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软件介绍 第7讲数列与级数 7 1引言 极限是微积分中最重要的基本内容之一 远在公元前3世纪 古希腊人阿基米德就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积 本讲的目的是通过计算机来发现数列的规律与极限状态的性质 7 1引言 所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1 a2 an 1 而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式 2 数列与极限有着密不可分的关系 给定一个无穷级数 2 它唯一确定了一个无穷数列S1 S2 其中Sn a1 an n 1 2 7 1引言 所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1 a2 an 1 而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式 2 数列与极限有着密不可分的关系 反之 给定一个无穷数列 1 它也唯一地确定了一个无穷级数 这里b1 a1 bn an an 1 n 2 3 而且无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限 因此 无穷数列与无穷级数是可以转化的 7 1引言 对于给定的数列 an 需要研究的问题是 1 数列an有什么规律和性质 2 当n 时 数列an的极限是什么 3 如果极限是无穷大 那么它趋向于无穷大的阶是多大 4 如果数列的极限不存在 那么它在无穷大时的极限状态怎样 对于给定一个无穷级数 也具有以上类似的问题 本讲首先以斐波那契数列和调和级数为例来探讨上述问题 然后讨论自然对数的底e 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 1斐波那契 Fibonacci 数列的由来13世纪意大利著名数学家斐波那契在他的著作 算盘书 中记载着这样一个问题 一对刚出生的幼兔经过一个月后可长成成兔 成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔 假设兔子不会死亡 问一年后总共有多少对兔子 易知 兔子总数为以下数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 1斐波那契 Fibonacci 数列的由来易知 兔子总数为以下数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 其递推关系式由Fn 2 Fn 1 Fn n 1 2 F1 1 F2 1 3 给出 该数列被称为斐波那契数列 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 Fn 2 Fn 1 Fn n 1 2 F1 1 F2 1 3 该数列被称为斐波那契数列 7 2 2斐波那契数列的极限为考察斐波那契数列的极限与规律 我们用计算机算出斐波那契数列每一项的值 并在平面上画出顺次连接点 n Fn n 1 2 N的折线图 其中N是一个大整数 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限 例7 1 取N 20 观察斐波那契数列的折线图 输入如下Mathematica程序 f n f n 1 f n 2 f 0 1 f 1 1 fib Table f i i 1 20 g1 ListPlot fib PlotStyle PointSize 0 02 g2 ListPlot fib PlotJoined True Show g1 g2 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限 例7 1 取N 20 观察斐波那契数列的折线图 输入如下Mathematica程序 fib Table Fibonacci i i 1 20 g1 ListPlot fib PlotStyle PointSize 0 02 g2 ListPlot fib PlotJoined True Show g1 g2 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限 例7 1 取N 20 观察斐波那契数列的折线图 斐波那契数列的折线图 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限练习分别取N 50 100 200 500 观察斐波那契数列的折线图 斐波那契数列是否单调递增 它是否趋向于无穷 它增加的速度是快还是慢 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限为进一步研究斐波那契数列Fn的特性 将Fn取对数 在直角坐标系中画出顺次连接点 n lnFn n 1 2 N的折线图 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限 例7 2 取n 20 画出 n lnFn 的折线图 并对以上数据进行拟合 在直角坐标系中画出顺次连接 n lnFn n 1 2 20的折线图 fib Table Fibonacci i i 1 20 lgf Log fib g1 ListPlot lgf PlotStyle PointSize 0 02 g2 ListPiot lgf PlotJoined True Show g1 g2 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 2斐波那契数列的极限 例7 2 取n 20 画出 n lnFn 的折线图 并对以上数据进行拟合 在直角坐标系中画出顺次连接 n lnFn n 1 2 20的折线图 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 3斐波那契数列的通项公式斐波那契数列满足递推关系Fn 2 Fn 1 Fn 3 称这样的递推关系为二阶线性 齐次 差分方程 怎样寻找斐波那契数列精确的通项公式呢 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 3斐波那契数列的通项公式根据前面的观察 可以猜测数列Fn的通项具有指数形式 不妨设Fn n 将Fn n代入递推关系式 3 得到 n 2 n 1 n 消去非零因子 n 有 2 1 从而解得设Fn c1 1n c2 2n 代入 3 式 并由F1 1 F2 1即可确定常数c1和c2为 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 3斐波那契数列的通项公式设Fn c1 1n c2 2n 代入 3 式 并由F1 1 F2 1即可确定常数c1和c2为因此 斐波那契数列的通项公式为 4 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 4斐波那契数列的几个例子斐波那契数列与自然界中的许多现象 如植物的枝干与叶子的生长 有密切联系 它在纯数学领域的一个极为成功的应用是协助苏联数学家马蒂雅舍维奇解决了著名的希尔伯特 Hilbert 第十问题 此外 它在优化 运筹以及计算机科学与艺术领域都有着极大的应用价值 下面给出斐波那契数列的几个例子 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 4斐波那契数列的几个例子 蜜蜂的 家谱 蜜蜂的繁殖规律十分有趣 蜂后所产的卵 受精的孵化为雌蜂 即工蜂或蜂后 未受精的孵化为雄蜂 在追溯雄蜂的家谱时 一只雄蜂的第n代子孙数目刚好就是斐波那契数列的第n项Fn 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 4斐波那契数列的几个例子 树的分枝 如果一棵树每年都在生长 第二年有两个分枝 通常第三年就有三个分枝 第四年五个 第五年八个 每年的分枝数都是斐波那契数 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 4斐波那契数列的几个例子 杨辉三角形与斐波那契数列 把杨辉三角形中的数据排列在表格中 自左下至右上斜线相加 就可以得到斐波那契数列 如表23 1所示 7 2斐波那契 Fibonacci 数列 7 2 4斐波那契数列的几个例子练习4对斐波那契数列 设观察数列 gn 的变化趋势 7 3调和级数 7 3 1调和级数的定义我们熟知 数学分析中的p 级数 5 当p 1时收敛 当p 1时发散 特别地 当p 1时 级数 5 称为调和级数 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度一个令人感兴趣的问题是 调和级数发散到无穷的速度有多快 或者说数列趋于无穷的速度有多快 一个直观的方法仍然是画出由点 n Sn n 1 2 N构成的折线图 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 取n 30 分别画出调和级数的折线图 与的比较图如下 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 Clear n s n NSum 1 i i n n 30 sn Table s i i 1 n g1 ListPlot sn PlotStyle PointSize 0 02 DisplayFunction Identity g2 ListPlot sn PlotJoined True DisplayFunction Identity g3 Show g1 g2 DisplayFunction DisplayFunction 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 f1 x x f2 x Sqrt x f3 x x 1 4 gf1 Plot f1 x x 0 20 PlotStyle RGBColor 1 0 0 DisplayFunction Identity gf2 Plot f2 x x 0 20 PlotStyle RGBColor 0 1 0 DisplayFunction Identity gf3 Plot f3 x x 0 20 PlotStyle RGBColor 0 0 1 DisplayFunction Identity 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 Show g3 gf1 DisplayFunction DisplayFunction Show g3 gf2 DisplayFunction DisplayFunction Show g3 gf3 DisplayFunction DisplayFunction 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度 例7 3 取充分大的N 观察调和级数的折线图 你觉得它发散的速度是快还是慢 将它的图形与作比较 谁的发散速度快 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度从以上结果可看出 调和级数发散的速度较慢 但是 它到底以什么样的速度发散到无穷 让我们再做下面的练习 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度练习5对充分大的一系列n 计算S2n Sn 你能否猜测出S2n Sn当n趋于无穷的极限 更一般地 趋于无穷的速度是什么 反过来 固定n 让k趋于无穷 趋于无穷的速度是什么 你能否由此得出Sn当n趋于无穷的极限阶 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度感觉级数增长速度的一种方法是定义函数J n 它是不小于级数部分和的最小整数 例如J 1 1 J 3 2 J 4 3 s n NSum 1 i i n j n Ceiling s n 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度练习6对n 1 2 N N是某个较大整数 计算J 2n J n 你能作出什么猜测 n 400 p Table i j 2i j i i 1 n TableForm p x p All 2 ListPlot x J 2n J n 成立吗 给定n 你能找到m作为n的函数 它能保证J m J n 1吗 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度练习6对n 1 2 N N是某个较大整数 计算J 2n J n 你能作出什么猜测 n 400 p Table i j 2i j i i 1 n TableForm p x p All 2 ListPlot x 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度对每个n 设J m J n 1 则m n的范围是什么 s n NSum 1 i i n j n Ceiling s n m n Module k i k j n i n While j i k 1 i i m n nN1 500 p Table n j n N m n n n 1 N1 TableForm p 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度对每个n 设J m J n 1 则m n的范围是什么 N1 500 p Table n j n N m n n n 1 N1 TableForm p 7 3调和级数 7 3 2调和级数的发散速度练习8对每个m 1 2 30 令n是使得J n m成立的最大整数 记为L m 试计算比值L m 1 L m 你能做出什么猜测 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来在数学分析中我们知道 数列是单调增加且有上界的数列 故存在极限 记其极限为e 即称e为自然对数的底 可以证明 当x取实数而趋于无穷大时 函数的极限也存在并且也等于e 因此 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来e最早是由数学家欧拉 Euler 发现的 它始于对数函数的微分问题 设对数函数f x logax 则其导函数为 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来e最早是由数学家欧拉 Euler 发现的 它始于对数函数的微分问题 设对数函数f x logax 则其导函数为当a e时 f x 变成了简单的式子 此时函数f x logax 记为lnx 称其为自然对数 这就是e被称为自然对数的底的含义所在 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 2 在同一坐标系中画出下面三个函数在区间 1 4 上的图像 y e观察当x增大时图像的走向 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 解 1 输入如下代码 Clear a A n t1 t2 t k m 5 a n 1 1 n n A n 1 1 n n 1 t Table k 10 k N a 10 k N A 10 k k 0 m TableForm t TableHeadings None m n 10 m a n A n 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 解 1 输入如下代码 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 解 1 计算出an An的值如下表 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 解 1 输入如下代码 t1 Table k N a 10 k k 0 m t2 Table k N A 10 k k 0 m ListPlot t1 PlotStyle PointSize 0 02 ListPlot t2 PlotStyle PointSize 0 02 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 解 1 输入如下代码 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 1 求出当n 10m m 1 2 6时an An的值并观察变化趋势 解 1 画出其散点图 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 2 在同一坐标系中画出下面三个函数在区间 1 4 上的图像 y e观察当x增大时图像的走向 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 解 2 输入如下代码 y1 x 1 1 10 x 10 x y2 x 1 1 10 x 10 x 1 y E Plot y y1 x y2 x x 0 4 PlotStyle RGBColor 1 0 0 RGBColor 0 1 0 RGBColor 0 0 1 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 解 2 输入如下代码 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来 例7 4 观察当n趋于无穷大时 数列和的变化趋势 解 2 画出三个函数在区间 1 4 上的图像 7 4自然对数的底e 7 4 1e的由来练习9将例7 4中的作图区间换成 2 4 或 3 5 或 5 6 观察所得到的图像 通过观察可以看到 当n增大时递增 递减 随着n的无穷增大 an An无限接近 并趋于共同的极限e 2 71828 7 4自然对数的底e 7 4 2用级数的部分和近似e将以e为底的指数函数y ex展开成幂级数 有可以证明该级数的收敛区间为 令x 1 得 7 记我们可以选择适当的n 通过计算Sn得到e的近似值 7 4自然对数的底e 7