传染病微分方程模型

传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,A题 SARS的传播,SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：,A题 SARS的传播,（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。,竞赛题目的第一问是提供了一篇北京大学在早期对SARS进行建模和分析预测的文章，让参加竞赛的同学进行评价，目的是希望让学生了解别人对SARS传播建模和预测的处理方法。 该模型在早期有它的应用价值，在SARS流行结束后再对它作出分析和评价，有利于学生找到更加实用的模型和方法。,（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。,题目的第二问是提供了北京市4月20日到6月12日已确诊的SARS累计病例数、现有的疑似SARS病例数、累计死亡人数和累计治愈出院人数。 希望学生建立起自己的模型，以对北京等地SARS的感染情况进行研究，定量地描述，并分析控制措施对SARS传播的影响。 特别是训练学生学习利用已给的数据确定模型中的参数，进行分析、计算和比较。,（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。,题目的第三问让同学收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测，由于担心学生资源的限制，题目中还提供了北京市从1997年1月到2003年8月接待的海外游客人数作为参考。,（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。,（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。,题目的第四问是让学生给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 当然也希望学生能将自己模型和预测结果简要地介绍给民众，使更多的人认识到数学建模和预测工作的重要意义。,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染