拼接x ones 2 3 y zeros 2 3 z1 xy z2 yx z3 x y z4 y x 2 对矩阵 A 的部分操作 example5 3 判断矩阵的大小 a 123 345 m n size a m 2n 3 length a ans 3 max size a ans 3 m n size A 返回矩阵的行列数m与n length A max size A 返回行数和列数的最大值 三 矩阵的四则运算 example3 1 向量的基本运算 1 向量与数的四则运算向量中的每个元素与数的 运算 2 向量与向量之间的加减运算对应元素的加减运算 3 向量的点积与叉积 点积 dot A B sum A B 叉积 cross A B 限三维混合积 1i 2j 3k 2i 4j 3k 5i 2j 1k v dot a cross b c 1 标量与矩阵的数运算和数学函数对矩阵的运算等于对矩阵的每一个元素的运算 a 123 b a 100b 101102103 2 进行矩阵加减时 参与运算的矩阵必须同维 3 进行矩阵乘法时 A的行数 B列数 左乘与右乘不同 一般A B不等于B A若A B等于B A 则称A B对易 4 幂运算A n 2 矩阵的基本运算 非奇异矩阵 对一个n行n列的非零矩阵A 如果存在一个矩阵B 使AB BA E E是单位矩阵 则称A为非奇异矩阵 也称A是可逆的 A B等效于A的逆左乘B矩阵 即inv A BB A等效于A的逆右乘B矩阵 即B inv A 左除与右除不同 A B B A 5 Matlab矩阵除法 左除 右除 如果A矩阵为非奇异矩阵 可逆 则A B和B A运算可以实现 进行矩阵除法时 A B时 A B列数必须相同 A B时 A B行数必须相同 练习 已知A 135 246 787 B 123 232 346 比较A B和B AA B和B AA B和B A的区别 example7 练习求解四元线性方程组定义三个矩阵 系数矩阵 未知数矩阵 常数矩阵 上述方程可变为求解 example4 3 Matlab点运算 数组运算 在MATLAB中 有一种特殊的运算 因为其运算符是在有关算术运算符前面加点 所以叫点运算 点运算符有 两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算 要求两矩阵的维参数相同 练习已知A 135 246 787 B 123 232 346 比较A B和A B以及A B和A B的区别 练习已知x 0 0 5 8按下列函数关系求y序列Y sin example7 1 对矩阵 A 的特征参数运算 1 方阵A的行列式值 可表示为det A 2 矩阵A的秩 可表示为rank A 向量组的秩 一个向量组的极大线性无关组所含向量个数 m n矩阵 行秩 列秩 3 行列式值不为零的方阵A 求逆矩阵A 1可表示为inv A 4 矩阵A的转置矩阵 可表示为A 5 矩阵A的特征值 AV DV V D eig A 等号左边是函数对方阵A的作用后返回的变量信息 V和D分别为A的特征向量与特征值 D为特征值对角阵 函数调用语句 返回变量列表 函数名 输入变量列表 6 矩阵A的迹 主对角线上所有元素的和 可表示为magic A example6 四 矩阵的特征参数运算和分解运算 2 对矩阵 A 的分解运算 1 特征值分解 AV DV V D eig A 等号左边是函数对方阵A的作用后返回的变量信息 V和D分别为A的特征向量与特征值 D为特征值对角阵 2 奇异值分解 U S V svd A AV qUA U qVU V为奇异向量 S为A奇异值 返回一个与A同大小的对角矩阵S 两个矩阵U和V 且满足A U S V 若A为m n阵 则U为m m阵 V为n n阵 奇异值在S的对角线上 非负且按降序排列 3 三角分解 lu L U lu A 非奇异矩阵A A LU U 上三角矩阵L 下三角矩阵 4 正交分解 qr Q R qr a 非奇异矩阵A A QR Q为正交矩阵 R为上三角阵 注意 MATLAB的函数发生作用后返回的变量信息这种形式 特别注意中 小括号的使用 1 MATLAB提供了6种关系运算符 2 关系运算符的运算法则 1 当两个比较量是标量时 直接比较两数大小 若关系成立 关系表达式结果为1 否则为0 2 当参与比较的两个量是两个维数相同的矩阵时 比较是对两矩阵对应位置的元素按标量关系运算规则逐个进行 并给出元素比较结果 最终的关系运算的结果是一个与原矩阵维数相同的矩阵 元素由0或1组成 3 当参与比较的一个是标量 而另一个是矩阵时 则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较 并给出元素比较结果 最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵 它的元素由0或1组成 五 矩阵元素之间的关系运算 example8 表1关系操作符 A 123 456 780 A 123456780 find A 5 ans 3568 find i j find A 5 i j 显示行标 列标ans 31223223 rem x n 求余函数 X 被除数 n 除数magic n 生成n阶魔术矩阵 方阵的每一行每一列以及每条主对角线的元素之和都相同 2阶方阵除外 A magic 4 B rem A 3 C rem A 3 1 example7 fix 向零方向取整 Example8 六 矩阵元素之间的逻辑运算 1 MATLAB提供了3种关系运算符 2 逻辑运算的运算法则为 1 在逻辑运算中 确认非零元素为真 用1表示 0元素为假 用0表示 2 设参与逻辑运算的是两个标量a和b 那么 a ba b全为非零时运算结果为1 否则为0 a ba b中只要有一个非0 运算结果为1 a当a是0时 运算结果为1 当a非0时 运算结果为0 example8 表2逻辑运算符 相关函数 若x为矩阵 则any和all按列运算 返回一个0 1向量 any x 若向量x中存在非零元素 则返回1 否则返回0 all x 若向量x中所有元素非零 则返回1 否则返回0 表3逻辑关系函数 xor x 异或函数 A 123 456 780 A 123456780 all A 5 某列元素全大于或等于5时 相应元素为1 否则为0 ans 000 any A 5 某列元素中含有大于或等于5时 相应元素为1 否则为0 ans 111 a 123 056 780 a 123056780 b ones 3 b 111111111 xor a b ans 000100001 七 矩阵的多维数组形式 1 数组的维 1 具有n个元素的一行或一列的矩阵数组称为一维数组 2 具有n行m列的矩阵数组称为n m二维数组 3 具有h个二维数组称为n m h三维数组 2 多维数组的构成 1 函数cat的使用 2 B cat dim a1 a2 3 意义 将多个数组a1 a2 构成一个高维数组B Dim是高维数组B的维数 它必须等于或大于a1 a2 的阶次 example9 第三节MATLAB数据分析与多项式计算 一 Matlab多项式表示 在Matlab中 n次多项式是用一个长度为n 1的向量来表示 缺少的幂次项系数为0 在Matlab中表示为相应的向量 1 N的N维向量 例 注 系数中的零不能省 二 多项式的创建 1 系数矢量直接输入法poly2sym A example10 P 3501012 P 3501012 y poly2sym P poly2sym函数将该向量转换为多项式 y 3 x 5 5 x 4 x 2 12 disp y 显示矩阵或文本3 x 5 5 x 4 x 2 12 2 由根矢量创建多项式 若已知多项式的全部根 则可以用poly函数建立起该多项式 其调用格式为 P poly A P 1234 y poly P y 1 1035 5024 h poly2sym y h x 4 10 x 3 35 x 2 50 x 24 如果A为二维或以上的矩阵 poly A 表示由A的特征根确定的多项式 如果A为一维矩阵 poly A 表示由A的元素为多项式的根创建多项式 a 12 34 b poly a b 1 0000 5 0000 2 0000 V D eig a V 0 8246 0 41600 5658 0 9094D 0 3723005 3723 Y polyval b D Y 0 2 0000 2 00000 1 polyval函数 调用格式 Y polyval px x px为多项式系数向量 x为多项式自变量取值 Y为对应函数值 多项式px在x点的取值 x也可以是一组数 代表多项式px在各点的值 2 polyvalm函数调用格式 Y polyvalm px x 多项式px对于矩阵x的取值 要求矩阵x必须是方阵 x若是一标量 求得的值与函数polyval相同 三 多项式的求值 polynomialvalue example11 example13 y x 3 2 x 2 3 x 4 四 多项式运算的函数 1 多项式求根 roots A 列向量n次多项式具有n个根 当然这些根可能是实根 也可能含有若干对共轭复根 MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根 其调用格式为 x roots A 其中A为多项式的系数向量 求得的根赋给向量x 即x 1 x 2 x n 分别代表多项式的n个根 example12 2 多项式四则运算 多项式加减运算 Matlab没有提供专门进行多项式加减运算的函数 事实上 多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算 例 对于次数相同的多项式 可以直接对其系数向量进行加减运算 如果两个多项式次数不同 则应该把低次多项式中系数不足的高次项用0补足 然后进行加减运算 多项式乘除法运算 例 计算多项式和的乘积 p 2 1 0 3 q 2 1 k conv p q 多项式除法运算 k deconv p q k r deconv p q 其中k返回的是多项式p除以q的商 r是余式 k r deconv p q p conv q k r 多项式乘法运算 k conv p q deconv是conv的逆函数 即有P conv k q r 例 求多项式和的乘积 练习 多项式乘法 conv a b 除法 deconv a b example13 2 多项式的微积分 对多项式求微分的函数是 p polyder P p 3x2 4x P x3 2x2 1 P 1201 p polyder P P 340 example12 例 求多项式的微分和积分 练习 多项式的微分 polyder A 积分 polyint A p polyder P Q 求P Q的导函数 p q polyder P Q 求P Q的导函数 导函数的分子存入p 分母存入q 上述函数中 参数P Q是多项式的向量表示 结果p q也是多项式的向量表示 P 1201 P 1201 poly2sym P ans x 3 2 x 2 1 Q 301 Q 301 poly2sym Q ans 3 x 2 1 M conv P Q M 361501 poly2sym M ans 3 x 5 6 x 4 x 3 5 x 2 1 p polyder P Q p 15243100 p2 polyder M p2 15243100 曲线拟合是进行数据分析时经常遇到的问题 它是指根据一组或多组测量数据找出数学上可以描述此数据走向的一条曲线的过程 曲线拟合 利用两个或多个变量的离散点 用平滑曲线来拟合它们之间的关系 参数拟合 曲线不通过所有点 采用最小二乘法 非参数拟合 曲线通过所有点 采用插值法 5 多项式曲线拟合1 最小二乘法 通过最小化残差的平方和来获得待定系数的估计 评价一条曲线是否准确地描述了测量数据的最通用方法 是看测量数据点与该曲线上对应点之间的平方误差是否达到最小 example13 2 步骤 1 找出函数上的已知点系列 2 由已知点系列确定多项式 3 再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值 3 polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数 即P polyfit x y n p为模拟的多项式 polyfit为调用函数 x和y为已知点系列 n是多项式的阶次 一般n越大越精确 P S polyfit x y n 函数根据采样点x和采样点函数值y 产生一个n次多项式P及其在采样点的误差向量S 其中X Y是两个等长的向量 P是一个长度为n 1的向量 P的元素为多项式系数 例 对数据x 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 和y 0 2320 6471 8773 5655 1347 4439 22110 01111 67812 56613 788 做二次曲线拟合 并图示拟合曲线和原来数据 example14 例 用三次多项式拟合正弦曲线 并图示拟合曲线和原来数据 6 数据插值是指在原数据点之间按照一定的关系插入新的数据点 以便更准确地分析数据的变化规律 1 一维插值 是对单变量函数进行插值例如 在 2 2 区间上分别用5个数据点和50个数据点绘制抛物线函数的图形 example15 1 线性插值 默认方法 两个数据点之间连接直线 根据给定的插值点计算出它们在直线上的值 调用格式 yi interp1 x y xi linear 2 三次插值 用于满足三阶多项式的数据之间的插值 调用