全等三角形知识梳理.doc

全等三角形专题知识、全等三角形的判定一全等三角形的判定方法：边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等二全等三角形的应用：1运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础三点剖析一考点：全等三角形的判定二重难点：全等三角形的判定三易错点：1边边角（SSA）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的；2斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样题型精选题型一：SSS例1.1.1如图，求证：【答案】见解析【解析】由SSS可得题型二：SAS例1.2.1已知：如图，E为BC上一点，ACBD，求证：【答案】见解析【解析】证明：ACBD，在ACB和EBD中：，CBMDBM（SAS），例1.2.2如图，已知ABC中，厘米，厘米，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动当点Q的运动速度为_厘米/秒时，能够在某一时刻使BPD与CQP全等【答案】4，6【解析】该题考查的是动点与全等三角形综合设经过x秒后，使BPD与CQP全等，要使BPD与CQP全等，只能或BP=CP，点D为AB的中点，故，或时，；时，；即点Q的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒题型三：ASA例1.3.1已知：如图，C是线段AB的中点，求证：【答案】见解析【解析】该题考查三角形的全等C是线段AB的中点，在ADC和BEC中，ADCBEC（ASA）题型四：AAS例1.4.1如图，于点D，于点E，AD与BE相交于点F，且求证：【答案】见解析【解析】该题考查的是三角形的综合证明：于D，于E，在Rt和Rt中，,在和中，例1.4.2在平面直角坐标系中，点，点，点在直线上运动；（1）若点在第四象限，作于点，于点，求证：；（2）若点在第一象限，仍作于点，于点，试探究线段、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明 【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）易证，所以，所以；（2）如图，证明，同（1）可得题型五：HL例1.5.1如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，AC=BD求证：ABCBAD【答案】见解析【解析】证明：ACBC，BDAD，C=D=90，在RtACB和RtBDA中，ACBBDA（HL）、全等三角形中的辅助线的做法一中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是底边的中线)二角平分线类辅助线作法 有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3，这种对称的图形应用得也较为普遍 三截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解三点剖析一考点：全等三角形辅助线的作法二重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三易错点：1辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来题型精选题型一：中点类例2.1.1已知：ABC中，AD是BC边上的中线，试求AD的取值范围【答案】【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等延长AD至E，使得，连结CE在ABD和ECD中ABDECD（SAS）AE的取值范围为例2.1.2如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证：【答案】见解析【解析】解法一：如图所示，延长到，使，连接BF容易证明，从而，而，故注意到，故，而公用，故，因此解法二：如图所示，取的中点，连接因为是的中点，是的中点，故是的中位线，从而，由可得，故，从而，题型二：角平分线类例2.2.1如图，平分，平分，点在上探讨线段、和之间的等量关系探讨线段与之间的位置关系【答案】见解析【解析】；证明如下：在线段上取点，使，连结在和中，而在和中，例2.2.2如图，已知，BD为ABC的平分线，CEBE，求证：【答案】见解析【解析】延长CE，交BA的延长线于点FBD为ABC的平分线，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，例2.2.3已知，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）关系是：证明：AC平分MAN，又，则（直角三角形一锐角为30，则它所对直角边为斜边一半）；（2）仍成立证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、FAC平分MAN（角平分线上点到角两边距离相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，题型三：截长补短类例2.3.1如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长【答案】见解析【解析】如图所示，延长到使在与中，因为，所以，故因为，所以又因为，所以在与中，所以，则，所以的周长为例2.3.2阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AEAB交BC的延长线于点E，则AB=AE，E=D.在ADC与CEA中，ADCCEA，得CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若ACB+CAD=180，B=D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质CD与AB相等证明如下：作交BC的延长线于点E，在DAC和ECA中DACECA .连接中考1、（2016镇江中考）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，C=D=90（1）求证：ACBBDA；（2）若ABC=35，则CAO=20【考点】全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据HL证明RtABCRtBAD；（2）利用全等三角形的性质证明即可【解答】（1）证明：D=C=90，ABC和BAD都是Rt，在RtABC和RtBAD中，RtABCRtBAD（HL）；（2）证明：RtABCRtBAD，ABC=BAD=35，C=90，BAC=55，CAO=CABBAD=20故答案为：202、（2016镇江中考）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CF（全等三角形的综合应用）（1）求证：BE=DF；（2）当t=6+6秒时，DF的长度有最小值，最小值等于12；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CG在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式【考点】四边形综合题，应用到全等，特殊四边形判定，函数【分析】（1）由ECF=BCD得DCF=BCE，结合DC=BC、CE=CF证DCFBCE即可得；（2）当点E运动至点E时，由DF=BE知此时DF最小，求得BE、AE即可得答案；（3）EQP=90时，由ECF=BCD、BC=DC、EC=FC得BCP=EQP=90，根据AB=CD=6，tanABC=tanADC=2即可求得DE；EPQ=90时，由菱形ABCD的对角线ACBD知EC与AC重合，可得DE=6；（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FHAD于点H，证DCEGCF可得3=4=1=2，即GFCD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6；再由CGN=DCN=CNG知CN=CG=CD=6，根据tanABC=tanCGN=2可得GM=6+12，由GF=DE=t得FM=t612，利用tanFMH=tanABC=2即可得FH【解答】解：（1）ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四边形ABCD是菱形，DC=BC，在DCF和BCE中，DCFBCE（SAS），DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E时，DF=BE，此时DF最小，在RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE=2，设AE=x，则BE=2x，AB=x=6，则AE=6DE=6+6，DF=BE=12，故答案为：6+6，12；（3）CE=CF，CEQ90，当EQP=90时，如图2，ECF=BCD，BC=DC，EC=FC，CBD=CEF，BPC=EPQ，BCP=EQP=90，AB=CD=6，tanABC=tanADC=2，DE=6，t=6秒；当EPQ=90时，如图2，菱形ABCD的对角线ACBD，EC与AC重合，DE=6，t=6秒；（4）y=t12，如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FHAD于点H，由（1）知1=2，又1+DCE=2+GCF，DCE=GCF，在DCE和GCF中，DCEGCF（SAS），3=4，1=3，1=2，2=4，GFCD，又AHBN，四边形CDMN是平行四边形，MN=CD=6，BCD=DCG，CGN=DCN=CNG，CN=CG=CD=6，tanABC=tanCGN=2，GN=12，GM=6+12，GF=DE=t，FM=t612，tanFMH=tanABC=2，FH=（t612），即y=t123、（2015镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点（1）求证：BAEBCF；（2）若ABC=50，则当EBA= 时，四边形BFDE是正方形【答案】（1）证明见试题解析；（2）20【考点定位】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定【试题解析】（1）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=BC，BAC=BCA，BAE=BCF，在BAE与BCF中，BA=BC，BAE=BCF，AE=CF，BAEBCF（SAS）；（2）四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要EBF=90即得四边形BFDE是正方形，BAEBCF，EBA=FBC，又ABC=50，EBA+FBC=40，EBA=40=20故答案为：20【命题意图】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定【方法、技巧、规律】三角形全等的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，对于直角三角形还有HL4、（2015苏州）如图，在ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分BAC；（2）若BC=6，BAC=50，求DE、DF的长度之和（结果保留）【答案】（1）证明见试题解析；（2）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算证明：（1）由作图可知BD=CD.在DABD和DACD中，5、（2015常州，第16题，2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 【答案】（400，800）【解析】连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在AOD和ACB中，AD=AB，ODA=ABC，DO=BC，AODACB（SAS），CAB=OAD，B、O在一条直线上，C，A，D也在一条直线上，AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，C点坐标为：（400，800）故答案为：（400，800）6、（2015淮安，第21题，8分）已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE【答案】证明见试题解析【解析】四边形ABCD是矩形，A=D=90，AB=DC，AE=DF，AF=DE，在ABF和DCE中，AB=DC，A=D，AF=DE，ABFDCE（SAS），BF=CE7、（2015南通，第25题，8分）如图，在ABCD