直线与平面垂直的判定

1 / 8 直线与平面垂直的判定 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第一课时直线与平面垂直的判定 （一）教学目标 1知识与技能 （ 1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （ 2）使学生掌握直线和平面所成的角求法； （ 3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论 . 2过程与方法 （ 1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （ 2）探究判定直线与平面垂直的方法 . 3情态、态度与价值观 培养学生学 会从 “ 感性认识 ” 到 “ 理性认识 ” 过程中获取新知 . （二）教学重点、难点 重点：（ 1）直线与平面垂直的定义和判定定理； （ 2）直线和平面所成的角 . 难点：直线与平面垂直判定定理的探究 . 教学过程教学内容师生互动设计意图 新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影2 / 8 问题，学生回答 . 生：可用定义可判断，也可依判定定理判断 .复习巩固 探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法 如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l与平面互相垂直，记作 l. 直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂 面 .直线与平面垂直时，它们惟一的公共点 P叫做垂足 . 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图 . 师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？ 师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？ 生：旗杆与地面内任意一条经 B 的直线垂直 . 师：那么旗杆所在直线与平面内不经过 B 点的直线位置关系如何，依据是什么？（图） 生：垂直，依据是异面直线垂直的定义 . 师：你能尝试给线面垂直下定义吗 ？ 师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明 .培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基3 / 8 础上学会归纳概括结论 . 探索新知二、直线和平面垂直的判定 1试验如图，过 ABc 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD、 Dc与桌面接触） . （ 1）折痕 AD与桌面垂直吗？ （ 2）如何翻折才能使折痕 AD与桌面所在平面垂直？ 2直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 . 思考：能否将直线与平面垂直的判定 定理中的 “ 两条相交直线 ” 改为一条直线或两条平行直线？师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题） . 学生动手实验，然后回答问题 . 生：当且仅当折痕 AD 是 Bc 边上的高时， AD 所在直线与桌面所在平面垂直 . 师：此时 AD垂直上的一条直线还是两条直线？ 生： AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交 . 师：怎么证明？ 生：折痕 ADBc ，翻折之后垂直关系不变，即 ADcD ， ADBD 师：直线和平面垂直的判定定理体现了 “ 直线与平面垂直 ”与 “ 直线与直线垂直 ” 互相转化 的数学思想 .培养学生的几4 / 8 何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论 . 典例剖析例 1 如图，已知 ab ， a ，求证： b. 证明：在平面内作两条相交直线 m、 n. 因为直线 a ，根据直线与平面垂直的定义知 am ， an. 又因为 ba ， 所以 bm ， bn. 又因为， m、 n 是两条相交直线， b. 师：要证 b ，需证 b 与内任意一条直线的垂直，又 ab ，问题转化为 a 与面内任意直线 m 垂直，这个结论显然成立 . 学生依图及分析写出证明过程 . 师：此结论可以直接利用，判定直 线和平面垂直 .巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力 . 探索新知二、直线和平面所成的角 如图，一条直线 PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点 A 叫做斜足 .过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 Po，过垂足 o 和斜足 A的直线 Ao叫做斜线在这个平面上的射影 .平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个5 / 8 平面所成的角 . 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0 的角 .教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的 .借助多媒体讲授，提高上课效率 . 典例剖析例 2 如图，在正方体 ABcD A1B1c1D1 中，求A1B 和平面 A1B1cD 所成的角 . 分析：找出直线 A1B 在平面 A1B1cD 内的射影，就可以求出A1B和平面 A1B1cD 所成的角 . 解：连结 Bc1交 B1c于点 o，连结 A1o. 设正方体的棱长为 a，因为 A1B1B1c1 ， A1B1B1B ，所以A1B1 平面 Bcc1B1. 所以 A1B1Bc1. 又因为 Bc1B1c ，所以 B1c 平面 A1B1cD. 所以 A1o为斜线 A1B在平面 A1B1cD内的射影， BA1o 为 A1B与平面 A1B1cD所成的角 . 在 RtA1Bo 中， ， 所以， BA1o=30 因此，直线 A1B 和平面 A1B1cD 所成的角为 30. 师：此题A1 是斜足，要求直线 A1B 与平面 A1B1cD 所成的角，关键在6 / 8 于过 B 点作出（找到，面 A1B1cD 的垂线，作出（找到）了面 A1B1cD的垂线，直线 A1B在平面 A1B1cD内的射影就知道了，怎样过 B 作平面 A1B1cD的垂线呢？ 生：连结 Bc1即可 . 师：能证明吗？ 学生分 析，教师板书，共同完成求解过程 .点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤 . 随堂练习 1如图，在三棱锥 V ABc 中， VA=Vc， AB=Bc，求证： VBAc. 2过 ABc 所在平面外一点 P，作 Po ，垂足为 o，连接PA， PB， Pc. （ 1）若 PA=PB=Pc， c=90 ，则点 o 是 AB边的心 . （ 2）若 PA=PB=Pc，则点 o 是 ABc 的心 . （ 3）若 PAPB ， PBPc ， PBPA ，则点 o 是 ABc 的 .心 . 3两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ 4如图，直四棱 柱 ABcD ABcD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABcD满足什么条件时，AcBD ？ 学生独立完成 答案： 7 / 8 1略 2（ 1） AB 边的中点；（ 2）点 o 是 ABc 的外心；（ 3）点 o是 ABc 的垂心 . 3不一定平行 . 4 AcBD. 巩固所学知识 归纳总结 1直线和平面垂直的定义判定 2直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善 . 3线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力 . 课后作业第一课时习案学生独立完 成强化知识 提升能力 备选例题 例 1 如图，在空间四边形 ABcD 中， AB=AD， cB=cD， m 为 BD中点，作 Aomc ，交 mc于 o求证： Ao 平面 BcD 【解析】连结 Am AB=AD ， cB=cD， m 为 BD中点 BDAm ， BDcm 又 Amcm=m ， BD 平面 Acm Ao 平面 Acm， BDAo 又 mcAo ， BDmc=m ， Ao 平面貌 BcD 【评析】本题为了证明 Ao 平面 BcD，先证明了平面 BcD内的直线垂直于 Ao 所在的平面这一方法具有典型性，即为8 / 8 了证明线与 面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决 例 2 已知棱长为 1 的正方体 ABcD A1B1c1D1 中， E 是 A1B1的中点，求直线 AE与平面 ABc1D1 所成的角的正弦值 【解析】取 cD 的中点 F，连接 EF 交平面 ABc1D1 于 o，连Ao 由已知正方体